柯西不等式的應(yīng)用(整理篇)-文庫吧資料
2025-04-15 01:52本頁面
【正文】 目的，但在運用過程中，每運用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現(xiàn)錯誤。若把第二個小括號內(nèi)的前后項對調(diào)一下，情況就不同了。這種變換也是運用柯西不等式的一種技巧，下面我們簡單舉例說明怎樣利用上述技巧運用柯西不等式來證明條件不等式。2)且， 求證：證明：不等式左端即 (1)∵ ，取 則 (2)由柯西不等式有 (3)即綜合(1)、(2)、(3)、(4)式得：d) 用柯西不等式證明條件不等式柯西不等式中有三個因式 ， ，而一般題目中只有一個或兩個因式，為了運用柯西不等式，我們需要設(shè)法嵌入一個因式（嵌入的因式之和往往是定值），這也是利用柯西不等式的技巧之一。重新安排某些項的次序：例：、為非負(fù)數(shù)，+=1，求證：分析：不等號左邊為兩個二項式積，每個兩項式可以使柯西不等式，直接做得不到預(yù)想結(jié)論，當(dāng)把節(jié)二個小括號的兩項前后調(diào)換一下位置，就能證明結(jié)論了。巧拆常數(shù)：例：設(shè)、為正數(shù)且各不相等。例：求證：證明：由柯西不等式得其中等號當(dāng)且僅當(dāng) ， 時成立。下面略舉一例加以說明。如常數(shù)的巧拆、結(jié)構(gòu)的巧變、巧設(shè)數(shù)組等，下面略舉一、二說明怎樣利用柯西不等式證明不等式。故原方程組的解為x=y=z=w=3.c) 柯西不等式證明不等式。解： = 由柯西不等式知即 當(dāng)上式取等號時有成立，即（無實根） 或，即，經(jīng)檢驗，原方程的根為用柯西不等式解方程組，也同樣是利用柯西不等式取等號的條件，從而求得方程組的解。b) 利用柯西不等式解無理方程（或方程組）用柯西不等式解無理方程，是先把方程的（含有無理式的）運用柯西不等式化為不等式，然后結(jié)合原方程把不等式又化成等式，在判定為等式后再利用柯西不等式取等號的特性，得到與原方程同解的且比原方程簡單的無理方程，進(jìn)而得到簡單的整式方程，從而求得原方程的解。 例、已知求證：?？挛鞑坏仁降囊话阈问綖椋簩θ我獾膶崝?shù) (2)或 (3)其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立（當(dāng)時，認(rèn)為柯西不等式有許多證明方法，這里就不作證明，僅就如何利用柯西不等式解題作一些介紹。主要就是使用一些方法構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，繼而達(dá)到使用柯西不等式證明有關(guān)的不等式人民教育出版社高中《代數(shù)》下冊“不等式”一章的習(xí)題中有這樣一道題（P、15練習(xí)第2題）： 求證：ac+bd*這題用比較法是很容易證明的，這里用比值的方法來證明。 解 : 由柯西不等式得： ∵ sin2a+ s
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