【正文】 值與其下方的元素,n)的絕對(duì)值之比很小時(shí)，引起計(jì)算機(jī)上溢或產(chǎn)生很大的舍入誤差而導(dǎo)致所求出的解失真的問題。lu分解法是將矩陣a用一個(gè)下三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣之積來(lái)表示，即a?lu，然后由a?lu，ax?b，得lux?b，將線性方程組的求解化為對(duì)兩個(gè)三角形方程組ly?b和ux?y的求解，由此可解出線性方程組（）的n個(gè)解x1,x2，xn。這兩種求解線性方程組的方法在處理單個(gè)線性方程組時(shí)沒有差別，只是方法的不同，但在處理系數(shù)矩陣a相同，而右端項(xiàng)不同的一組線性方程組時(shí)，lu分解法就有明顯的優(yōu)勢(shì)，因?yàn)樗菍⑾禂?shù)矩陣a和右端項(xiàng)b分開處理的，這樣就可以只進(jìn)行一次分解。例如，求解線性方程組ax?bi,i?1,2，m，用高斯消元法求解的計(jì)算量 1313mnn?mn2 大約為3，而用lu分解求解的計(jì)算量約為3，后者計(jì)算量顯然小很多。但是lu分解法同樣有可能由于ujj的絕對(duì)值很小而引起計(jì)算機(jī)上溢或產(chǎn)生很大的舍入誤差而導(dǎo)致所求出的解失真。因此提出了結(jié)合高斯列主元消元的lu分解法。我們采用的計(jì)算方法是先將a矩陣進(jìn)行高斯列主元消元，然后再計(jì)算相應(yīng)的l矩陣和u矩陣（u矩陣就是經(jīng)過n1步消元后的a矩陣）。但要注意，第k步消元時(shí)會(huì)產(chǎn)生mik(i?k?1,k?2，n)，從而可以得到l矩陣的第k列元素，但在下一步消元前選取列主元時(shí)可能會(huì)交換方程的位置，因此與方程位置對(duì)應(yīng)的l矩陣中的元素也要交換位置。本章學(xué)習(xí)的二分法簡(jiǎn)單迭代法、newton迭代法等方法，代表著求解非線性方程所采用的兩類方法。大范圍收斂方法的初值x0選取沒有多少限制，只要在含根區(qū)間任選其一即可，二分法就是這類方法。局部收斂法要求x0要充分靠近根x*才能保證收斂，以簡(jiǎn)單迭代法為基礎(chǔ)，newton迭代法為代表的各類迭代法都屬這類方法。牛頓迭代法的構(gòu)造過程是這樣的：設(shè)x0是f(x)?0的一個(gè)近似根，將f(x)在 f(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?x0處作taylor展開得2!，若取其x?x?f(x)/f(x0)，然后再對(duì)x1做f(x)100前兩項(xiàng)來(lái)近似代替，得近似方程的根 f上述同樣處理，繼續(xù)下去，一般若(xk)?0，則可以構(gòu)造出迭代格式 xk?1?xk?f(xk)f(xk)此格式稱為牛頓迭代格式，用它來(lái)求解f(x)?0的方法稱為牛頓迭代法。牛頓迭代法的幾何意義是用f(x)在xk處的切線與x軸得交點(diǎn)作為下一個(gè)迭代點(diǎn)xk?1的。由于這一特點(diǎn)，牛頓迭代法也常稱為切線法。牛頓迭代法雖然收斂很快，但它通常過于依賴初值x0的選取，如果x0選擇不當(dāng)，將導(dǎo)致迭代發(fā)散或產(chǎn)生無(wú)限循環(huán)。第三篇：數(shù)值分析第六章學(xué)習(xí)小結(jié)第六章數(shù)值積分學(xué)習(xí)小結(jié)姓名班級(jí)學(xué)號(hào)一、本章學(xué)習(xí)體會(huì)本章主要講授了數(shù)值積分的一些求積公式及各種求積公式的代數(shù)精度，重點(diǎn)應(yīng)掌握插值型求積公式，什么樣的求積公式可以被稱為插值型求積公式，NewtonCotes求積公式及其收斂性與數(shù)值穩(wěn)定性，復(fù)化求積公式和高斯求積公式，在本章的學(xué)習(xí)過程中也遇到不少問題，比如本章知識(shí)點(diǎn)多，公式多，在做題時(shí)容易張冠李戴，其次對(duì)NewtonCotes求積公式的收斂性與數(shù)值穩(wěn)定性理解不夠透徹，處理一個(gè)實(shí)際問題時(shí)，不知道選取哪一種求積公式，來(lái)達(dá)到最精確的結(jié)果。