【正文】 alPBAO 已知平面 ? 和向量 a ，作 OA a? ，如果直線 OA 平行于 ? 或在 ? 內(nèi)，那么我們說向量 a 平行于平面 ? ，記作： //a? ． 通常我們把平行于同一平 面的向量，叫做共面向量． 說明：空間任意的兩向量都是共面的． 4．共面向量定理： 如果兩個向量 ,ab不共線， p 與向量 ,ab共面的充要條件是存在實數(shù) ,xy使p xa yb??． 推論 ：空間一點 P 位于平面 MAB 內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對 ,xy，使M P x M A y M B??或?qū)臻g任一點 O ，有 O P O M x M A y M B? ? ?① 上面 ① 式叫做平面 MAB 的向量表達(dá)式． （三）例題分析： 例 1．已知 ,ABC 三點不共線，對平面外任一點，滿足條件 1 2 25 5 5O P O A O B O C? ? ?，試判斷：點 P 與 ,ABC 是否一定共面？ 解：由題意： 5 2 2O P O A O B O C? ? ?，∴ ( ) 2( ) 2( )O P O A O B O P O C O P? ? ? ? ?， ∴ 22AP PB PC??，即 22PA PB PC? ? ? ，所以，點 P 與 ,ABC 共面． 說明： 在用共面向量定理及其推論的充要條件進(jìn)行向量共面判斷的時候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，然后對照形式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化運算． 【 練習(xí) 】 ： 對 空 間 任 一 點 O 和 不 共 線 的 三 點 ,ABC ， 問 滿 足 向 量 式O P x O A y O B z O C? ? ? （其中 1x y z? ? ? ）的四點 ,P ABC 是 否共面？ 解：∵ (1 )O P z y O A y O B z O C? ? ? ? ?， ∴ ( ) ( )O P O A y O B O A z O C O A? ? ? ? ?， ∴ AP y AB z AC??，∴點 P 與點 ,ABC 共面． 例 2．已知 ABCD ，從平面 AC 外一點 O 引向量 , , ,O E k O A O F K O B O G k O C O H k O D? ? ? ?， O A B C D H F G E a a ? （ 1）求證：四點 , , ,E F G H 共面； （ 2）平面 AC // 平面 EG ． 解：（ 1）∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴ AC AB AD??， ∵ EG OG OE??， ( ) ( )()k O C k O A k O C O A k A C k A B A Dk O B O A O D O A O F O E O H O EE F E H? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???∴ , , ,E F G H 共面； （ 2）∵ ()E F O F O E k O B O A k A B? ? ? ? ? ?，又∵ EG k AC?? ， ∴ // , //EF AB EG AC 所以，平面 //AC 平面 EG ． （四）、課堂練習(xí)： 課本第 31頁練習(xí)第 4題． （五）、課堂小結(jié)： 1．共線向量定理和共面向量定理及其推論； 2．空間直線、平面的向量參數(shù)方程和線段中點向量公式． （六）、作業(yè) 1．已知兩個非零向量 21,ee不共線，如果 21AB e e?? ， 2128AC e e??，2133AD e e??， 求證： , , ,ABC D 共面． 2．已知 3 2 4 , ( 1 ) 8 2a m n p b x m n y p? ? ? ? ? ? ?， 0a? ，若 //ab，求實數(shù) ,xy的值。 3．如圖， , , ,E F G H 分別為正方體 1AC 的棱 1 1 1 1 1 1 1 1, , ,A B A D B C D C的中點，求證：（ 1）, , ,E F D B 四點共面；（ 2）平面 AEF // 平面 BDHG ． 4．已知 , , ,E F G H 分別是空間四邊形 ABCD 邊 , , ,AB BC CD DA的中點， （ 1）用向量法證明： , , ,E F G H 四點共面； （ 2）用向量法證明： //BD 平面 EFGH ． 