【正文】 解 1： (幾何法 )作平行線構(gòu)造兩條異面直線所成的角 AHG? 1715cos ??AHG 解 2：（向量法）設(shè) bFDaDD ?? 111 ,4 ，則 |||| ba? 且 ba? 2222121 17)4(|||| abaBEDF ???? 211 15)4)(4( ababaBEDF ????? 1715||||,c os 11 1111 ????? DFBE DFBEDFBE 解 3：（坐標(biāo)法）設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 4，以 1, DDDCDA 為正交基底，建立如圖所示空間坐標(biāo)系xyzD? )4,1,0(1 ??BE , )4,1,0(1 ?DF ， ?1BE 1DF ＝ 15 1715||||,c os 11 1111 ????? DFBE DFBEDFBE 例 2 在正方體 1111 DCBAABCD ? 中 , F分別是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) E在 D1C1上 ,且 ?11ED 41 D1C1,試求直線 E1F與平面 D1A。 法向量在求線面角中的應(yīng)用： 原理：設(shè)平面 ? 的斜線 l與平面 ? 所的角為 ? 1，斜線 l與平面 ? 的法向量所成角 ? 2，則 ? 1與 ? 2互余或與 ? 2的補(bǔ)角互余。 MC1 =－ 2121? +0=0，∴ BA1 ⊥ MC1 ，∴ A1B⊥ C1M. 五、教學(xué)反思： 第十二課時(shí) 空間的角的計(jì)算 （一） 一、 教學(xué)目標(biāo)： 能用向量方法解決線線、線面的 夾角的計(jì)算問題 二、 教學(xué)重點(diǎn)： 異線角與線面角的計(jì)算 ； 教學(xué)難點(diǎn)： 異線角與線面角的計(jì)算 。,c o s 11 的值?? CBBA (3) .: 11 MCBA ?求證 【解析】 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 O— xyz.（ 1）依題意得 B（ 0， 1， 0）、 N（ 1， 0， 1） ∴ |BN |= 3)01()10()01( 222 ?????? . （ 2）依題意得 A1（ 1， 0， 2）、 B（ 0， 1， 0）、 C（ 0， 0， 0）、 B1（ 0， 1， 2） ∴ 1BA ={－ 1，－ 1， 2}， 1CB ={0， 1， 2， }， 1BA 棱AA1=2， M、 N 分別是 A1B1， A1A的中點(diǎn) ； (1)求 。 （ 三 ） 、回顧總結(jié) ： 綜合運(yùn)用向量知識(shí)判斷空間線面平行與垂直 ， 能用向量方法判斷空間線面平行與垂直關(guān)系 。 ???????? ????? aaaCFBCBF ??? ,)21(,23 又 )3,32,0( aaAE ? ， )0,2,23( aaAC ? 則必存在實(shí)數(shù) 21,?? 使得 AEACBF 21 ?? ?? ，把以上向量得坐標(biāo)形式代入得 ?????????????????????????????2321213322)21(2323212211??????????aaaaaaa 即有 AEACBF 2321 ??? 所以，在棱 PC存在點(diǎn) F，即 PC 中點(diǎn)，能夠使 BF∥ 平面 AEC。 二、 教學(xué)重點(diǎn)： 用向量方法判斷空間線面平行與垂直關(guān)系 ； 教學(xué)難點(diǎn)： 用向量方法判斷空間線面平行與垂直關(guān)系 。 課堂練習(xí)： 棱長(zhǎng)為 a的正方體 ABCD— A1B1C1D1中，在棱 DD1上是否存在點(diǎn) P使 B1D⊥ 面 PAC？ 解：以 D為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系， 設(shè)存在點(diǎn) P（ 0， 0， z）， AP =(a,0,z)， AC =(a,a,0)， 1DB =(a,a,a)， ∵ B1D⊥ 面 PAC， ∴ 01 ?? APDB ， 01 ?? ACDB ∴ － a2+az=0新疆源 頭學(xué) 子 小屋 特 級(jí)教 師 王 新敞 htp:/:/新疆∴ z=a，即點(diǎn) P與 D1重合新疆源 頭學(xué) 子 小屋 特 級(jí)教 師 王 新敞 htp:/:/新疆 ∴ 點(diǎn) P與 D1重合時(shí)， DB1⊥ 面 PAC新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:/:/新疆 （ 四 ） 、回顧總結(jié) ： 本課主要研究垂直問題 ，反思解題，歸納方法。（直線于平面垂 直的判定定理） 已知： Bnmnm ??? ?, ?? ， nlml ?? , 求證： ??l α l ml nl gl A B C A1 B1 C1 M y z 證明：在 ? 內(nèi)任作一條直線 g ，在直線 nmgl , 上分別取向量 gnml , nymxg ?? 