【正文】 ：借助于Taylor級數(shù)法的思想，將yn+1=yn+hy’(ξ)中的y’(ξ)（平均斜率）表示為f在若干點(diǎn)處值的線性組合，通過選擇適當(dāng)?shù)南禂?shù)使公式達(dá)到一定的階。四：Romberg求積法和Gauss求積法的基本思想：1）復(fù)化求積公式精度較高，但需要事先確定步長，欠靈活性，在計算過程中將步長逐次減半得到一個新的序列，用此新序列逼近I的算法為Romberg求積法。而逼近函數(shù)的值只要滿足很好的均勻逼近即可。2）不同點(diǎn)：A，被插值函數(shù)是未知的，而被逼近函數(shù)是已知的。2）擬合問題：從理論上講y=f(x)是客觀存在的，但在實(shí)際中，僅僅從一些離散的數(shù)據(jù)（xi,yi）(i=1,2…)是不可能求出f(x)的準(zhǔn)確表達(dá)式，只能求出其近似表達(dá)式φ（x）。二：Runge現(xiàn)象即高次插值的振蕩現(xiàn)象，指增加節(jié)點(diǎn)固然能使插值函數(shù) p(x)與被插值函數(shù)f（x）在更多的地方相等，但在兩點(diǎn)之間p(x)不一定能很好地近似f（x），有時候誤差非常大。：1）若某算法受初始誤差或運(yùn)算過程中的舍入誤差影響較小，則稱為數(shù)值穩(wěn)定。：1）截斷誤差：模型的準(zhǔn)確解與數(shù)值方法準(zhǔn)確解之間的誤差。2）其次要對計算的結(jié)果進(jìn)行誤差估計，以確定其是否滿足精度。235。522c1234。234。234。221641234。233。2249。31213141249。1234。234。1234。x2dx=579000233。xdx=，(j1,f)=242。xdx=，(j1,j0)=242。xdx=，(j2,j0)=242。1dx=1，(j1,j1)=242。321解：j0(x)186。四、本章測驗(yàn)題1問題描述：定義內(nèi)積：(f,g)=242。問題2：插值與擬合的異同？解：相同點(diǎn)：都需要根據(jù)已知數(shù)據(jù)構(gòu)造函數(shù)，可使用得到的函數(shù)來計算未知點(diǎn)的函數(shù)值。因此如果能用這三種之一來擬合的話，則通常是三次公式的方差蕞小。D *j=0nA=[F0,F1，F(xiàn)n]，c=[c0,c1，]T法方程為ATAc=ATy還可以通過構(gòu)造正交多項(xiàng)式作為基函數(shù)組，然后去擬合給定的數(shù)據(jù)，此種方法不用求解矩陣，而是直接求解方程解出相應(yīng)的系數(shù)。Di=0mm2D=span{f0(x),f1(x)，fn(x)},nmf(x)=229。[f(x)y]=min229。Hn**②最佳平方逼近的條件(fp,fj)=0 ③ 最佳平方逼近元素是唯一的 ④最佳平方逼近元素的求法p(x)=**229。x163。Ln(x)=nn[(x1)],n=1,2,2n!dx238。237。L0(x)186。其中a=(j=0,1，k)kj239。239。fk+1(x)=x229。k239。f0(x)186。239。238。j④正交函數(shù)系：(ji,jj)=242。r(x)f(x)g(x)dx=0a236。r(x)f(x)g(x)dxa學(xué)習(xí)本節(jié)要熟練掌握權(quán)函數(shù)和內(nèi)積的一些性質(zhì) ①權(quán)函數(shù)：r(x)b②內(nèi)積：(f,g)=242。39。39。(x0)=s39。(x0)=y0,s39。(x0),yn=f39。39。39。39。39。39。39。39。39。39。39。ajx+229。(n+1)!Hm+n+1(x)。Newton插值主要是差商的理解與應(yīng)用，在做題過程中首先應(yīng)根據(jù)已知條件構(gòu)造差商表，然后根據(jù)差商表構(gòu)造插值多項(xiàng)式；⑤截斷誤差的求取： f(n+1)(x)f(n+1)(x)Rn(x)=w(n+1)(x)，并且f[x0,x1,...,xn]=w(n+1)(x)，計算時一(n+1)!(n+1)!般采用截斷誤差的估計式：Rn(x)163。kj185。[213。,k=0,1,2，n；j=0xkxjnxxj②Lagrange插值多項(xiàng)式pn(x)=229。在本章的學(xué)習(xí)過程中也遇到不少問題，比如本章知識點(diǎn)多，公式多，在做題時容易張冠李戴，其次對正交多項(xiàng)式的性質(zhì)理解不夠透徹，這些問題在做題時就能夠體現(xiàn)出來，所以說通過做題才能發(fā)現(xiàn)問題所在。第四篇：數(shù)值分析第五章學(xué)習(xí)小結(jié)第五章插值與逼近學(xué)習(xí)小結(jié)姓名班級學(xué)號一、本章學(xué)習(xí)體會本章為插值與逼近，插值與逼近都是指用某個簡單的函數(shù)在滿足一定的條件下，在某個范圍內(nèi)近似代替另一個較為復(fù)雜或者解析表達(dá)式未給出的函數(shù)，以便于簡化對后者的各種計算或揭示后者的某些性質(zhì)。11212nRT163。