五、教后反思： D 1 C1B 1A 1HGFED CBAA B C D F E G H F1 F2 F3 第 四 課時 空間向量及其線性運算 一、 教學(xué)目標(biāo)： 1．運用類比方法，經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程； 2．了解空間向量的概念，掌握空間向量的線性運算及其性質(zhì)； 3．理解空間向量共線的充要條件 二、 教學(xué)重點： 空間向量的概念、空間向量的線性運算及其性質(zhì)； 教學(xué)難點： 空間向量的線性運算及其性質(zhì)。 三、教學(xué)方法： 探究歸納，講練結(jié)合 四、 教學(xué)過程 （ 一 ） 、創(chuàng)設(shè)情景 平面向量的概念及其運算法則； 物體的受力情況分析 （ 二 ） 、 探究新課 1．空間向量 的概念： 在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量 奎屯王新敞 新疆 注： ⑴ 空間的一個平移就是一個向量 奎屯王新敞 新疆 ⑵ 向量一般用有向線段表示 奎屯王新敞 新疆同向等長的有向線段表示同一或相等的向量 奎屯王新敞 新疆 ⑶ 空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示 奎屯王新敞 新疆 2．空間向量的運算 定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下（如圖） baABOAOB ?? ???? baOBOABA ?? ???? CBAObbbaa aC 39。B 39。A 39。D 39。DA BCa B A O l P A B C A1 B1 C1 )( RaOP ?? ??? 運算律： ⑴ 加法交換律： abba ???? ??? ⑵ 加法結(jié)合律： )()( cbacba ?????? ????? ⑶ 數(shù)乘分配律： baba ???? ??? ??? )( 3．平行六面體： 平行四邊形 ABCD平移向量 a? 到 DCBA ???? 的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體，并記作： ABCD－ DCBA ???? ， 它的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的棱 。 4． 共線向量 與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平 行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量 ． a? 平行于 b? 記作 ba ??// ． 當(dāng)我們說向量 a? 、 b? 共線（或 a? //b? ）時，表示 a? 、 b? 的 有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線． 5．共線向量定理及其推論： 共線向量定理：空間任意兩個向量 a? 、 b? （ b? ≠ 0? ）， a? //b? 的 充要條件是存在實數(shù) λ ，使 a? ＝ λ b? . 推論：如果 l 為經(jīng)過已知點 A 且平行于已知非零向量 a? 的直線，那么對于任意一點 O，點 P在直線 l 上的充要條件是存在實數(shù) t滿足等式 tOAOP ?? a? ．其中向量 a? 叫做直線 l的方向向量 . （ 三 ） 、 知識 運用 例 1 如圖，在三棱柱 111 CBAABC ? 中， M是 1BB 的中點， 化簡下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡得到的向量： （ 1） 1BACB? 。 （ 2）121 AACBAC ??。 （ 3） CBACAA ??1 O A/ C F E D/ B/ A D B 解：（ 1） 11 CABACB ?? （ 2） AMAACBAC ???121 （ 3） 11 BACBACAA ??? 如 圖，在長方體 /// BDCAOADB ? 中， 1,2,4,3 ?????? OKOJOIOCOBOA ，點 E,F分別是 //, BDDB 的中點，設(shè) kOKjOJiOI ??? , ,試用向量 kji , 表示 OE 和 OF 解： jiOE 423 ?? kjiOF 2423 ??? 如圖，在空間四邊形 ABCD 中， ,EF分別是 AD 與 BC 的中點， 求證： 1 ()2E F A B D C??． 證明： 1122E F E D D C C F A D D C C B? ? ? ? ? ? 