精算數(shù)學(xué)壽險(xiǎn)精算學(xué)課件(編輯修改稿)
2024-10-05 13:13 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ? ? ? ? ???? ???? ? ???、 延期 m年 n年定期兩全保險(xiǎn) ?躉繳純保費(fèi)的符號(hào)： ?厘定 :m x nA:11::mnt m nm x nt x x t t x x tm m nm x nm xnA v p d t v p d tAA??????????????、延期 m年 n年定期兩全保險(xiǎn) ? 記： m年延期 n年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 m年延期 n年定期生存險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 m年延期 n年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 已知 則 現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差 1z2z3z3 1 2z z z??11:3 1 2 :( ) ( ) ( ) m x nm xnV a r z V a r z V a r z A A? ? ? ?exercise ? 例：考慮一個(gè) 50歲的人 ， 其死亡服從 ? 計(jì)算下列五種保險(xiǎn)計(jì)劃的躉繳凈保費(fèi) ， 保額均為1000元 ， 在死亡發(fā)生時(shí)立即給付 。 ? 五年定期壽險(xiǎn) ? 終身壽險(xiǎn) ? 五年生存保險(xiǎn) ? 五年兩全保險(xiǎn) ? 五年延期終身壽險(xiǎn) 1 100x x?????? ，、遞增終身壽險(xiǎn) ? 定義：遞增終身壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞增函數(shù) ? 特別： ? 一年遞增一次 (provide 1 at the moment of death during the first year,2 at the moment of the second year and so on) ? 一年遞增 m次 (the benefit will be 1/m at the moment of death during the first mth of a yearof the term of the insurance and increasing by 1/m at mthly intervals throughout the term of the insurance) ? 一年遞增無(wú)窮次（連續(xù)遞增） (the limiting case of the mthly increasing ) ? 現(xiàn)值隨機(jī)變量 ? 躉繳保費(fèi)厘定 [ 1 ] ttz t v??01 2 30 1 211( ) ( ) [ 1 ]1 2 3 3tx t t x x tt t tt x x t t x x t t x x tktt x x tkkI A E z t v p d tV p d t V p d t V p d tk V p d t??? ? ???? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? m次 ? 現(xiàn)值隨機(jī)變量 ? 躉繳保費(fèi)厘定 ()011 1[ 1 ]( ) ( )mtx t t x x tm k smmtt x x tks m k smmtI A E z v p dtmm k sv p dtm????????? ???? ? ? ??? ? ???? ?[ 1 ] ttmtzvm??（連續(xù)遞增） ? 現(xiàn)值隨機(jī)變量 ? 躉繳保費(fèi)厘定 ttz tv?0 0 0|00()tttx t x x t t x x ttt x x t s xsI A tv p d t d s V p d tV p d td s A d s???????? ? ??? ? ? ???? ? ?? ? ?， 積 分 變 換 后例 ?例： Z是 （ x） 的 n年定期壽險(xiǎn) ， bt為死亡時(shí)給付額的現(xiàn)值隨機(jī)變量 ， 計(jì)算 Var(Z)， 其中 bt=(1+i)t ?提示： tttZ = b V 1 ( 0 )tn? ? ?? 0 1 0 nxnxZ t n pZ t n q? ? ?? ? ? ?， ，、遞減定期壽險(xiǎn) ? 定義：遞減定期壽險(xiǎn)是變額受益保險(xiǎn)的另一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞減函數(shù) ? 特別： ? 一年遞減一次 (provide n at the moment of the death during the first year,n1 at moment of death during the second year and so on) ? 一年遞減 m次 (the benefit will be 1/m at the moment of death during the first mth of a yearof the term of the insurance and decreasing by 1/m at mthly intervals ) ? 