談數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用畢業(yè)論文-文庫(kù)吧資料
2025-04-11 00:27本頁(yè)面
【正文】 用代數(shù)方法求解，計(jì)算 復(fù)雜，往往 事倍功半 。即求點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與直線距離和與差。注意找出相切的情況。 因?yàn)?2MP? , 2OM? ,所以 OP =1， m a x ta nOPy K P O Mx?? ? ? ????? = 2 。 解 :不妨設(shè)點(diǎn) ( , )Pxy 在圓 22( 2) 2xy? ? ?上， 圓心為 (2,0)M ,半徑等于 2 ,則所求表示的是點(diǎn) P 與原點(diǎn)連線的斜率。 從而由距離公式可得 : 22| 3 2 4 | 212 u? ? ? ? ?? 解得 5 2 5u?? . 故 u max=5+2 5 , u min=52 5 . 將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線系的截距，注意找出直線與曲線相切的情況。 解 :已知等式可化為 2 2 2( 3 ) ( 4) 2xy? ? ? ?,它表示以 ? ?3,4? 為圓心 ， 2為半徑圖 8 圖 9 7 的圓 ， u 可看作是直線的截距 。 轉(zhuǎn)化為直線的 截距 將所求問(wèn)題看作直線的 截距，即求滿足題目條件的直線系何時(shí)取得最值。 與含參 數(shù)的方程同理，含參數(shù)的不等式的圖像也是動(dòng) 態(tài)變化的，要注意 找出分界情況，當(dāng)然還需要按參數(shù)分情況作圖。 解：要使不等式恒成立，只要 a? 1x? + 1x? 的最小值 .考慮用絕對(duì)值的幾何意義，把 1x? + 1x? 理解為到數(shù)軸上兩點(diǎn) (1,0),(1,0)的距離的和，則較為簡(jiǎn)單。 列出方程 log ( 1 ) log ( 1 )aaxx? ? ? ? 即 1010111xxxx?? ??? ????? ???? 解之得 : 2x? 所以， 原不等式的解集為 :{x | x 2 ｝ 含參數(shù)的不等式 若對(duì)參數(shù)分類討論來(lái)求解 ， 過(guò)程煩瑣 .利用數(shù)形結(jié)合可大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。 絕對(duì)值不等式 若用代數(shù)求法求解 ,需分情況討論 ,去除絕對(duì)值號(hào)來(lái)求解 .但分類討論繁瑣 ,過(guò)程復(fù)雜 .利用 數(shù)形結(jié)合方法 ,將不等式兩邊視為兩個(gè)函數(shù)，然后在同一直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象 ,則求解簡(jiǎn)單 明了 。最常用的是數(shù)軸標(biāo)根法。 高次不等式 中學(xué)數(shù)學(xué)中主要學(xué)習(xí)一次不等式與二次不等式。 二元二次不等式組 xy圖 5s x( ) = x + 2q x( ) = x–1–2–3 1 2 3–1123P (2, 2)OA B5 例 6 解不等式組 22221 0(1)4(2)xyxy? ? ? ??? ???? 解 :先考慮相應(yīng)的方程組 22221(3)4(4)xyxy? ???????? 如圖 6，它們分別表示雙曲線和圓 由 (3)知 221xy??代入 (4),得 62y?? 。 解： 令 ( ) 2 ( )s x x q x x? ? ?， ， 則不等式 2xx?? 的解就是使( ) 2s x x??的解 在 ()qx x? 的上方的那段圖象所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)， 如圖 5 不等式的解集為 { | }ABx x x x?? 。 解題中若能注意到某些 代數(shù)式 的功能作用 ， 將原不等式作適當(dāng)轉(zhuǎn)化 ，利用數(shù)形結(jié)合的方法， 常能簡(jiǎn)化解題過(guò)程 ， 優(yōu)化數(shù)學(xué)思維 ， 提高解題效率 。 無(wú)理不等式 解無(wú)理不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容 ， 常規(guī)解法是平方去根號(hào)轉(zhuǎn)化 為 有理不等式 (組 )求解 。 3 不等式問(wèn)題 不等式 問(wèn)題也 是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容 。 由于方程含有參數(shù)，因此畫出的函數(shù)圖像 不是靜態(tài)不變的，而是動(dòng)態(tài)變化的，例如直線系，曲線系。 由圖 4可知 ,直線系斜率 1m? 滿足 12m??時(shí) ,直線系和拋物線段都相交。 解 :由題意得方程 2 21x mx x? ? ? ?( 02x?? )等價(jià)變形為方程 2 1 (1 )x m x? ? ? 在 (0 ,2)中有解。若采用數(shù)形結(jié)合方法解決此類問(wèn)題 ,則 思路自然、結(jié)果簡(jiǎn)明直觀 ,易操作 ,容易理解運(yùn)用。 含參數(shù)的方程 中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的是 含參數(shù)的 二次方程 ， 很多數(shù)學(xué)問(wèn)題最后 都可 轉(zhuǎn)化為二次方程問(wèn)題來(lái)處理。 結(jié)合函數(shù)定義域正確畫出函數(shù)圖像 時(shí)要注意交點(diǎn)，分界點(diǎn)。 觀察圖象 ,兩函數(shù)圖象有 3個(gè)交點(diǎn) 。 做出函數(shù) 2 14y x x? ? ? 和 1y x? 的圖象，從圖 2中可以看出兩曲線的交點(diǎn) M只有一個(gè)， 所以， 方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解。 解：此題若直接解方程則較為困難， 若利用數(shù)形結(jié)合，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾 何問(wèn)題，則較為簡(jiǎn)單。分析題意，提取作圖的限制條件，列出滿足條件的方程，做到不重不漏。 方程實(shí)根的正負(fù)情況 若 用代數(shù)方法研究方程根的情況 ,計(jì)算復(fù)雜 .但如果 用 數(shù) 形結(jié)合的方法 ,利用方程與函數(shù)的關(guān)系 ,畫出函數(shù)圖象 ,將方程解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)來(lái)處理 ,則形象直觀 ,過(guò)程明了 。 2 方程問(wèn)題 方程是 中學(xué)數(shù)學(xué)中 常見(jiàn) 和重要的學(xué)習(xí) 研究對(duì)象，特別是二次方程，是方程問(wèn)題學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合在解題過(guò)程中應(yīng)用十分廣泛，如在 解決集合問(wèn)題 ，求函數(shù)的值域和最值問(wèn)題，解方程和解不等式問(wèn)題 ， 三角函數(shù)問(wèn)題 ， 解決線性規(guī)劃問(wèn)題 中都有體現(xiàn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，不僅 易于 直觀的 尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計(jì)算和推理 過(guò)程 ， 大大 簡(jiǎn)化解題過(guò)程 。 在解析幾何中就常常利用數(shù)量關(guān)系去解決圖形問(wèn)題。 其主要作用 是 將 抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。 Linear programming problem 2 1 引 言 數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老，也是最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化。 The most value problems。 Equation problem。 thinking ability, is conducive to the improvement of their ability to problem solving. Key words: The number of bination form。 在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想 ,有助于學(xué)生思維能力的 培養(yǎng) , 有利于他們解題能力的提高。Ⅰ 目錄 摘要 ........
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