【正文】 高中數(shù)學(xué) 精講精練 第八章 直線和圓的方程 【 知識 圖解】 【 方 法點(diǎn)撥 】 1．掌握直線的傾斜角，斜率以及直線方程的各種形式，能正確地判斷兩直線位置關(guān)系，并能熟練地利用距離公式解決有關(guān)問題．注意直線方程各種形式應(yīng)用的條件．了解二元一次不等式表示的平面區(qū)域，能解決一些簡單的線性規(guī)劃問題． ,并能夠熟練運(yùn)用對稱性來解決問題 . 3．熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求圓的方程 ． 4．處理解析幾何問題時，主要表現(xiàn)在兩個方面： (1)根據(jù)圖形的性質(zhì)，建立與之等價的代數(shù)結(jié)構(gòu) 。(2)根據(jù)方程 的 代數(shù)特征洞察 并揭示 圖形的性質(zhì)． 5．要重視坐標(biāo)法 ， 學(xué)會如何借助于坐標(biāo)系，用代數(shù)方法研究幾何問題，體會這種方法所體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想． ；還要注意綜合運(yùn)用三角函數(shù)、平面向量等與本章內(nèi)容關(guān)系比較密切的知識． 第 1 課 直線的方程 點(diǎn) 中點(diǎn)坐標(biāo) 兩點(diǎn)間距離 圓 位置關(guān)系 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 直線與圓的位置關(guān)系 圓與圓的位置關(guān)系 方程形式 標(biāo)準(zhǔn)方 程 一般方程 點(diǎn)到直線的距離 直 線 直線斜率與傾斜角 兩條直線位置關(guān)系 平行 相交 垂直 方程形式 點(diǎn)斜式 斜截式 兩點(diǎn)式 截距式 一般式 點(diǎn)與直線位置關(guān)系 直線與圓的方程 空間直角坐標(biāo)系 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 理解直線傾斜角、斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握直線方程的幾種形式，能根據(jù)條件，求出直線的方程． 高考中主要考查直線的斜率、截距、直線相對坐標(biāo)系位置確定和求在不同條件下的直線方程，屬中、低檔題，多以填空題和選擇題出現(xiàn)，每年必考 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 1. 直線 xcosα＋ 3 y＋ 2＝ 0 的傾斜角范圍是 50, ,66???? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? 2. 過點(diǎn) )3,2(P ，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是 1 0 3 2 0? ? ? ? ?或x y x y l經(jīng)過點(diǎn)（ 3， 1），且與兩坐標(biāo)軸圍成一個等腰直角三角形，則直線 l的方程為 42? ? ? ? ?或y x y x k 取任何實(shí)數(shù)，直線 ? ? ? ? ? ?1 4 2 3 2 1 4 0k x k y k? ? ? ? ? ?必經(jīng)過一定點(diǎn) P，則 P的坐標(biāo)為 （ 2， 2） 【 范例導(dǎo)析 】 例 A（－ 1， 2）、 B（ m， 3） （ 1）求直線 AB的斜率 k； （ 2）求直線 AB的方程； （ 3）已知實(shí)數(shù) m 3 1, 3 13??? ? ? ?????，求直線 AB的傾斜角 α的取值范圍． 分析：運(yùn)用兩點(diǎn)連線的子斜率公式解決，要注意斜率不存在的情況 . 解 :（ 1）當(dāng) m=－ 1時，直線 AB的斜率不存在． 當(dāng) m≠－ 1時， 11k m? ? ， （ 2）當(dāng) m=－ 1時， AB： x=－ 1， 當(dāng) m≠ 1時， AB： ? ?1211yxm? ? ?? . （ 3）①當(dāng) m=－ 1時， 2??? ； ②當(dāng) m≠－ 1時， ∵ ?13, 3 ,km ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ?? ∴ 2,6 2 2 3? ? ? ?? ? ? ? ???????? ? ? ? 故綜合①、②得，直線 AB的傾斜角 2,63??? ??????? 點(diǎn)撥：本題容易忽視對分母等于 0和斜率不存在情況的討論 . 例 l 過點(diǎn) P(2,1),且分別交 x 軸、 y 軸的正半軸于點(diǎn) A、 B、 O為坐標(biāo)原點(diǎn) . (1)當(dāng)△ AOB的面積最小時 ,求直線 l 的方程 。 (2)當(dāng) |PA|178。 |PB|取最小值時 ,求直線 l 的方程 . 分析 ： 引進(jìn)合適的變量 ,建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù) ,通過尋找函數(shù)最值的取得條件來求 l 的方程 . 