一年遞減無(wú)窮次（連續(xù)遞減） (the limiting case of the mthly decreasing ) ? 現(xiàn)值隨機(jī)變量 ? 躉繳保費(fèi)厘定 { [ ] } ,0,ttn t v t nztn? ??? ???? ?? ?1:0120 1 11 1( ) ( )( 1 )( 1 )tt t x x txnnt t tt x x t t x x t t x x tnkntt x x tk kD A E z n t v p d tn V p d t n V p d t V p d tn k v p d t??? ? ???? ? ???? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? m次 ? 現(xiàn)值隨機(jī)變量 ? 躉繳保費(fèi)厘定 [],0,tttmn v t nz mtn? ????? ? ?? ???? ??( ) 1:011 1[]( ) ( )1nmtt t x x txnm k smnmtt x x tks m k smtmD A E z n v p dtmsn v p dtm??????? ????? ? ? ? ????????? ? ? ???????? ?（連續(xù)遞減） ? 現(xiàn)值隨機(jī)變量 ? 躉繳保費(fèi)厘定 ( ) ,0,ttn t v t nztn? ???? ??1:0( ) ( ) ( )ntt t x x txnD A E z n t v p d t? ?? ? ? ? ??計(jì)算未來(lái)給付現(xiàn)值隨機(jī)變量 zt的高階矩 tttt0t0 Z = b V[ ] b[ ] btt x x tk k k tt x x tE Z V p dtE Z V p dt??????????假 定 利 息 保 持 不 變計(jì)算未來(lái)給付現(xiàn)值隨機(jī)變量 zt的高階矩 ?若 ， 則 的計(jì)算結(jié)果只須將 的計(jì)算結(jié)果中的 ?換為 k?即可 ， 無(wú)需重新計(jì)算 ， 這是一種很直接的運(yùn)算技巧 ， 比如 ttbbk? []kEZ E(Z)2222( ) ( ) ( 2 )( ) ( ) ( ) ( )xxkkx x xE Z A E Z AE Z A k V a r Z A A?????? ? ?利 息 力 換 為倍第三節(jié) 死亡年末賠付 躉繳純保費(fèi)的厘定 死亡年末賠付（ payable at the end of the year of death） ?死亡年末賠付的含義 ? 死亡年末陪付是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險(xiǎn)賠付。 ? 由于賠付時(shí)刻都發(fā)生在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末，所以死亡年末陪付時(shí)刻是一個(gè)離散隨機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的整值剩余壽命加一。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數(shù)。所以死亡年末賠付方式是保險(xiǎn)精算師在厘定躉繳保費(fèi)時(shí)通常先假定的理賠方式。 基本符號(hào) ? —— 歲投保的人整值剩余壽命 ? —— 保險(xiǎn)金在死亡年末給付函數(shù) ? —— 貼現(xiàn)函數(shù)。 ? —— 保險(xiǎn)賠付金在簽單時(shí)的現(xiàn)時(shí)值。 ? —— 保險(xiǎn)賠付金在簽單現(xiàn)時(shí)值的期望 。 kxK ?)(kbkvkzk k kz b v??()kEzx定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付場(chǎng)合 ?基本函數(shù)關(guān)系 ? 記 k為被保險(xiǎn)人整值剩余壽命，則 11 , 0 , 1 , , 11 , 0 , 1 , , 10 , , 0 , 1 , , 10 , kkkkk k kv v k nknbknv k nz b vkn??? ? ????? ???? ??? ? ? ??? 定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付場(chǎng)合 ?躉繳純保費(fèi)的符號(hào)： ?厘定： 111:0111:0()nkk k x x kxnknkx x kxnkA E z v p ql A v d????????? ? ? ?? ? ???1:xnA 定期壽險(xiǎn)死亡年末賠付場(chǎng)合 ?現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差公式 ?記 ?等價(jià)方差為 12 2 2 ( 1 ) 20( ) ( ) ( ) ( )nkk k k k x x k kkV a r z E z E z v p q E z????? ? ? ? ? ??12 1 2 ( 1 ):0nkk x x kxnkA v p q????? ? ??2 1 1 2::( ) ( )k x n x nV a r z A A??死亡年末給付躉繳純保費(fèi)公式歸納 終身壽險(xiǎn)
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