所以 nlymlxnymxlgl ???????? )( 因?yàn)?nlml ?? , 所以 0,0 ???? nlml 可得 0??gl 即 gl? 例 3 在直三棱柱 111 CBAABC ? 中， 090??ACB , 030??BAC , MAABC ,6,1 1 ?? 是1CC 得中點(diǎn)。 （ 三 ） 、 知識(shí) 運(yùn)用 例 1 證明：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。 二、 教學(xué)重點(diǎn)： 用向量方法判斷空間線面垂直關(guān)系 ； 教學(xué)難點(diǎn)： 用向量方法判斷空間線面垂直關(guān)系 。 解：由題意可得 ),( 000 zzyyxxPM ???? 0??PMe 即 0),(),( 000 ????? zzyyxxCBA 化簡(jiǎn)得 0)()()( 000 ?????? zzCyyBxxA 課堂練習(xí) 已知點(diǎn) P 是平行四邊形 ABCD 所在平面外一點(diǎn)，如果 (2, 1,4)AB ?? ， (4,2,0)AD? ，( 1, 2, 1)AP ? ? ? 奎屯王新敞 新疆 （ 1）求證： AP 是平面 ABCD 的法向量； （ 2）求平行四邊形 ABCD 的面積． （ 1）證明： ∵ ( 1 , 2 , 1 ) ( 2 , 1 , 4) 0AP AB? ? ? ? ? ? ? ?， ( 1 , 2 , 1 ) ( 4 , 2 , 0) 0A P A D? ? ? ? ? ?， ∴ AP AB? ， AP AD? ，又 AB AD A? ， AP? 平面 ABCD ， ∴ AP 是平面 ABCD 的法向量． （ 2） 2 2 2| | ( 2 ) ( 1 ) ( 4 ) 2 1AB ? ? ? ? ? ?， 2 2 2| | 4 2 0 2 5AD ? ? ? ?， ∴ ( 2 , 1 , 4) ( 4 , 2 , 0) 6A B A D? ? ? ? ? ?， ∴ 6 3 1 0 5c o s ( , )1052 1 2 5A B A D ???， ∴ 9 3 2s i n 11 0 5 3 5BAD? ? ? ?， ∴ | | | | sin 8 6A B CDS A B A D B A D? ? ? ?． （ 四 ） 、回顧總結(jié) ： 直線得方向向量與平面法向量得概念； 求平面法向量 的 方法 。 （ 三 ） 、 知識(shí) 運(yùn)用 例 1 在正方體 1111 DCBAABCD ? 中，求證： 1DB 是平面 1ACD 的法向量 證：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 1，以 1, DDDCDA 為單位正交基底， 建立如圖所示空間坐標(biāo)系 xyzD? )1,1,1(1 ?DB ， )0,1,1(??AC ， )1,0,1(1 ??AD 01 ?? ACDB ，所以 ACDB?1 同理 11 ADDB? 所以 ?1DB 平面 ACD 從而 1DB 是平面 1ACD 的法向量。 （ 五 ） 、布置作業(yè) ： 課本習(xí)題 23A組中 3 B組中 3 五、教學(xué)反思： 第九課時(shí) 直線的方向向量與平面的法向量 一、 教學(xué)目標(biāo)： 1．理解直線的方向向量和平面的法向量； 2．會(huì)用待定系數(shù)法求平面的法向量。 分析：可用公式 1 | | | | s in2S A B A C A? ? ?來求面積 奎屯王新敞 新疆 解 ： ∵ (1,2, 2)AB??， ( 2,0, 3)AC ? ? ?， ∴ 2 2 2| | 1 2 ( 2 ) 3AB ? ? ? ? ?， 22| | ( 2 ) 0 ( 3 ) 1 3AC ? ? ? ? ? ?， ( 1 , 2 , 2) ( 2 , 0 , 3 ) 2 6 4AB AC? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 4 4 1 3c o s c o s ,39| | | | 3 1 3A B A CA A B A C A B A C?? ? ? ? ? ?? ?， 2 1 3 1 0 1s in s in , 1 c o s , 39A A B A C A B A C ?? ? ? ? ? ? ? ? ∴ 所以， 1 1 0 1| | | | s in22ABCS A B A C A? ? ? ? ?． 例 題 3已知兩點(diǎn) M1(2,2, 2 )、 M2(1,3,0)，計(jì)算向量 21MM 的模、方向余弦、方向角以及與 21MM 同向的單位向量。 數(shù)量積 （ 1）設(shè) ba, 是空間兩個(gè)非零向量，我們把數(shù)量 ?? baba ,cos|||| 叫作向量 ba, 的數(shù)量積，記作 ba? ，即 ba? ＝ ?? baba ,cos|||| （ 2）夾角 ： 1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3c o s | | | |a b a b a babab aba a a b b b???? ? ??? ? ? ?． （ 3）運(yùn)算律 abba ??? ； )()( abba ??? ?? ； cabacba ?????? )( （ 4） 模長(zhǎng)公式：若 1 2 3( , , )a a a a? ， 1 2 3( , , )b b b b? ， 則 2 2 21 2 3||a a a a a a? ? ? ? ?