1020163。(h)=163。112ba314 hmaxf39。(h)可得： 0163。ba3hmaxf39。x163。x163。x163。39。39。hf(h) 12RT163。104，試問n至少取多少？解：復(fù)化的梯形公式的截斷誤差為：RT=ba339。四、本章測驗(yàn)題1問題：如果用復(fù)化梯形公式計算定積分242。？答：對于復(fù)化梯形公式可根據(jù)其截斷誤差公式，首先求得h=ba，然后求nf(x)的二階倒數(shù)，判斷f(x)的二階倒數(shù)的單調(diào)性，然后在積分區(qū)間上求得f(x)的二階倒數(shù)的最大值就可以估計復(fù)化求積公式的誤差，利用估計出的復(fù)化求積公式的誤差還可以求得用復(fù)化梯形公式近似求解某一積分的有效數(shù)字有多少位。用數(shù)值求積公式計算定積分可以克服牛頓—萊布尼茲公式的弱點(diǎn)，但是數(shù)值計算結(jié)果帶有誤差。數(shù)學(xué)推導(dǎo)中用拉格朗日插值函數(shù)代替被積函數(shù)，其表現(xiàn)形式是有限個函數(shù)值的線性組合，而組合系數(shù)恰好是拉格朗日插值基函數(shù)的定積分。i=0i185。r(x)dxanb（5）求積公式的構(gòu)造 第一步：找高斯點(diǎn)2g(x)=1,g(x)=x+a,g(x)=x+bx+c,L由正交性確定121）待定系數(shù)法：設(shè)0待定系數(shù)a,b,c,…..2）利用遞推公式 第二步：確定求積系數(shù)Ak 1）解線性方程組 2）Ak=242。(xk)(xxk)gnadx,k=1,2,L,n性質(zhì)：0,k=1,2,L,n=0229。（4）求積系數(shù) 公式：Ak=242。（2）定理：n個節(jié)點(diǎn)的 Gauss型求積公式的代數(shù)精度為2n1。f(x2k)]3k=1k=1截斷誤差：Rs=ba4(4)hf(h),h206。[f(a)+f(b)+4229。[a,b]12（2）復(fù)化Simpson公式：242。162。[f(a)+f(b)+2229。余項(xiàng)：R2=（1）復(fù)化梯形公式：242。abbaa+b[f(a)+4f()+f(b)] 62(ba)5(4)f(h),h206。余項(xiàng)：R1=12n=2 Simpson公式：242。(h),h206。[f(a)+f(b)]2(ba)3f162。（4）常用的NewtonCotes求積公式n=1 梯形公式：242。(ttj)dt(n+1)!242。lf(xk)=(ba)229。f(x)dx187。（3）求積系數(shù)：229。（1）求積公式： Rn=242。第三篇：數(shù)值分析第六章學(xué)習(xí)小結(jié)第六章數(shù)值積分學(xué)習(xí)小結(jié)姓名班級學(xué)號一、本章學(xué)習(xí)體會本章主要講授了數(shù)值積分的一些求積公式及各種求積公式的代數(shù)精度，重點(diǎn)應(yīng)掌握插值型求積公式，什么樣的求積公式可以被稱為插值型求積公式，NewtonCotes求積公式及其收斂性與數(shù)值穩(wěn)定性，復(fù)化求積公式和高斯求積公式，在本章的學(xué)習(xí)過程中也遇到不少問題，比如本章知識點(diǎn)多，公式多，在做題時容易張冠李戴，其次對NewtonCotes求積公式的收斂性與數(shù)值穩(wěn)定性理解不夠透徹，處理一個實(shí)際問題時，不知道選取哪一種求積公式，來達(dá)到最精確的結(jié)果。由于這一特點(diǎn)，牛頓迭代法也常稱為切線法。牛頓迭代法的構(gòu)造過程是這樣的：設(shè)x0是f(x)?0的一個近似根，將f(x)在 f(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?x0處作taylor展開得2!，若取其x?x?f(x)/f(x0)，然后再對x1做f(x)100前兩項(xiàng)來近似代替，得近似方程的根 f上述同樣處理，繼續(xù)下去，一般若(xk)?0，則可以構(gòu)造出迭代格式 xk?1?xk?f(xk)f(xk)此格式稱為牛頓迭代格式，用它來求解f(x)?0的方法稱為牛頓迭代法。大范圍收斂方法的初值x0選取沒有多少限制，只要在含根區(qū)間任選其一即可，二分法就是這類方法。但要注意，第k步消元時會產(chǎn)生mik(i?k?1,k?2，n)，從而可以得到l矩陣的第k列元素，但在下一步消元前選取列主元時可能會交換方程的位置，因此與方程位置對應(yīng)的l矩陣中的元素也要交換位置。因此提出了結(jié)合高斯列主元消元的lu分解法。例如，求解線性方程組ax?bi,i?1,2，m，用高斯消元法求解的計算量 1313mnn?mn2 大約為3，而用lu分解求解的計算量約為3，后者計算量顯然小很多。lu分解法是將矩陣a用一個下三角矩陣和一個上三角矩陣之積來表示，即a?lu，然后由a?lu，ax?b，得lux?b，將線性方程組的求解化為對兩個三角形方程組ly?b和ux?y的求解，由此可解出線性方程組（）的n個解x1,x2，xn