【正文】 對于高速運行的柔性桿件機構，必然會出現(xiàn)較大的慣性力，這可能會使剛度較小的柔性桿件發(fā)生較大的變形，在大的變形的情況下，附加拉壓應變作用會很明顯，這樣在其彈性動力分析中計入以上所述的附加拉壓應變這種幾何非線性因素是必要的。則，單元的總變形能可寫為 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?22202 2 22 222002, , ,1 1 12 2 2, ,11++221+2L yx x zLLy z axz y pW x tW x t W x t W x tx x x xW x t W x t x tV E I I dx G I dxx x xEA dx????? ?? ?????? ?? ?????????????? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ???? ? ???? （ ） 式中 E —— 拉壓彈性模量； G—— 剪切彈性模量； ? ? ? ?1 ( ) ( )2 TrreTM? ? ? ?? ? ?山東科技大學工程碩士學位論文 高速空間并聯(lián)坐標測量機的彈性動力學建模 18 yI —— 單元橫截面對 y 軸的主慣性矩； zI —— 單元橫截面對 z 軸的主慣性矩； pI —— 單元橫截面對 x 軸的主慣性矩。 山東科技大學工程碩士學位論文 高速空間并聯(lián)坐標測量機的彈性動力學建模 17 單元的動能 這里認為各個截面處的質量集中在截面的質心上，忽略轉動動能的作用 [36]。即可以認為絕對速度是剛體運動速度與彈性變形速度的代數(shù)和；絕對加速度是剛體運動加速度和彈性變形加速度的代數(shù)和。 則利用單元的邊界條件 101112131415161718( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )xyzxyzxyzW l tW l tW l tltltltltltlt????????????????????? ???????????????? ?? 101112131415161718( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )xyzxyzxyzW l tW l tW l tltltltltltlt????????????????????? ???????????????? ?? （ ） 可以得到以下各式 ( , )( , )( , )( , )( , )T TCCyTx ATy BTz CTx DNx t NxW x t NW x t NW x t Nx t N? ? ???????????????????? （ ） ( , ) T TB Bz Nx t Nx? ? ??????????? 山東科技大學工程碩士學位論文 高速空間并聯(lián)坐標測量機的彈性動力學建模 15 式中 ? ?? ?? ?? ?? ?1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 67 8 9 1 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 TATBTCTDA B C DN e eN n n n n n nN n n n n n nN n n n nN N N N N????? （ ） ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?3 4 5 3 4 5122 2 3 4 5 3 4 5343 4 5 2 3 4 5562 3 2 3782 3 2 39 101 10 15 6 6 8 31 3 3 10 15 6214 7 3 221 3 2 23 2n e e e n L e e e en L e e e e n e e en L e e e n L e e en e e n L e e en e e n L e e? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? in —— 位移型函數(shù) (i=1,2,?? ,10)； L —— 單元長度； e —— 相對坐標，且 e=x/L。 由此單元上各個點在各個方向的位移以及繞各個方向的彈性轉角都可以用 ? 的數(shù)學表達式表示出來。但由于各單元位置不同， 使 各單元坐標 系 不 一致 ，不 便于整體性的研究 結構，所以需要采用統(tǒng)一的系統(tǒng)坐標系，如圖 中的固定坐標系 ??A 。 在這里 13??? 、 10 12??? ， 46??? 、 13 15??? ，79??? 、 16 18??? 表示 A、 B 結點的 彈性位移、彈性轉角和曲率 。 首先建立梁單元的單元坐標系 oxyz ，在單元山東科技大學工程碩士學位論文 高速空間并聯(lián)坐標測量機的彈性動力學建模 14 的兩個結點處分別標記 A、 B，定義沿 AB 方向為 x 正方向，將 x 按 逆 時針方向轉過 90176。 