機(jī)器學(xué)習(xí)中用到的數(shù)值分析(參考版)
2025-06-20 04:49本頁面
【正文】 可以把KKT條件視為是拉格朗日乘子法的泛化。f(x) + a*g(x) + b*h(x)，求取導(dǎo)數(shù)要等于零，即f(x)的梯度+a*g(x)的梯度+ b*h(x)的梯度 = 0這就是kkt條件中第一個(gè)條件：L(a, b, x)對(duì)x求導(dǎo)為零。min_xmax_{a,b}L(a,b,x) =max_{a,b}min_x max_{a,b} L(a,b,x) =f(x0)，我們來看看中間兩個(gè)式子發(fā)生了什么事情：min_x L(a,b,x)，由于我們的優(yōu)化是滿足強(qiáng)對(duì)偶的（強(qiáng)對(duì)偶就是說對(duì)偶式子的最優(yōu)值是等于原問題的最優(yōu)值的），所以在取得最優(yōu)值x0的條件下，它滿足 f(x0) =max_{a,b}而KKT條件是滿足強(qiáng)對(duì)偶條件的優(yōu)化問題的必要條件，可以這樣理解：我們要求min f(x), L(a, b, x) = f(x) + a*g(x) + b*h(x)，a=0，我們可以把f(x)寫為：max_{a,b} L(a,b,x)，為什么呢？因?yàn)閔(x)=0, g(x)=0，現(xiàn)在是取L(a,b,x)的最大值，a*g(x)是=0，所以L(a,b,x)只有在a*g(x) = 0的情況下才能取得最大值，否則，就不滿足約束條件，因此max_{a,b} L(a,b,x)在滿足約束條件的情況下就是f(x)，因此我們的目標(biāo)函數(shù)可以寫為 min_x max_{a,b} L(a,b,x)。這個(gè)等式就是L(a,x)對(duì)參數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果。其中第三個(gè)式子非常有趣，因?yàn)間(x)=0，如果要滿足這個(gè)等式，必須a=0或者g(x)=0. 這是SVM的很多重要性質(zhì)的來源，如支持向量的概念。3. a*g(x) = 0。(b)拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier)對(duì)于等式約束，我們可以通過一個(gè)拉格朗日系數(shù)a 把等式約束和目標(biāo)函數(shù)組合成為一個(gè)式子L(a, x) = f(x) + a*h(x), 這里把a(bǔ)和h(x)視為向量形式，a是橫向量，h(x)為列向量，之所以這么寫，完全是因?yàn)閏sdn很難寫數(shù)學(xué)公式，只能將就了.....。同樣地，我們把所有的等式、不等式約束與f(x)寫為一個(gè)式子，也叫拉格朗日函數(shù)，系數(shù)也稱拉格朗日乘子，通過一些條件，可以求出最優(yōu)值的必要條件，這個(gè)條件稱為KKT條件。通過拉格朗日函數(shù)對(duì)各個(gè)變量求導(dǎo)，令其為零，可以求得候選值集合，然后驗(yàn)證求得最優(yōu)值。 j =1, ..., m對(duì)于第(i)類的優(yōu)化問題，常常使用的方法就是Fermat定理，即使用求取f(x)的導(dǎo)數(shù)，然后令其為零，可以求得候選最優(yōu)值，再在這些候選值中驗(yàn)證；如果是凸函數(shù)，可以保證是最優(yōu)解。 i =1, ..., n min f(x), i =1, ..., n min f(x), (ii) 有等式約束的優(yōu)化問題，可以寫為: min f(x)。 一.KKT條件是拉格朗日乘子法的泛化。深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT條件在求取有約束條件的優(yōu)化問題時(shí)，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT條件是非常重要的兩個(gè)求取方法，對(duì)于等式約束的優(yōu)化問題，可以應(yīng)用拉格朗日乘子法去求取最優(yōu)值；如果含有不等式約束，可以應(yīng)用KKT條件去求取。f若存在K使得則說它符合利普希茨條件。利普希茨條件也可對(duì)任意度量空間的函數(shù)定義：給定兩個(gè)度量空間 1，f[1]f最小的常數(shù)Kf利普希茨連續(xù)可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上；利普希茨連續(xù)的一種推廣稱為赫爾德連續(xù)。在微分方程中，利普希茨連續(xù)是皮卡林
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