【正文】 則由坐標(biāo)系 到坐標(biāo)系 的??? ZYX?變換矩陣為 T? （）?????????? 10)cos()sin()sin(i ico00)si(co)sin( )cos(n)si(i iicoc BZYX????????????? ??? 動(dòng)平臺(tái)與支鏈的約束關(guān)系Fig. Constraint between the moving platform and branch因?yàn)榱鶄€(gè)變換參數(shù) 都是微小的變量，由泰勒展開式以及麥克Bzyx?????,勞林公式，可以得到 的近似表達(dá)式T?山東科技大學(xué)工程碩士學(xué)位論文 。??Tqq6543210,由第二章可知，動(dòng)系 相對于定系 的變換矩陣為 ，當(dāng)給出動(dòng)平臺(tái)的??BARAB型歐拉角 和動(dòng)系 原點(diǎn) 在定系 下的坐標(biāo)XYZ?),(???BO??時(shí)，由式()，以歐拉角的形式表示動(dòng)系 相對于定系 的變??TBBOAZ?P ??A換矩陣： ???????????? 100),( BZYXAB Zcscs YsXc?????????T山東科技大學(xué)工程碩士學(xué)位論文 高速空間并聯(lián)坐標(biāo)測量機(jī)的彈性動(dòng)力學(xué)建模27（） 假設(shè)動(dòng)平臺(tái)的名義運(yùn)動(dòng)位姿在點(diǎn) 處，由于機(jī)構(gòu)支鏈的彈性變形使動(dòng)平臺(tái)的實(shí)際BO運(yùn)動(dòng)位姿發(fā)生了微小的變動(dòng)（即 ） ，最終移動(dòng)到了點(diǎn) 處。顯然，鉸鏈點(diǎn) 處的坐標(biāo)值分別是上述六個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)。由圖 可知，在動(dòng)系 下，各個(gè)鉸鏈與動(dòng)平臺(tái)的連接點(diǎn) 的坐標(biāo)是??B )5,4321(?iS定值。 系統(tǒng)彈性動(dòng)力學(xué)方程的建立 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束動(dòng)平臺(tái)與支鏈連接時(shí)要滿足以下條件：①各個(gè)支鏈與動(dòng)平臺(tái)連接點(diǎn)的位移必須與動(dòng)平臺(tái)上與各個(gè)支鏈連接點(diǎn)的位移相一致；②各個(gè)支鏈對動(dòng)平臺(tái)的作用力之和應(yīng)與作用于動(dòng)平臺(tái)的外力和慣性力相平衡。當(dāng) 1i? （）??8(97)1(92)89()18921()60(1,3,))0(1,)0 )mnijjnmjmjnBnAEjmG??????????????????? ???? ??? ? ?當(dāng) 時(shí)=2,345i （）??18(97)(92)189()18925(1,3,)0)(1,))mnijjnmjmjnBnAEjmG?????????? ????????????????? ? ?式中矩陣 ，將 時(shí)的矩陣 去掉最后一列，即為 時(shí)的矩陣 ，i?186? 2,345i 185G?矩陣 、 在各個(gè)支鏈上都相同。=1i ??9+7n具體表示為： （）(1)()2(1)9(2)1916,Tiniiniimiiq?????? ?????? ?時(shí)，支鏈廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)為有 個(gè)。i由以上分析可以從各個(gè)單元中得到支鏈的廣義坐標(biāo)。則有： （）10(1)1(1)212(1)313(1)414(1)515(1)616(1)717(1)818(1)9ij ijij ijij ijij ijij ijij ijij ijij ijij ij??????????????????????????對于 單元考慮到動(dòng)平臺(tái)鉸鏈對單元 右端點(diǎn)的約束，不同支鏈 端點(diǎn)處的曲率不同。即 。1,2m? nn 由以上假定建立支鏈的彈性動(dòng)力學(xué)方程，只需對伸縮桿進(jìn)行分析即可。假定擺動(dòng)桿 為剛性桿，伸縮桿 為柔性桿，動(dòng)平臺(tái) 為iPUiSP)5,21(??54321S剛性架，關(guān)節(jié)柔性忽略不計(jì)（由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈一般較短，而關(guān)節(jié)變形引起的系統(tǒng)累積誤差也比較小，且并聯(lián)機(jī)構(gòu)多為閉環(huán)系統(tǒng)，對系統(tǒng)的關(guān)節(jié)變形具有一定的約束作用，故關(guān)節(jié)變形可以忽略） 。 