圖 空間柔性梁模型 Fig. model of spatial flexible beam element 對于以桿件為主的機構來說，選擇梁單元模型最為合適。其主要思想是先化整為零，然后再聚零為整。其步驟為： （ 1） 根據(jù)有限元的方法，將柔性構件劃分單元，分析各單元之間的關系，據(jù) KED方法求解動能和變形能，由拉格朗日方程建立單元的動力學方程； （ 2） 將單元的彈性動力學方程疊加，得到對應支鏈的彈性動力學方程； （ 3） 求出系統(tǒng)的運動學約束條件和動力學約束條件； （ 4） 利用系統(tǒng)的運動學和動力學約束條件，將支鏈的彈性動力學方程裝配，從而得到該機構系統(tǒng)的彈性動力學方程。 山東科技大學工程碩士學位論文 高速空間并聯(lián)坐標測量機的彈性動力學建模 13 3 高速空間并聯(lián)坐標測量機的彈性動力學建模 引言 根據(jù)并聯(lián)坐標測量機的特點，這里采用一種適于剛柔一體的思路建立模型。 （ 2） 建立了測量機的定坐標系和動坐標系，并求解了坐標轉換矩陣。 山東科技大學工程碩士學位論文 高速空間并聯(lián)坐標測量機的運動學分析 10 圖 驅動鏈分析坐標系建立 Fig. Coordinate system of the driving limb 坐標系 000 zyxUi ? 相對于定系 ??A 的變換矩陣可表示為 ??????????????1000000010iiiiiiiAzcsyscx????T （ ） 坐標系 111 zyxUi ? 相對于坐標系 000 zyxUi ? 的變換矩陣可表示為 ??????? 10 0),(),( 2101 ii yz ?? RRT （ ） 其中 ?????????? ??10000),( 11111 iiiii csscz ?????R 222220( , ) 0 1 00iiiiicsysc?????????????R 坐標系 222 zyxUi ? 相對于坐標系 111 zyxUi ? 的變換矩陣表示為 ?????????????10000100001000112ilT （ ） 山東科技大學工程碩士學位論文 高速空間并聯(lián)坐標測量機的運動學分析 11 由式（ ）、（ ）、（ ）求出坐標系 222 zyxUi ? 相對于定系 ??A 的變換矩陣為 ?????????????????????????????????100001000010001100),(),(10000000121120102iiiiiiiiiiAAlyzzcsyscx?????? RRTTTT ???????????????????????1000221221122122122112212121121iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiizcslscslccssscssccssysslccslcssscccsscscxcclscscc?????????????????????????????????????????（ ） 由式（ ）得出動平臺處鉸鏈中心在定系 ??A 下的坐標矢量為 ???????????????????1)1000()1(221221212iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiTATSiSiSi zcslscslysslccslxcclZYX ????? ???????T （ ） 由式（ ）得到虎克鉸的兩個轉角的數(shù)學模型為 UiASiAiUiASiAiUiASiAi XX sZZcYY ? ???? ??? )()(a r c t a n1 （ ） iiUiASiAiUiASiAi l cZZsYY ??? )()(a r c s in2 ???? （ ） 其中 5,2,1 ??i ， i? 為虎克鉸的安裝角度； )( UiAUiAUiA ZYX 為鉸鏈安裝點 iU 在定系 ??A 下的坐標值； )( SiASiASiA ZYX 為鉸鏈安裝點 iS 在定系 ??A 下的坐標值。 在虎克鉸鏈 iU 中心上建立坐標系 000 zyxUi ? （見圖 ）， 0 x 軸方向豎直向下， 0z 方向沿著鉸鏈的固定轉動軸線， 0y 軸沿著鉸鏈的另一個軸的方向上。 驅動支鏈的分析 該測量機支鏈由一個 UPU 和四個 UPS 共五個單鏈組成。 即 UiABOASiBUiASiAi PPPRPPL ????? （ ） 其中， 5,2,1 ??i 。根據(jù)機構參數(shù)， 可得到動、定平臺每個支鏈鉸鏈點的坐標值。在已知動平臺位姿的情況下，可以通過位置反解得到五個驅動桿桿長。采用Z— Y— X 歐拉角表示動系 ??B 相對于定系 ??A 的姿態(tài)，將定系 ??A 經三次有序的旋轉就可得到動系 ??B 的當前姿態(tài)，首先繞 AZ 轉 ?角，再繞 Y? 軸轉 ? 角，最后繞 X?? 轉 ? 角，則動系 ??B 相對于定系 ??A 的旋轉變換矩陣表示為： ???????????????????????????????? ???