解 （ 1）設(shè)直線 l 的方程為 y1=k(x2),則點(diǎn) A(21k,0),B(0,12k),且 21k0, 12k0,即 k0. △ AOB 的面積 S=12(12k)(21k)=12[(4k)+ 1k?+4]≥ 4,當(dāng) 4k=1k?,即 k= 12?時 , △ AOB的面積有最小值 4,則所求直線方程是 x+2y4=0. (2)解法一 :由題設(shè) ,可令直線方程 l為 y1=k(x2). 分別令 y=0和 x=0,得 A(21k,0),B(0,12k), ∴ |PA|178。 |PB|= 222211( 4 4 ) (1 ) 8 4 ( ) 4kkkk? ? ? ? ? ?,當(dāng)且僅當(dāng) k2=1,即 k=177。 1時 , |PA|178。 |PB|取得最小值 k0, ∴ k=1,這是直線 l 的方程是 x+y3=0. 解法二 :如下圖 ,設(shè)∠ BAO=θ,由題意得 θ∈ (0,2? ),且 |PA|178。 |PB|= | | | | 4 4sin cos sin 2P E P F? ? ?? ? ? 當(dāng)且僅當(dāng) θ=4? 時 , |PA|178。 |PB|取得最小值 4,此時直線 l 的斜率為 1, 直線 l 的方程是 x+y3=0. 點(diǎn)評 ①求直線方程的基本方法包括利用條件直接求直線的基本量和利用待定系數(shù)法求 直線的基本量 .②在研究最值問題時，可以從幾何圖形開始，找到取最值時的情形，也可以從代數(shù)角度出發(fā)，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式等知識來求最值 . 例 l 被兩條直線 l1： 4x＋ y＋ 3＝ 0 和 l2： 3x－ 5y－ 5＝ 0 截得的線段中點(diǎn)為 P（－ 1， 2） .求直線 l的方程 . 分析 本題關(guān)鍵是如何使用好中點(diǎn)坐標(biāo)，對問題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化 . 解： 解法一 設(shè)直線 l 交 l1于 A（ a， b），則點(diǎn)（－ 2－ a， 4－ b）必在 l2，所以有 4 3 03 ( 2 ) 5 ( 4 ) 5 0ab ab? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ，解得 25ab???? ?? 直線 l 過 A(2,5),P(1,2),它的方程是 3x＋ y＋ 1＝ 0. 解法二 由已 知可設(shè)直線 l 與 l1的交點(diǎn)為 A（－ 1＋ m， 2＋ n），則直線 l 與 l2的交點(diǎn)為 B（－ 1－ m， 2－ n），且 l 的斜率 k＝ nm ，∵ A,B兩點(diǎn)分別 l1和 l2上，∴ 4 ( 1 ) ( 2 ) 3 03 ( 1 ) 5 ( 2 ) 5 0mn? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??，消去常數(shù)項(xiàng)得－ 3m＝ n，所以 k＝－ 3， 從而直線 l 的方程為 3x＋ y＋ 1＝ 0. y x O P E F B A 例 2 圖 解法三 設(shè) l l2與 l 的交點(diǎn)分別為 A,B，則 l1關(guān)于點(diǎn) P（－ 1， 2） 對稱的直線 m 過點(diǎn) B，利用對稱關(guān)系可求得 m 的方程為 4x＋ y＋ 1＝ 0，因?yàn)橹本€ l 過點(diǎn) B，故直線 l 的方程可設(shè)為 3x－ 5y－ 5＋ λ（ 4x＋ y＋ 1）＝ l 點(diǎn) P（－ 1， 2） ，所以可求得 λ＝－ 18，從而 l 的方程為 3x－ 5y－ 5－ 18（ 4x＋ y＋ 1）＝ 0，即 3x＋ y＋ 1＝ 0. 點(diǎn)評 本題主要復(fù)習(xí)有關(guān)線段中點(diǎn)的幾種解法，本題也可以先設(shè)直線方程，然后求交點(diǎn)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)求出直線 l 的斜率，但這種解法思路清晰，計(jì)算量大，解法一和解法二靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，使計(jì)算簡化，對解法二還可以用來求已知中點(diǎn)坐標(biāo)的圓錐曲線的弦所在直線方程，解法三是利用直線系方程求解，對學(xué)生的思維層次要求較高。 【反饋練習(xí)】 ①經(jīng)過定點(diǎn) P0(x0,y0)的直線都可以用方程 yy0＝ k(xx0)表示；②經(jīng)過任意兩個不同點(diǎn)P1(x1,y1)、 P2(x2,y2)的直線都可以用方程 (yy1)(x2x1)＝ (xx1)(y2y1)表示；③不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程ax + by ＝ 1 表示；④經(jīng)過定點(diǎn) A(0， b)的直線都可以用方程 y＝ kx+b 表示，其中正確的是 ①③④ l 的方程為 ? ? ? ?2 3 2 6 0 3x k y k k? ? ? ? ? ?,當(dāng)直線 l 的斜率為 1時， k值為 __5__,當(dāng)直線 l 在x 軸、 y 軸上截距之和等于 0 時， k 值為 1 或 3 ax+by+c=0的傾斜角為 ? ，且 sin? +cos? =0，則 a,b滿足的關(guān)系式為 0??ba l： y＝ kx 3? 