支鏈彈性動(dòng)力學(xué)方程的建立4UPS/UPU 高速空間并聯(lián)坐標(biāo)測量機(jī)是由定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)以及連接它們的分支等組成的。引入定系 下的單元廣義δ??A??A坐標(biāo)列陣 ij? （,Tijijij???????）引入以下坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換矩陣 0000ijijijij ijijijRR?????????（） 其中 12122122iiiii i iij iiiii i icscscsR?????? ?? ?? ???????由此得到廣義坐標(biāo)列陣 和 之間的關(guān)系表達(dá)式δij ijR??（） 將式()對時(shí)間 t 求一、二階導(dǎo)數(shù)，得到 ijij?????（）山東科技大學(xué)工程碩士學(xué)位論文 高速空間并聯(lián)坐標(biāo)測量機(jī)的彈性動(dòng)力學(xué)建模21 2ijijijR??????（）將（） （）兩式代入（）得到在定坐標(biāo)系下考慮幾何非線性因素時(shí)的梁單元的彈性運(yùn)動(dòng)微分方程： ij ij ijijij ij ijMCKP??????（）式中 TijijeijMR? 2ijijijC? *1TTijijeijijijeKK? ()ijijPRFQ?定坐標(biāo)系下未計(jì)入非線性因素時(shí)梁單元彈性動(dòng)力學(xué)方程和上面的相同只是 不同，ijK且 2TTijijeijijijeRMR???（）由以上得到了考慮幾何非線性因素和未考慮幾何非線性因素影響的定系下的單元?jiǎng)恿W(xué)方程。e=rQM?? 下面求解系統(tǒng)坐標(biāo)系下的單元彈性動(dòng)力學(xué)方程。未計(jì)入幾何非線性因素的單元的總變形能可寫為山東科技大學(xué)工程碩士學(xué)位論文 高速空間并聯(lián)坐標(biāo)測量機(jī)的彈性動(dòng)力學(xué)建模19（????????222 20 0, , ,1 1+++2L Lyx z axzy pWxtt xt tVEAIIdGId?? ??????? ??? ??????? ???? ??????? ??????? ?）將各個(gè)表達(dá)式代入并化簡得 e21TVK??（）式中 ——單元?jiǎng)偠染仃嚕?eK ????0000[ ]LLLLTTTTzypBDACENdxIdxINdxGINdx???????（） 單元?jiǎng)恿W(xué)方程將計(jì)入幾何非線性因素的單元?jiǎng)幽?)、變形能()帶入 Lagrange 方程 ?dTVFt???????????（）得到單元?jiǎng)恿W(xué)方程為 ?*eeeMKPQ（） ?*112TeeK???（） ??18pI將各個(gè)表達(dá)式代入并化簡得 e12TVK??（）式中 ——單元?jiǎng)偠染仃?，?eK ??????000???? 122TTABCLLLTzypDTBAACNNEIdxIdxGIdxNdx???????? ??????? ?????? ?????? ???? ????（）上式中的 分別表示梁單元軸向位移和??????22 2, ,1112yx zWxtt xt?????????????????????、 、橫向位移對坐標(biāo)變化率的二次項(xiàng)引起的附加拉壓應(yīng)變。則單元的動(dòng)能表達(dá)式可寫為 ????????22 2 20 0, , ,1 12L Layax az axpdWxtdtdxtdtTmI??? ?????????? ?????????????????? ????? ?（）式中 ——梁單元長度； ——梁單元質(zhì)量密度；? ——梁單元橫截面面積；A ——梁單元橫截面對 x 軸的極慣性矩；pI ——梁單元的質(zhì)量分布函數(shù)，對于此梁單元()mx =?將各個(gè)表達(dá)式代入并化簡得 （）式中 為單元質(zhì)量矩陣且eM （）0=LTANdx?? 梁單元的變形能單元的變形能包括梁受各個(gè)坐標(biāo)軸方向上的力引起的拉伸和壓縮變形能以及受彎矩????1()()2TrreT?????