二、本章知識(shí)梳理代數(shù)精度的概念：如果求積公式()當(dāng)f(x)為任何次數(shù)不高于m的多項(xiàng)式時(shí)都成為等式,而當(dāng)f(x)為某個(gè)m+1次多項(xiàng)式時(shí)()不能成為等式,則稱求積公式()具有m次代數(shù)精度。（1）求積公式： Rn=242。abf(n+1)(x)wn+1(x)dx(n+1)!（2）重要的定理：n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式至少具有n次代數(shù)度。（3）求積系數(shù)：229。k=0nAk=ba(n)f(xk)（1）公式：242。f(x)dx187。229。lf(xk)=(ba)229。cka(n)kk=0k=0bnnnhn+2n(n+1)（2）截?cái)嗾`差：Rn=f(x)213。(ttj)dt(n+1)!242。0j=0（3）重要的定理：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的NewtonCotes求積公式至少具有n+1次代數(shù)精度。（4）常用的NewtonCotes求積公式n=1 梯形公式：242。babaf(x)dx187。[f(a)+f(b)]2(ba)3f162。162。(h),h206。(a,b)，具有一次精度。余項(xiàng)：R1=12n=2 Simpson公式：242。f(x)dx187。abbaa+b[f(a)+4f()+f(b)] 62(ba)5(4)f(h),h206。(a,b)，具有三次精度。余項(xiàng)：R2=（1）復(fù)化梯形公式：242。截?cái)嗾`差： ban1hf(x)dx187。[f(a)+f(b)+2229。f(a+kh)]2k=1RT=ba2hf162。162。(h),h206。[a,b]12（2）復(fù)化Simpson公式：242。bamm1hf(x)dx187。[f(a)+f(b)+4229。f(x2k1)+2229。f(x2k)]3k=1k=1截?cái)嗾`差：Rs=ba4(4)hf(h),h206。[a,b]180（1）定義：若n個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式()具有2n1 次代數(shù)精度,則稱它為Gauss型求積公式。（2）定理：n個(gè)節(jié)點(diǎn)的 Gauss型求積公式的代數(shù)精度為2n1。（3）定理：設(shè){gk(x),k=0,1,L}是區(qū)間[a,b]上帶權(quán)r(x)的正交多項(xiàng)式系,則求積公式()、式()是Gauss型求積公式的充分必要條件是它的求積節(jié)點(diǎn)是n次正交多項(xiàng)式gn(x)的n個(gè)零點(diǎn)。（4）求積系數(shù) 公式：Ak=242。br(x)gn(x)162。(xk)(xxk)gnadx,k=1,2,L,n性質(zhì)：0,k=1,2,L,n=0229。Ak=242。r(x)dxanb（5）求積公式的構(gòu)造 第一步：找高斯點(diǎn)2g(x)=1,g(x)=x+a,g(x)=x+bx+c,L由正交性確定121）待定系數(shù)法：設(shè)0待定系數(shù)a,b,c,…..2）利用遞推公式 第二步：確定求積系數(shù)Ak 1）解線性方程組 2）Ak=242。