【正文】 } 1P t P t? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 于是 2 2 2 200{ } 0 , { } 0E t E t? ? ?? ?? ? ? ? 即 2 2 2 2( ) ( ) , ( ) ( )E t E E t E? ? ?? ???且 故 2 2 2 2 2 2 2 2 200[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )E t E t E E E E? ? ? ? ? ? ?? ? ? 即在 2 2 2[ ( ) ] ( ) ( )E E E?? ? ???式中等號成立。 證法 2 通過構(gòu)造積分不等式來證明 因?yàn)?( ), ( )f x g x 在 ? ?,ab 上可積，所以 22( ) , ( ) , ( ) ( )f x g x f x g x?都可積，且對任何實(shí)數(shù) 2,[ ( ) ( )]t tf x g x? 也可積，又 2[ ( ) ( )] 0,tf x g x??故 2[ ( ) ( )] 0ba tf x g x dx???，即2 2 2 2[ ( ) ( ) ] ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0b b b ba a a atf x g x dx t f x dx t f x g x dx g x dx? ? ? ? ?? ? ? ? 由此推得關(guān)于 t 的二次三項(xiàng)式的判別式非正，即2 2 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) 0b b ba a af x g x dx f x dx g x dx? ? ?? ? ? 故 2 2 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )b b ba a af x g x dx f x dx g x dx??? ? ?. 注： 此法的關(guān)鍵在于構(gòu)造積分不等式 2[ ( ) ( )] 0ba tf x g x dx???，展開求關(guān)于 t 的判別式，這就將問題轉(zhuǎn)化成了關(guān)于 t 的二次三項(xiàng)式有無根的問題。 注： 此證法的關(guān)鍵在于將 b 變成 x 而構(gòu)建輔助函數(shù)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化成利用函數(shù)單調(diào)性來證明不等式。 數(shù)學(xué)分析中的 CauchySchwarz 不等式 定理 定理 [2]（積分學(xué)中的柯西 — 施瓦茨不等式） 設(shè) ( ), ( )f x g x 在 ? ?,ab 上可積，則 2 22( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x g x d x f x d x g x d x?? ??????? ? ?. 證法 1 通過建立輔助函數(shù)來證明 作函數(shù) 2 22( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xa a aF x f t g t d t f t d t g t d t??? ? ?????? ? ?，由定積分的性質(zhì)得 8 39。 解： 構(gòu)造向量 11( , , 1 ) , ( 2 , 3 , )23 x y z???? 可得： 2 2 21 1 1 1| | 1 , | | 2 32 3 6 x y z??? ? ? ? ? ? ? 11( , ) ( 2 ) ( 3 ) 1 123x y z x y z?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由柯西施瓦茨不等式得： 2 2 2111 ( 1 ) ( 2 3 )23 x y z? ? ? ? ? ? 則 2 2 2 11( , , ) 2 3 6f x y z x y z? ? ? ? 即 2 2 2( , , ) 2 3f x y z x y z? ? ?的最小值為 116 . 7 用于證明三維空間中點(diǎn)到面的距離公式 例 7. 已知 0 0 0( , , )P x y z 為三維空間中的一點(diǎn)，平面 : 0 ,A x B y C z D? ? ? ? ?求點(diǎn)P ?到 平 面 的 距 離 . 解： 設(shè) ( , , )M x y z 為平面 ? 上 的 任 意 一 點(diǎn) ， 則 2 2 20 0 0| | ( ) ( ) ( ) ,P M x x y y z z? ? ? ? ? ? 又因?yàn)橛煽挛魇┩叽牟坏仁接? 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0[ ( ) ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]x x y y z z A B C A x x B y y C z z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20 0 0[ ( ) ( ) ]A x B y C z A x B y C z? ? ? ? ? ? 20 0 0[ ( )]D A x B y C z? ? ? ? ? 20 0 0()Ax By C z D? ? ? ? 所以 2 2 2 0 0 00 0 0 2 2 2||| | ( ) ( ) ( ) ,A x B y C z DP M x x y y z z A B C? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??等號當(dāng)且僅當(dāng)0 0 0 ,x x y y z zA B C? ? ???即 PM ?? 時成立。 注： 如果把此不等式中的內(nèi)積用坐標(biāo)表達(dá)出來，就是下述不等式：2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ,n n n na b a b a b a a a b b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?… … …它也被稱為 柯西 — 布尼亞可夫斯基不等式。 若 0.?? 由內(nèi)積的正定性知 , 0.??? 令 , ,??? ? ?????仍由內(nèi)積的正定性知，, 0,??? 且等號只在 0?? 時成立。 當(dāng) 0?? 時，由于 ( ) 0fx? 成立，則 22 , 4 , , 0 ,? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 等號當(dāng)且僅當(dāng) k??? 時成立，即 2, , , .? ? ? ? ? ?? 不等式得證。 5 維歐氏空間中的 CauchySchwarz不等式 定理 [1] 在 n 維歐氏空間中，對任意向量 ,??有 2, , , ,? ? ? ? ? ?? 其中等號當(dāng)且僅當(dāng) ,??線性相關(guān)時成立。 實(shí)數(shù)域中的 CauchySchwarz 不等式 定理 設(shè) , ( 1, 2 ,iia b R i?? … ， n） ，則 2 2 21 1 1( ) .n n ni i i ii i ia b a b? ? ??? ? ?當(dāng)且僅當(dāng)1212 =nnbbba a a??… 時，不等式等號成立 . 證明：通過構(gòu)造關(guān)于 x 的二次函數(shù)來證明 設(shè) 2 2 2 21 1 1 1( ) ( ) ( ) +2 ( ) .n n n ni i i i i ii i i if x a x b a x a b x b? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 若 21 0,nii a? ??即 12 0na a a? ? ?… = 時，顯然不等式成立 . 若 21 0nii a? ??時，則有 2 2 21 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0nnf x a x b a x b a x b? ? ? ? ? ? ? ?…且 21 0,nii a? ??由于 ( ) 0fx? 成立，所以 2 2 21 1 1[ 2 ( ) ] 4 ( ) ( ) 0 .n n ni i i ii i ia b a b? ? ?? ? ? ?? ? ?且當(dāng)且僅當(dāng)1212 =nnbbba a a??… 時，不等式等號成立 . 故 2 2 21 1 1( ) .n n ni i i ii i ia b a b? ? ??? ? ? 3 應(yīng)用 在中學(xué)數(shù)學(xué)和競賽數(shù)學(xué)中常常巧妙地應(yīng)用柯西 — 施瓦茨不等式（即CauchySchwarz 不等式 ）將許多繁瑣復(fù)雜的問題簡單化，比如常常用于求證不等式、最值、解方程組和解三角形的相關(guān)問題，而運(yùn)用柯西施瓦茨不等式的關(guān)鍵在于根據(jù)問題的要求并按照其形式，巧妙地構(gòu)造兩組數(shù)。 數(shù)學(xué)上，柯西 — 施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式 或柯西 —布尼亞科夫斯基 — 施瓦茨不等式， 因?yàn)檎呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步。此外，本文還給出了柯西施瓦茨不等式的四種不同形式的內(nèi)在聯(lián)系。 不保密 □。本人授權(quán)省級優(yōu)秀學(xué)士學(xué)位論文評選機(jī)構(gòu)將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。分類號 （ 宋體小三加黑）