山東科技大學(xué)工程碩士學(xué)位論文 高速空間并聯(lián)坐標(biāo)測量機(jī)的彈性動(dòng)力學(xué)建模18作用引起的彎曲變形能、扭矩作用引起的扭轉(zhuǎn)變形能 [48]。因此，單元軸線上任意點(diǎn)處的速度可以表示為山東科技大學(xué)工程碩士學(xué)位論文 高速空間并聯(lián)坐標(biāo)測量機(jī)的彈性動(dòng)力學(xué)建模16 ????????????,(,)(,)(,)axayryyaz rz zaxrxxrxxWttWtttttttttt??????????????????（） ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??? ?118(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)Tx ATy BTz CTx DTrrx ATrry BTrrz CTrrx DTWtNtWxtNtWtNtWxtNt?????????????? ???????? ?? ??? ?00TABrxyz xyzxyzxyz???? ?? ?? ??式中—— 、 、 軸向的絕對速度；???????,axayazWttt、—— 、 、 軸向的剛體速度；???rrrxyz山東科技大學(xué)工程碩士學(xué)位論文 高速空間并聯(lián)坐標(biāo)測量機(jī)的彈性動(dòng)力學(xué)建模17—— 、 、 軸向的彈性速度；???????,xyzWttxt、yz—— 軸的絕對角速度、剛體角速度和彈性角速度；()()arx?、——單元節(jié)點(diǎn) A 處沿 軸、 軸和 軸方向的剛體速度；??Az、 、——繞 軸、 軸和 軸方向的剛體角速度；xy?、 、 yz——單元節(jié)點(diǎn) B 處沿 軸、 軸和 軸向的剛體速度。由于單元的彈性位移在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)是個(gè)很小的量，在這里不計(jì)入剛體運(yùn)動(dòng)與彈性變形運(yùn)動(dòng)之間的耦合作用 [51]。根據(jù)本機(jī)構(gòu)的特性以及精度等的要求，梁單元軸向彈性位移采用線性差值函數(shù)表示，橫向彈性位移采用五次插值函數(shù)描述，繞 x軸的彈性角位移采用三次插值函數(shù)來描述，設(shè)沿 x,y,z 的彈性位移和繞 x,y,z 的彈性轉(zhuǎn)角的函數(shù)分別為 ， ， ， ， ， 。??A 單元位移型函數(shù)如圖 ，假設(shè)空間梁單元在三個(gè)坐標(biāo)軸方向發(fā)生位移以及彈性變形，建立單元的坐標(biāo)向量 。利用單元135??79?168?坐標(biāo)分析單元結(jié)點(diǎn)變形和結(jié)點(diǎn)力間的關(guān)系比較方便。得到 z 的正方向， y 同時(shí)垂直于 x 和 z。本文選用矩形空間截面梁單元來建立有限元模型，如圖 所示。這樣只研究某一小單元內(nèi)及其結(jié)點(diǎn)處的受力狀況，就可得到整個(gè)被研究體的力學(xué)解。 單元彈性動(dòng)力學(xué)方程的建立 空間有限元模型的建立有限元方法在 70 年代中期被引入到機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域，用于研究彈性機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題,并取得了很好的效果 [50]。為了在滿足分析精度的前提下分析研究各個(gè)支鏈的彈性變形對機(jī)構(gòu)系統(tǒng)性能的影響，這里運(yùn)用運(yùn)動(dòng)彈性動(dòng)力分析方法建立機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。（3）對測量機(jī)的支鏈進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，得出桿長的表達(dá)式；建立該坐標(biāo)測量機(jī)的位置反解數(shù)學(xué)模型。SiiSi iS設(shè)定系 下桿長的三個(gè)坐標(biāo)軸分量為 、 、 ，則??xilyizil （）??????UiASiziyiiiZlYX將式（）代入（） 、 （） ，得 （）xiizyii lsc???artn1山東科技大學(xué)工程碩士學(xué)位論文 高速空間并聯(lián)坐標(biāo)測量機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析12 （）iizyii lcs????ar2將式（） 、 （）對時(shí)間