r(x)lk(x)dx,k=1,2,L,nablk(x)=213。i=0i185。knxxi,k=1,2,L,nxkxi三、本章思考題？答：插值型求積公式主要用于計(jì)算定積分的值。數(shù)學(xué)推導(dǎo)中用拉格朗日插值函數(shù)代替被積函數(shù)，其表現(xiàn)形式是有限個(gè)函數(shù)值的線性組合，而組合系數(shù)恰好是拉格朗日插值基函數(shù)的定積分。(n+1)個(gè)結(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度一般不超過n。用數(shù)值求積公式計(jì)算定積分可以克服牛頓—萊布尼茲公式的弱點(diǎn)，但是數(shù)值計(jì)算結(jié)果帶有誤差。在用數(shù)值求積公式設(shè)計(jì)算法時(shí)，一般要考慮到誤差估計(jì)，還應(yīng)該使所求的數(shù)據(jù)結(jié)果的誤差得到控制。？答：對(duì)于復(fù)化梯形公式可根據(jù)其截?cái)嗾`差公式，首先求得h=ba，然后求nf(x)的二階倒數(shù)，判斷f(x)的二階倒數(shù)的單調(diào)性，然后在積分區(qū)間上求得f(x)的二階倒數(shù)的最大值就可以估計(jì)復(fù)化求積公式的誤差，利用估計(jì)出的復(fù)化求積公式的誤差還可以求得用復(fù)化梯形公式近似求解某一積分的有效數(shù)字有多少位。對(duì)于復(fù)化Simpson公式方法同估計(jì)復(fù)化梯形公式的誤差，只是截?cái)嗾`差公式有所改變，此時(shí)需求出f(x)的四階倒數(shù)然后判斷其最大值。四、本章測(cè)驗(yàn)題1問題：如果用復(fù)化梯形公式計(jì)算定積分242。exdx，要求截?cái)嗾`差不超過180。104，試問n至少取多少？解：復(fù)化的梯形公式的截?cái)嗾`差為：RT=ba339。39。hf(h) 12RT163。1ba3hmaxf39。39。(h)，而maxf39。39。(h)=max(ex)=1，h=0163。x163。10163。x163。10163。x163。1n12將以上各式代入RT163。ba3hmaxf39。39。(h)可得： 0163。x163。112ba314 hmaxf39。39。(h)=163。180。1020163。x163。11212nRT163。解上述方程得n=，取n=41，所以n至少取41。第四篇：數(shù)值分析第五章學(xué)習(xí)小結(jié)第五章插值與逼近學(xué)習(xí)小結(jié)姓名班級(jí)學(xué)號(hào)一、本章學(xué)習(xí)體會(huì)本章為插值與逼近，插值與逼近都是指用某個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)在滿足一定的條件下，在某個(gè)范圍內(nèi)近似代替另一個(gè)較為復(fù)雜或者解析表達(dá)式未給出的函數(shù)，以便于簡(jiǎn)化對(duì)后者的各種計(jì)算或揭示后者的某些性質(zhì)。通過對(duì)本章的學(xué)習(xí)熟練的掌握了幾種常用的正交多項(xiàng)式的應(yīng)用問題并且學(xué)會(huì)了利用遞推關(guān)系式和一些性質(zhì)，可以快速的寫出最佳平方逼近多項(xiàng)式，還有就是曲線擬合，通過本章的學(xué)習(xí)能夠熟練的使用最小二乘法去擬合所給的數(shù)據(jù)，并且能夠通過構(gòu)造正交多項(xiàng)式去擬合所給的數(shù)據(jù)。在本章的學(xué)習(xí)過程中也遇到不少問題，比如本章知識(shí)點(diǎn)多，公式多，在做題時(shí)容易張冠李戴，其次對(duì)正交多項(xiàng)式的性質(zhì)理解不夠透徹，這些問題在做題時(shí)就能夠體現(xiàn)出來(lái)，所以