【正文】 school mathematics thoughts Abstact This paper describes the function equation of thought and thought the concept of conversion between the two and in the conversion to note some typical example with clear thinking with functions and equations can easily solve the mathematics of inequalities, series, binomial theorem, trigonometric functions, plane vectors, analytic geometry, solid geometry, probability and statistics, derivatives, and other difficult to break through the practical problems part, and it is also used in other subject areas. Combined with middle school mathematics teaching, teachers should make students interested in teaching function and the equation of thought, and the feasibility of the remendations given in detail. Key words function thought Equation thought Application Training 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 3 目 錄 一、前言 ??????????????????????????????? 5 二、正文 ??????????????????????????????? 6 函數(shù)與方程思想的概念 ??????????????????????? 6 函數(shù)與方程思想的應(yīng)用 ??????????????????????? 7 如何在中學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程的思想 ???????????? 18 三、結(jié)束語 ?????????????????????????????? 20 四、結(jié)論 ??????????????? ???????????????? 21 五、參考文獻 ????????????????????????????? 22 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 4 前 言 數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門學(xué)科，通過抽象化和邏輯推理的使用，從計數(shù)、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產(chǎn)生 . 所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果 .數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識 .只有通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，人的數(shù)學(xué)能力才會有一個大幅度的提高 .掌握數(shù)學(xué)思想，就是 掌握數(shù)學(xué)的精髓 . 在中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法主要有 :函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想、分類討論的思想等 .而函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的數(shù)學(xué)思想 .應(yīng)用涉及的知識點較多，應(yīng)用起來具有一定的創(chuàng)造性，更能體現(xiàn)學(xué)生的能力水平，是考查創(chuàng)新實踐能力的良好載體 .俗話說得好“授之以魚，不如授之以漁” ,一個學(xué)生僅僅學(xué)習(xí)了函數(shù)與方程的知識，他在解決問題時往往是被動的，而建立了函數(shù)與方程思想，才能主動地去思考一些問題 .函數(shù)與方程思想的教學(xué)，既有著不可替代的重要位置，又有重要的現(xiàn)實意義 . 在我國古 代數(shù)學(xué)中雖然沒有明確地提出函數(shù)的概念 ,但函數(shù)的思想在現(xiàn)今發(fā)現(xiàn)的我國最早的數(shù)學(xué)著作《算數(shù)書》就有所體現(xiàn) .譬如“增減分”描述的就是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的單調(diào)性 ,雖然不夠完整 ,但對于以常量計算為主的中國古代數(shù)學(xué)來說 ,這是非常難能可貴的 . 解析幾何中的一個重要思想是將方程中的未知數(shù)看作“變數(shù)” ,讓方程中的未知數(shù)取不同的數(shù)值最早體現(xiàn)在“不定方程”的研究中 .一般認(rèn)為 ,數(shù)學(xué)史上第一個對不定方程進行廣泛深入研究的是公元 3世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖 ,而在公元前 1世紀(jì)成書的中國數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中 ,對不定方程就進行了比較廣泛 的討論 . 目前函數(shù)與方程內(nèi)容豐富，應(yīng)用廣泛 .在歷年高考試題中對函數(shù)與方程及其思想方法的考查遍布于代數(shù)、三角、幾何以及各類題型的題目中，函數(shù)與方程的實質(zhì)是揭示了客觀世界中量的相互依存又互有制約的關(guān)系 .而目前，人們對它的研究涉及的方面比較零散單一，只注重了其在數(shù)學(xué)方面各種題型的應(yīng)用，但函數(shù)與方程思想還應(yīng)用到了其它學(xué)科知識中 .除此以外，隨著數(shù)學(xué)教學(xué)改革的深入，教師應(yīng)該在日常的教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程思想這一方面的能力 . 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 5 正文 1 函數(shù)與方程思想的概念 函數(shù)思想 即用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問 題和解決問題．函數(shù)描述了自然界 中量的依存關(guān)系，是對問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種動態(tài)刻畫．因此，函數(shù)思想的實質(zhì)是提取問題的數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系的變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系． 方程思想 從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、 不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解． 函數(shù)與方程思想的相互轉(zhuǎn)化 很明顯，只有在對問題的觀察、分析、判斷等一系列的思維過程中，具備有標(biāo) 新立異、獨樹一幟的深刻性、獨創(chuàng)性 思維，才能構(gòu)造出函數(shù)原型，化歸為方程的問題，實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化接軌，達到解決問題的目的． 笛卡爾的方程思想是：實際問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題．宇宙世界，充斥著等式和不等式．我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實現(xiàn)的??等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關(guān)．而函數(shù)和多元方程沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù) y＝ f(x)，就可以看作關(guān)于 x、 y 的二元方程 f(x)－ y＝ 0，可以說，函數(shù)的研究離不開方程．列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時需要重 點考慮的．方程與函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，占了相當(dāng)多的份量，其中某些內(nèi)容既是重點又是難點．例如，列方程（組）解應(yīng)用題，函數(shù)的定義和性質(zhì)，反函數(shù)的概念，平面解幾里曲線的方程，方程的曲線的概念等等．方程的思想和函數(shù)的思想是處理常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)的重要思想，在解決一般數(shù)學(xué)問題中具有重大的方法論意義．在中學(xué)數(shù)學(xué)里，對各類代數(shù)方程和初等超越方程都作了較為系統(tǒng)的研究．對一個較為復(fù)雜的問題，常常先通過分析等量關(guān)系，列出一個或幾個方程或函數(shù)關(guān)系式，再解方程（組）或研究這函數(shù)的性質(zhì)，就能很好地解決問題．函數(shù)知識涉及到的知識點 多，面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性上能達到一定的要求，有利于檢測學(xué)生的深刻性、獨創(chuàng)性思維． 在運用函數(shù)與方程思想解題時應(yīng)注意的問題 . （ 1）要重視基礎(chǔ)知識和基本技能的培養(yǎng)和訓(xùn)練 ,深刻理解集合、函數(shù)、反函數(shù) 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 6 的有關(guān)概念 . （ 2）要能熟練討論函數(shù)性質(zhì) (如單調(diào)性、奇偶性、周期性、極值等 ),掌握函數(shù) 圖像特征的分析 (如范圍、截距、凹凸性、漸近線、變化趨勢等 ),函數(shù)圖像的變換 (平移變換對稱變換、伸縮變換等 ),特別是要掌握與研究函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的數(shù)學(xué)知識 (如向量的平移、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等 ). （ 3）要能將函數(shù)、方程、不等式 有機結(jié)合起來 ,互相轉(zhuǎn)化 .能用集合的語言加以 表述 ,用參數(shù)的工具來體現(xiàn)運動變化 ,用高等數(shù)學(xué)的觀點來指導(dǎo)問題的解決 . （ 4）要能充分運用數(shù)學(xué)建模的思想 ,從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、進行探 索與研究 ,培養(yǎng)實踐能力和創(chuàng)新意識 . （ 5）函數(shù)與方程思想和化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、歸納、特殊化等數(shù)學(xué)思想 同樣有著密不可分的關(guān)系． 2 函數(shù)與方程思想的應(yīng)用 函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，可相互轉(zhuǎn)換 ． 方程 f(x)＝ 0的解就是函數(shù) y＝ f(x)的圖像與 x軸交點的橫坐標(biāo)，函數(shù) y＝ f(x) 也可以看作二元方程 y－ f(x)＝ 0．它們之間的這種關(guān)系為我們解決方程與函數(shù)問題提供了思路．一方面，對于有些方程問題，可以用變量的觀點，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題