， 2 2 21 2 3||b b b b b b? ? ? ? ?． （ 5） 兩點(diǎn)間的距離公式：若 1 1 1( , , )A x y z ， 2 2 2( , , )B x y z ， 則 2 2 2 22 1 2 1 2 1| | ( ) ( ) ( )A B A B x x y y z z? ? ? ? ? ? ?，或2 2 2, 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )ABd x x y y z z? ? ? ? ? ?． （ 6） 00 212121 ???????? zzyyxxbaba （ 7）、 與非零向量 a 同方向的單位向量為： }c os,c os,{ c os},{1 ?????? zyx aaaaaaa 0 （ 三 ） 、 知識(shí) 運(yùn)用 例 1已知 )3,1,3(A ， (1,0,5)B ，求： （ 1）線段 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度； （ 2）到 ,AB兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn) ( , , )P x y z 的坐標(biāo) ,xyz 滿足的條件 奎屯王新敞 新疆 解：（ 1）設(shè) M 是線段 AB 的中點(diǎn)，則 )23,3,2()(21 ??? OBOAOM ． ∴ AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)是 )23,3,2( ， )3,4,2(??AB 29)3(4)2(|| 222 ??????AB ． （ 2） ∵ 點(diǎn) ( , , )P x y z 到 ,AB兩點(diǎn)的距離相等， 則 222222 )0()5()1()3()1()3( ??????????? zyxzyx , 化簡(jiǎn)得： 07684 ???? zyx , 所 以，到 ,AB兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn) ( , , )P x y z 的坐標(biāo) ,xyz 滿足的條件是07684 ???? zyx ． 點(diǎn)評(píng)： 到 ,AB兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn) ( , , )P x y z 構(gòu)成的集合就是線段 AB 的中垂面，若將點(diǎn) P 的坐標(biāo) ,xyz 滿足的條件 07684 ???? zyx 的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)向量 )6,8,4( ??a ，發(fā)現(xiàn)與 )3,4,2(??AB 共線 。 二、 教 學(xué)重點(diǎn)： 空間向量的夾角的概念，掌握空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和運(yùn)算律 教學(xué)難點(diǎn)： 用向量的方法解決有關(guān)垂直、夾角和距離 三、教學(xué)方法： 探究歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （ 一 ） 、創(chuàng)設(shè)情景 空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)； 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律； 平面向量的數(shù)量積、夾角、模等概念。 （ 3）、 平行：若 a≠ 0時(shí)，向量 ab// 相當(dāng)于 ab ?? ，即 },{},{ zyxzyx aaabbb ?? 也相當(dāng)于向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例即zzyyxx ababab ?? （ 三 ） 、 知識(shí) 運(yùn)用 例 1 已知 )4,10,3(),8,3,1( ???? ba ，求 ababa 3, ?? 解： )4,7,4(??ba )12,13,2( ???? ba )24,9,3(3 ??a 已知空間四點(diǎn) )10,0,10(),3,5,2(),1,3,2( CBA ?? 和 )9,4,8(D ，求證：四邊形 ABCD 是矩形 解： )2,8,4( ???? 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