【正文】 ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ????對 于 終 身 壽 險 現(xiàn) 值 與 年 首 給 付 生 存 保 險 現(xiàn) 值 的 關(guān) 系 有如 下 公 式 :證 明 由 于把 上 式 兩 端 同 時 除 上 即實 際 意 義定 理 ：是 ? 從 概 率 的 角 度 怎 么 證 ？1::1: : : : 11,11 , 11 ( 1 )xxx n x nxxnx n x n x n x nxxxxA dada Ad a A A A v a aa a ii a i A?????? ? ? ?? ? ?? ? ?經(jīng) 過 變 換 ：實 際 意 義 是 ？類 似 地 有由 我 們 可 以 在 定 理 公 式 兩 端 同 乘實 際 意 義 的 解 釋 ？ 年付款 m次生存年金的精算現(xiàn)值 ? ?? ?11011111mxmx t xtmtxtxmmhxkkhxma x mmaEmDmDDmD?????????????????用 表 示 某 人 歲 投 保 , 每 年 收 付 款 次 ， 每 次 收 付 款 額 為的 期 末 付 終 身 生 命 年 金 的 現(xiàn) 值 。用 表 示 某 歲 人 投 保 一 定 期 年 ， 每 年 年 首 得 到 給 付 單 位 元 的期 首 生 命 年 金 的 現(xiàn) 值 。（ 2 ） 計 算 ， 從概率的角度看：每年一次的生存年金是在被保險人整值余壽期間定期確定的年金，生存年金的精算現(xiàn)值是依賴于被保險人整值余壽的期望值。11 1 11101,111xxx t xx t x x tt t tx x xxxx x x xx t x xt x x xaxaDNa E DD D DaxaN D N Na E aD D D? ? ????? ? ?????? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ??（ 1 ） 用 表 示 某 人 歲 開 始 投 保 ， 支 付 年 金 的 時 間 是 每 年 年 末 ， 金 額單 位 元 的 生 命 年 金 現(xiàn) 值 。 終身和定期壽險的繳費(fèi)方式通常也采取生存年金的方式。? ?? ? ,112n x t x n t x ttxn x n t x te g n tE E EEEE???????對 證 明 并 解 釋 下 面 兩 個 式 子 ： 年付一次生存年金的精算現(xiàn)值 生存年金是以生存為條件發(fā)生給付的年金。 ? ?? ?1::1 / ( ) 1 ,nxxxnnn x x x nnnx n x nn x n xxxnn x x x nnxnxnn xn x n xxnEl x nlE l v lv l DE v plDE l i lEElE v p il????????? ? ???? ? ?（ 1 ） 表 示 這 一 現(xiàn) 值（ 2 ） 設(shè) x 歲 時 ， 有 人 購 買 了 這 種 保 險 ， 于 是 在 歲時 ， 將 有 人 存 活則 有 ：即 ：（ 3 ）現(xiàn) 實 意 義 的 解 釋 ：（ 4 ） 在 利 率 和 生 者 利 下 n 年 的 折 現(xiàn) 系 數(shù) ； 1/ 在 利 率 和 生 者 利 下 n 年 的 累 積 系 數(shù) 。 純粹的生存保險是指被保險人在保險合同簽訂的時間期滿存活，將得到合同規(guī)定的保險金。的 概 率 密 度 為 對 于 單 位 元 終 身 壽 險 精 算 現(xiàn) 值 ， 我 們 表 示 為 ：的 方 差 為 ： 積分形式在不知道生存函數(shù)下，很難處理。 某人在 40歲時買了保險額為 20200元的終身壽險，假設(shè)他的生存函數(shù)表示為 S(x)=1x/105，賠付在死亡年末支付，利率為 10%，求這一保單的精算現(xiàn)值。（ 1 ） 遞 增 型 人 壽 保 險 的 躉 繳 凈 保 費(fèi)（ 2 ） 遞 減 型 人 壽 保 險 的 躉 繳 凈 保 費(fèi)（ 1）標(biāo)準(zhǔn)遞增終身壽險 ? ?? ?10100120 0 0 0( 1 )11( 1 ) ( 1 )11xtxtxtxtx t x txttxxx t x t x t x tt t t txxxIAI A t v qt v d t Cv l DC C C MDD???????????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ????????? ? ? ?