【正文】 ? 理解 (x)的單位金額終身壽險在第一年末的價值等于(x)在第一年死亡的情況下 1單位的賠付額 ,或生存滿一年的情況下凈躉繳保費 。 ? （ 4） 60歲的人按實質(zhì)利率為 6%計算的躉繳純保費。 ? （ 2） 60歲的人按實質(zhì)利率為 %計算的躉繳純保費。 80 0 .1q ?80 ?例 1| 8002380 1 | 80 2 | 802380 80 81 80 81 822 3 480 80 81 81 82 2 81 8380 808080( ) ( 1 )2323( 2 3 4 )0. 1 0. 92 50. 09 25 0. 9 43. 90 750. 90. 2 0.kxkkI A k V qVq V q V qVq V p q V p p qVq p V q V p q V p qVq p QqVqV?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?????????當(dāng) ＝ 時， 得當(dāng) ＝ 9253. 90 75( ) 0. 92 5 0. 2 0. 8 3. 65 810. 9xIA ? ? ? ? ?時 死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費之間的關(guān)系 (UDD) ? 以終身壽險為例，有剩余壽命等于整值剩余壽命加死亡之年分?jǐn)?shù)生存壽命： ? 在 UDD假設(shè)下， k, s為相互獨立的隨機變量，且 s服從均勻分布 111101 0 111100( ) ( ) ( )1 ( 1 )|l n l nT K Ssx x xssE v E v E viA A v d s AV V V i iV d sVV???????????? ? ? ?? ? ?? ? ? ????其 中1111122( ) ( ) ZT k s k sxkxA E Z Z V V V VA E Z V? ? ??? ? ? ? ???死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費之間的關(guān)系 (UDD) ? 在滿足如下兩個條件的情況下，死亡即刻賠付凈躉繳純保費是死亡年末賠付凈躉繳純保費的 倍。 （ 4） 60歲的人按實質(zhì)利率為 6%計算的躉繳純保費。 （ 2） 60歲的人按實質(zhì)利率為 %計算的躉繳純保費。 ? —— 保險賠付金在簽單現(xiàn)時值的期望 。 基本符號 ? —— 歲投保的人整值剩余壽命 ? —— 保險金在死亡年末給付函數(shù) ? —— 貼現(xiàn)函數(shù)。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數(shù)。假定受益金額為剩余壽命的線性遞減函數(shù) ? 特別： ? 一年遞減一次 (provide n at the moment of the death during the first year,n1 at moment of death during the second year and so on) ? 一年遞減 m次 (the benefit will be 1/m at the moment of death during the first mth of a yearof the term of the insurance and decreasing by 1/m at mthly intervals ) ? 一年遞減無窮次（連續(xù)遞減） (the limiting case of the mthly decreasing ) ? 現(xiàn)值隨機變量 ? 躉繳保費厘定 { [ ] } ,0,ttn t v t nztn? ??? ???? ?? ?1:0120 1 11 1( ) ( )( 1 )( 1 )tt t x x txnnt t tt x x t t x x t t x x tnkntt x x tk kD A E z n t v p d tn V p d t n V p d t V p d tn k v p d t??? ? ???? ? ???? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? m次 ? 現(xiàn)值隨機變量 ? 躉繳保費厘定 [],0,tttmn v t nz mtn? ????? ? ?? ???? ??( ) 1:011 1[]( ) ( )1nmtt t x x txnm k smnmtt x x tks m k smtmD A E z n v p dtmsn v p dtm??????? ????? ? ? ? ????????? ? ? ???????? ?（連續(xù)遞減） ? 現(xiàn)值隨機變量 ? 躉繳保費厘定 ( ) ,0,ttn t v t nztn? ???? ??1:0( ) ( ) ( )ntt t x x txnD A E z n t v p d t? ?? ? ? ? ??計算未來給付現(xiàn)值隨機變量 zt的高階矩 tttt0t0 Z = b V[ ] b[ ] btt x x tk k k tt x x tE Z V p dtE Z V p dt??????????假 定 利 息 保 持 不 變計算未來給付現(xiàn)值隨機變量 zt的高階矩 ?若 ， 則 的計算結(jié)果只須將 的計算結(jié)果中的 ?換為 k?即可 ， 無需重新計算 ， 這是一種很直接的運算技巧 ， 比如 ttbbk? []kEZ E(Z)2222( ) ( ) ( 2 )( ) ( ) ( ) ( )xxkkx x xE Z A E Z AE Z A k V a r Z A A?????? ? ?利 息 力 換 為倍第三節(jié) 死亡年末賠付 躉繳純保費的厘定 死亡年末賠付（ payable at the end of the year of death） ?死亡年末賠付的含義 ? 死亡年末陪付是指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險公司將在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險賠付。 ? 五年定期壽險 ? 終身壽險 ? 五年生存保險 ? 五年兩全保險 ? 五年延期終身壽險 1 100x x?????? ，、遞增終身壽險 ? 定義：遞增終身壽險是變額受益保險的一種特殊情況。 (provide for an amount to be payable either following the death of the insured or upon the survival of the insured to the end of the nyear term,whichever occurs first)。 ?已知 ?求： 0 .0 40. 06 ( ) , 0xS x e x? ?? ? ?，t10( 1 ) ( 2 ) V a r ( z )xA例 10 10 102 1022()( 1 ) ( ) 0. 04()0. 04 0. 04 0. 14 70. 04( 2) 0. 04 0. 05 04 70. 16( ) ( ) 0. 02 88tTt t txmtttxmt x xmmS x tf t eSxA e e dt e dteA e e dtVa r z A A???? ? ????????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ????exercise ? Consider a 5year deferred whole life insurance payable at the moment of the death of (x),the individual is subject to a constant force of mortality ?=,for the distribution of the present value of the benefit payment,at ?=,calculate ? expectaion ? variace ? median 、 n 年定期生存保險 ? 定義 ? 被保險人投保后生存至 n年期滿時，保險人在第 n年末支付保險金的保險（ the insurer provides for a payment at the end of the n years if and only if the insured survives at least n years from the time of policy issue）。 ? 假定： 歲的人，保額 1元，延期 m年的終身壽險 ? 基本函數(shù)關(guān)系 )(x , 0 , 1 , 0 , 0 , tt tt t ttv v tv t mz b vtmb t mtm??? ?? ? ??????? ??? 、 延期終身壽險 ?躉繳純保費的符號： ?厘定： xm A001:( ) ( )( ) ( )mxt t Tmmt T t Tx x mA E z z f t dtz f t dt z f t dtAA???????????、 延期終身壽險 ?現(xiàn)值隨機變量的 方差公式 ? 記 ? 所以方差等價于 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )tt t t T tmVa r z E z E z e f t dt E z? ??? ? ? ??22 ()txTm mA e f t d t? ??? ?22( ) ( )t x xmmV a r z A A??例 ?假設(shè)（ x） 投保延期 10年的終身壽險，保額 1元。 ? 假定： 歲的人，保額 1元 n年定期壽險 ? 基本函數(shù)關(guān)系