【正文】 x)投保終身壽險，保險金額為 1元 ? 保險金在死亡即刻賠付 ? 簽單時， (x)的剩余壽命的密度函數(shù)為 ? 計算 1 , 0 6 0( t) 600 , Ttf? ??????? 其它0 .9 0 .91(2) ( )(3 ) P r( ) 0 .9 .xtAV a r zz ????（）的solutions 0606002260220120 602( 1 ) ( )1160 602 ( ) ( ) 1()6011()12 0 60txTtt x xtxA e f t dtee dtV ar z A Ae dt Aee????????????????????????????（）solutions 0 . 90. 9 0. 90. 90. 90. 960lnln660. 9 0. 9( 3 ) Pr ( ) Pr ( ) ln= Pr ( l n l n ) ( )lnln60ln( ) 0 .960l n 6 l nttTvzvt v P tvvf t d tv v e??????????? ? ?? ? ??? ? ?? ? ? ? ?? ? Assume that each of 100 independent lives ? is age x ? is subject to a constant force of mortality,?= and ? is insured for a death benefit amount of 10 units,payable at the moment of death ? The benefit payment are to be withdrawn from an investment fund earing ?=. Calculate the minimum amount that at t=0 so that the probability is approximately that sufficient funds will be on hand to withdraw the benefit payment at the death of each individual 、 延期終身壽險 ? 定義 ? 保險人對被保險人在投保 m年后發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種 (provide for a benefit following the death of of the insured only if the insured dies at least m years after policy issue)。 ? 假定： 歲的人，保額 1元，延期 m年的終身壽險 ? 基本函數(shù)關(guān)系 )(x , 0 , 1 , 0 , 0 , tt tt t ttv v tv t mz b vtmb t mtm??? ?? ? ??????? ??? 、 延期終身壽險 ?躉繳純保費的符號： ?厘定： xm A001:( ) ( )( ) ( )mxt t Tmmt T t Tx x mA E z z f t dtz f t dt z f t dtAA???????????、 延期終身壽險 ?現(xiàn)值隨機變量的 方差公式 ? 記 ? 所以方差等價于 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )tt t t T tmVa r z E z E z e f t dt E z? ??? ? ? ??22 ()txTm mA e f t d t? ??? ?22( ) ( )t x xmmV a r z A A??例 ?假設(shè)（ x） 投保延期 10年的終身壽險，保額 1元。 ?保險金在死亡即刻賠付。 ?已知 ?求： 0 .0 40. 06 ( ) , 0xS x e x? ?? ? ?，t10( 1 ) ( 2 ) V a r ( z )xA例 10 10 102 1022()( 1 ) ( ) 0. 04()0. 04 0. 04 0. 14 70. 04( 2) 0. 04 0. 05 04 70. 16( ) ( ) 0. 02 88tTt t txmtttxmt x xmmS x tf t eSxA e e dt e dteA e e dtVa r z A A???? ? ????????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ????exercise ? Consider a 5year deferred whole life insurance payable at the moment of the death of (x),the individual is subject to a constant force of mortality ?=,for the distribution of the present value of the benefit payment,at ?=,calculate ? expectaion ? variace ? median 、 n 年定期生存保險 ? 定義 ? 被保險人投保后生存至 n年期滿時，保險人在第 n年末支付保險金的保險（ the insurer provides for a payment at the end of the n years if and only if the insured survives at least n years from the time of policy issue）。 ? 假定： 歲的人，保額 1元， n年定期生存保險 ? 基本函數(shù)關(guān)系 )(x , 0 , 1 , 0 , 0 , nt nt t ttv v tv t nz b vtnb t ntn??? ?? ? ??????? ???、 n 年定期生存保險 ?躉繳純保費的符號： ?躉繳純保費厘定 ?現(xiàn)值隨機變量的方差： 1:xnA1: () nnxn t n x n xA E z v p e p??? ? ? ? ?222 1 1 2::( ) ( )()nnt n x n xx n x nV a r z v p v pAA? ? ? ???、 n年定期兩全保險 ? 定義 ? 被保險人投保后如果在 n年期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險人即刻給付保險金；如果被保險人生存至 n年期滿，保險人在第 n年末支付保險金的保險。 (provide for an amount to be payable either following the death of the insured or upon the survival of the insured to the end of the nyear term,whichever occurs first)。 ? 假定： 歲的人，保額 1元， n年定期兩全保險 ? 基本函數(shù)關(guān)系 )(x , , , , 1 , 0ttt nt t t ntv t nv v t nz b vv t nv t nbt? ???? ?? ?? ? ?? ???????? n年定期兩全保險 ?躉繳純保費的符號： ?厘定 記： n年定期壽險現(xiàn)值隨機變量為 n年定期生存險現(xiàn)值隨機變量為 n年定期兩全險現(xiàn)值隨機變量為 已知 則 :xnA1z2z3z3 1 2z z z??11: : :3 1 2( ) ( ) ( ) x n x n x nE z E z E z A A A? ? ? ? ? n年定期兩全保險 n年定期兩全險現(xiàn)值隨機變量的方差可計算為 因為 所以 3 1 2 1 21 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( , )( ) ( ) ( ) ( ) ( )V a r z V a r z V a r z C o v z zV a r z V a r z E z z E z E z? ? ?? ? ? ? ? ?12 0zz??1 13 1 2::( ) ( ) ( ) x n x nV a r z V a r z V a r z A A? ? ? ?例 （例 ） ?設(shè) ?計算 ( ) 1 , 0 1 0 01000 .1xS x xi? ? ? ??3 0 :1 01 ( 2 ) ( )tA V a r z（）例 1130 : 10110 1030 : 1010 301130 : 1030 : 10 30 : 10212030 : 102 10 301130 : 103 1 230 : 10 ( ) 60( 1 ) 70( 2) ( ) 5( ) ( ) ( ) 1ttt t tA Va r zA v pA A AVa r z v p AVa r z Va r z Va r z A A???? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ? ?由 例 已 知 ：、 延期 m年 n年定期兩全保險 ? 定義 ? 被保險人在投保后的前 m年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第 m+1年開始為期n年的定期兩全保險 ? 假定： 歲的人，保額 1元，延期 m年的 n年定期兩全保險 ? 基本函數(shù)關(guān)系 )(x , 0 , , , m0 , , 1 , tt mntt t tmntv t m ntmvv t m nz b v v t m ntmv t m nbtm??? ????? ????? ??