與直線 2x＋ 3y－ 6＝ 0 的交點(diǎn)位于第一象 限，則直線 l 的傾斜角的取值范圍是)2,6( ?? 4x3y12＝ 0被兩坐標(biāo)軸截得的線段長為 c1 ，則 c的值為 51 6．若直線 (m2─1)x─y─2m+1=0不經(jīng)過第一象限，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 112??????， a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交點(diǎn)為 P（ 2， 3），求過兩點(diǎn) Q1（ a1， b1）、 Q2（ a2， b2）（ a1≠ a2）的直線方程 分析：利用點(diǎn)斜式或直線與方程的概念進(jìn)行解答 解：∵ P（ 2， 3）在已知直線上，∴ 2a1+3b1+1=0， 2a2+3b2+1=0 ∴ 2（ a1－ a2） +3（ b1－ b2） =0，即2121 aa bb ?? =－ 32 ∴所求直線方程為 y－ b1=－ 32 （ x－ a1） ∴ 2x+3y－（ 2a1+3b1） =0， 即 2x+3y+1=0 點(diǎn)撥 ： 。 ，方法巧妙 . P（ 3， 2），并且分別滿足下列條件，求直線方程： （ 1）傾斜角是直線 x－ 4y+3=0 的傾斜角的 2 倍； （ 2）與 x、 y 軸的正半軸交于 A、 B 兩點(diǎn)，且△ AOB 的面積最?。?O 為坐標(biāo)原點(diǎn)） 解：（ 1）設(shè)所求直線傾斜角為 θ，已知直線的傾斜角為 α，則 θ＝ 2α，且 tanα＝ 41 ， tanθ＝ tan2α＝ 158 ， 從而方程為 8x－ 15y+6=0 （ 2）設(shè)直線方程為 ax ＋ by ＝ 1， a＞ 0， b＞ 0， 代入 P（ 3， 2），得 a3 ＋ b2 ＝ 1≥ 2ab6，得 ab≥ 24， 從而 S△ AOB＝ 21 ab≥ 12， 此時 a3 ＝ b2 ，∴ k＝－ ab ＝－ 32 點(diǎn)撥： 此題（ 2）也可以轉(zhuǎn)化成關(guān)于 a 或 b 的一元函數(shù)后再求其最小值 第 2 課 兩條直線的位置關(guān)系 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 ，能根據(jù)直線方程判定兩條直線的位置關(guān)系，會求兩條相交直線的交點(diǎn)，掌握點(diǎn)到直線的距離公式及兩平行線間距離公式 . ，有時考察 單一知識點(diǎn) ,有時也和函數(shù)三角不等式等結(jié)合，題目難度中等偏易 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 A(2， m)和 B(m， 4)的直線與直線 2x+y1=0平行，則 m 的值為 8 （－ 1， 3）且垂直于直線 x－ 2y+3=0 的直線方程為 2x+y－ 1=0 2 3 8 0,xy? ? ? 10xy? ? ? 和 1 02x ky k? ? ? ?相交于一點(diǎn)，則 k 的值等于 12? . 【 范例導(dǎo)析 】 例 1l :x+m2y+6=0, 2l :(m2)x+3my+2m=0，當(dāng) m 為何值時 , 1l 與 2l （ 1） 相交；（ 2）平行；（ 3）重合？ 分析：利用垂直、平行的充要條件解決 . 解 :當(dāng) ｍ ＝ 0時， 1l ： x＋６＝０， 2l ： x＝０，∴ 1l ∥ 2l ， 當(dāng)ｍ＝ 2時， 1l ： x＋４ y＋６＝０， 2l ：３ y＋２＝０ ∴ 1l 與 2l 相交； 當(dāng) m≠０且 m≠２時，由 mmm 321 2?? 得 m＝－１或 m＝３，由 mm 2621 ?? 得 m＝ 3 故（１）當(dāng) m≠－１且 m≠３且 m≠０時 1l 與 2l 相交。 （２） m＝－１或 m＝０時 1l ∥ 2l ， （３）當(dāng) m＝３時 1l 與 2l 重合。 點(diǎn)撥：判斷兩條直線平行或垂直時，不要忘了考慮兩條直線斜率是否存在 . 例 l 經(jīng)過點(diǎn) P（ 3， 1），且被兩平行直線 1l ： x+y+1=0 和 2l ： x+y+6=0 截得的線段之長為 5。求直線 l 的方程。 分析：可以求出 直線 l 與兩平行線的交點(diǎn)坐標(biāo)， 運(yùn)用兩點(diǎn)距離公式求出直線斜率 解 法 一 ： :若直線 l 的斜率不存在，則直線 l 的方程為 x=3，此時與 1l 、 2l 的交點(diǎn)分別是 A1（ 3， 4）和 B1（ 3， 9），截得的線段 AB 的長 |AB|=|4+9|=5，符合題意。若直線 l 的斜率存在，則設(shè) l 的方程為 y=k（ x3） +1， 解方程組 ? ?1031xyy k x? ? ???? ? ? ???得 A（ ,123??kk － 114??kk ） 解方程組 ? ?6031xyy k x? ? ???? ? ? ???得 B（ 173??kk ， － 119??kk ） 由 |AB|=5 得 23 2 3