某 歲 的 人 投 保 ， 保 單 規(guī) 定 ， 若 被 保 險 人 在 第 一 年 死 亡 ， 保 險 金 為 1 單位 元 ； 若 被 保 險 人 在 第 二 年 內(nèi) 死 亡 ， 保 險 金 為 2 單 位 元用 表 示 這 種 保 險 的 現(xiàn) 值 ， 則引 進(jìn) 轉(zhuǎn) 換 ? ?0xx x txt xRR M I AD??????函 數(shù) ： 則? ? ? ? 100( 1 ) k xxkxkkI A E Z k v q k A?????? ? ? ???根 據(jù) 概 率 的 知 識 ， 我 們 還 可 以 得 到（ 2）定期遞增壽險 ? ?? ?? ?1:1111:0010101( 1 ) ( 1 )1xnnnkx x kkxnkk xnx k x nkxnx x n x nxk n kkxIAI A k v q k CDMMDR R nMAD???????????????? ? ? ???????????用 表 示 躉 繳 凈 保 費(fèi) ， 則 從標(biāo)準(zhǔn)遞增定期壽險的意義出發(fā)，可以得到另外兩個不同的公式： ? ?? ?11:011 1:::1nxxknxnknx n x n kxnkI A A n AI A n A A???????????（ 3） n年標(biāo)準(zhǔn)遞增的兩全壽險 ? ?? ? ? ?:1 1:::xnxnx n x nI A n n nI A I A nA?? 精 算 現(xiàn) 值 以 表 示 ， 它 是 年 定 期 遞 增 壽 險 精 算 現(xiàn) 值 與 年 單位 元 純 生 存 保 險 現(xiàn) 值 之 和 ， 有（ 4） 等值遞增 n年的終身壽險的躉繳凈保費(fèi) ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?1100( 1 )( 1 )nxn x n xxtxtnxtnntx x n tntttxnxx x nnxxIAI A I A I AI A t n v qt v q MRDRRIAD????????????????? ? ?? ? ???????用 表 示 躉 繳 凈 保 費(fèi) ， 則其 中 ，所 以 ， 我 們 得 到 ：（ 5）遞減型人壽保險的躉繳凈保費(fèi) ? ?? ?? ?1:12 3 11 2 2 1:1 2 3 11 2 2 11 2 2 11( 1 ) ( 2) 21( 1 ) ( 2) 21( 1 ) ( 2) 2xnnnx x x x n x nxnxx x x x n x nx x x x n x nxx x x x n x nxDAD A nv d n v d n v d v d v dlnv d n v d n v d v d v dDnC n C n C C CD?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??用 表 示 這 種 壽 險 的 躉 繳 凈 保 費(fèi) 。若保險金額是 20200元，求其應(yīng)付的躉繳凈保費(fèi)是多少元？ 標(biāo)準(zhǔn)變額壽險 ? ?111110:, 0 , 1 , ....KKKkkx kkbZ b v KA E Z b v q??????????? ? 在 承 接 人 壽 保 險 業(yè) 務(wù) 的 實 際 工 作 中 ， 經(jīng) 常 會 遇 到 保 險 金 額 隨著 保 險 時 期 的 不 同 而 變 化 的 壽 險 。 （ 2）若此人投保一次繳付 1500元的凈保費(fèi)，求其保險金額是多少？ 例 2 在例 1中，把 35年的定期壽險改成終身壽險，其他情況不變?，F(xiàn) 值 隨 機(jī) 變 量 為 ： 注 ： 有 的 書 上 記 為 ?，F(xiàn) 值 隨 機(jī) 變 量 為 ： 或 者證 明 ： 給 出 實 際 意 義 的 解 釋 。 后者是以 n年期滿被保險人仍然存活為給付條件的生存保險，其現(xiàn)值隨機(jī)變量為： ? ?1:1:, 1 , ...0 0 , 1 , ... , 1.nxnnnxxnv K n nZKnAA E Z v p? ??? ??????其 精 算 現(xiàn) 值 以 表 示 ， 有1:11 1 1: : :00 , 1 , ..., 1, 1 , ...Knxnnknx n xkx n x n x nkx x n x nxxnnv K nZv K n nAA A A v q v pM M DDD??????? ??? ????? ? ? ??