11()22A B B D D C C B? ? ? ?11 ()22A B D C C B B D? ? ? ? 1122A B D C CD? ? ? 1 ()2 AB DC?? 已知 2 3 3 4x y a b c? ? ? ? ?， 3 8 5x y a b c? ? ? ? ?，把向量 ,xy用向量 ,abc 表示 解 :∵ 2 3 3 4x y a b c? ? ? ? ?， 3 8 5x y a b c? ? ? ? ? ∴ 32x a b c?? ? ?， 2y a b c? ? ? 如圖，在平行六面體 AB C D A B C D? ? ? ?? 中，設(shè) AB a? ，,AD b AA c???， ,EF分別是 ,AD BD? 中點， （ 1）用向量 ,abc 表示 ,DBEF? ； （ 2）化簡： 2A B B B B C C D D E? ? ? ?? ? ? ?； 解 : （ 1） D B D A A B B B b a c? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 1122E F E A A B B F D A a B D?? ? ? ? ? ? 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2b c a a b a c? ? ? ? ? ? ? ? ? BCDEFAA39。BB39。CC39。DD39。EFA A B C D M N B M N A D C （四） 、課堂練習(xí) ： 已知空間四邊形 ABCD ，連結(jié) ,ACBD ，設(shè) ,MG分別是 ,BCCD 的中點，化簡下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量： （ 1） AB BC CD??； （ 2） 1 ()2AB BD BC??； （ 3） 1 ()2A G A B A C??． （ 四 ） 、回顧總結(jié) ： 空間向量的相關(guān)的概念及空間向量的表示方法 ； 平行六面體的概念； 向量加法、減法和數(shù)乘運算 （ 五 ） 、布置作業(yè) ： 課本習(xí)題 22 A組中 4 B組題 五、教后反思： 第五課時 共面向量定理 一、 教學(xué)目標(biāo)： 1．了解共面向量 的含義，理解共面向量定理； 2．利用共面向量定理證明有關(guān)線面平行和點共面的簡單問題； 二、 教學(xué)重點： 共面向量的含義，理解共面向量定理 ； 教學(xué)難點：利用共面向量定理證明有關(guān)線面平行和點共面的簡單問題 三、教學(xué)方法： 探究討論法 四、教學(xué)過程 （ 一 ） 、創(chuàng)設(shè)情景 關(guān)于空間向量線性運算的理解 平面向量加法的三角形法則可以推廣到空間向量，只要圖形封閉，其中的一個向量即可以用其它向量線性表示。 從平面幾何到立體幾何，類比是常用的推理方法。 BCDM GA A B C D E F N M （ 二 ） 、 探究新課 共面向量的定義 一般地，能平移到 同一個平面內(nèi)的向量叫共面向量； 理解：若 ba, 為不共線且同在平面 ? 內(nèi)，則 p 與 ba, 共面的意義是 p 在 ? 內(nèi)或 ?//p 共面向量的判定 平面向量中，向量 b 與非零向量 a 共線的充要條件是 ab ?? ，類比到空間向量，即有 共面向量定理 如果兩個向量 ba, 不共線，那么向量 p 與向量 ba, 共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組 ),( yx ，使得 byxp ?? ? 這就是說，向量 p 可以由 不共線的兩個向量 ba, 線性表示。 （ 三 ） 、 知識 運用 1，例 1 如圖，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，點 M,N分別在對角線 BD,AE上，且 AEANBDBM 31,31 ?? .求證： MN//平面 CDE 證明： ANBAMBMN ??? = DECD 3132 ? 又 CD 與 DE 不共線 根據(jù)共面向量定理，可知 DECDMN , 共面。 由于 MN不在平面 CDE中，所以 MN//平面 CDE. 例 2 設(shè)空間任意一點 O 和不共線的三點 A、 B、 C，若點 P 滿足向量關(guān)系OCzOByOAxOP ??? （其中 x+y+z=1）試問： P、 A、 B、 C四點是否共面？ 解：由 OCzOByOAxOP ??? 可以得到 ACzAByAP ?? 由 A,B,C三點不共線，可知 AB 與 AC 不共 線，所以 AP ,AB ,AC 共面且具有公共起點A. 從