柯西-西瓦茲不等式的推廣及應(yīng)用畢業(yè)論文-文庫(kù)吧資料
2025-07-04 21:53本頁(yè)面
【正文】 即結(jié)論：柯西西瓦茲不等式有著許多不同的形式，本文總結(jié)了它的四種形式，并給出其相應(yīng)得定義。所以，可設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為則 的邊際概率分布為 令 則由不等式 而得且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，.例43．若是上正值連續(xù)函數(shù)，且 ，則 證明：設(shè)隨機(jī)變量 的概率分布及概率密度函數(shù)分別為則：因?yàn)?是 上凸函數(shù)，由 可知 因此所以成立.例44．設(shè)，則且等號(hào)成立的充要條件 證明：設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率分布為則 的邊際概率分布分別為令，有由不等式（）有 且等號(hào)成立的充要條件是開(kāi)方得 且等號(hào)成立的充要條件是：例45．設(shè)，則，且等號(hào)成立的充要條件是。所以 方程 有一個(gè)重根存在的充要條件是這時(shí) 因此 即 。求證：點(diǎn) 到平面的距離是證明：設(shè)為平面上的任一點(diǎn)，構(gòu)造向量，可得： 根據(jù)（）式，則有由于平面上任意一點(diǎn)與定點(diǎn)之間的最短距離就是點(diǎn)到平面的距離，因而點(diǎn) 到平面的距離為 求證：證明：構(gòu)造向量可得： 根據(jù)（）式可得：， 求 的最小值.解：構(gòu)造向量 可得： 根據(jù)（）式得：則即 的最小值為.柯西西瓦茲不等式在概率空間中的推廣與應(yīng)用定義：取為概率空間，對(duì)任意屬于的隨機(jī)變量與 都有 （） 等號(hào)成立的充要條件是，是某一常數(shù)。不等式用于歐氏空間中，對(duì)于任意,有 ，則命題可敘述為:設(shè) 是一個(gè)歐氏空間，則對(duì) 有，當(dāng)且僅當(dāng)與 線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)成立.下面將此命題推廣得：設(shè) 是一個(gè)歐氏空間，是的任意一個(gè)向量組，則 的行列式當(dāng)且僅當(dāng) 線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)成立.證明：設(shè)線性相關(guān)，則存在不全為0的數(shù) 使 因?yàn)?，即是? 不全為零，即上式有非零解所以若線性無(wú)關(guān)，由可得出 的正交組 且，其中顯然 ，所以可逆，于是向量組 與 等價(jià)，它們生成相同的子空間是的基， 是的正交基可設(shè)由坐標(biāo)變換公式 其中 則 由于 的任意性，知，所以 應(yīng)用于歐氏空間 中，可以使一些較復(fù)雜的不等式的證明顯得十分簡(jiǎn)單。 解： 故參數(shù)的取值范圍是柯西西瓦茲不等式在微積分中的推廣與應(yīng)用定義：設(shè),在上可積，則 （），或與成正比，則等號(hào)成立.證明：因?yàn)?都在上可積，則由定積分的性質(zhì) 均在上可積，對(duì)區(qū)間進(jìn)行等分，分點(diǎn)為由定積分的定義，有 由式可知再由極限的保號(hào)性易知（）成立若對(duì)，或與成正比，則（）式中等號(hào)成立，但其逆不真.推論1.（明可夫斯基不等式）設(shè),都在上可積，則有明可夫斯基不等式 （）證明： 由（）式可知因?yàn)閮蛇叾即笥诘扔诹?，且右邊大括?hào)內(nèi)也大于等于零，所以有推論2： 當(dāng)存在一組不全為零的 使得 時(shí)等號(hào)成立，不等式（）可以改寫(xiě)為以下行列式形式 （）以這樣
黨政相關(guān)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1