【正文】
采用有限元法、假設(shè)模態(tài)法 得出不同形式的動(dòng)力學(xué)方程,有限元法推導(dǎo)出線性和非線性動(dòng)力學(xué)方程 ,進(jìn)行了一些模態(tài)仿真。qq、 、 along with the time 圖 512 模態(tài)坐標(biāo) b b2隨時(shí)間變化曲線 The changing curves ofb b2 along with the time 柔性機(jī)械手系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究 32 本章小結(jié) 建模主要參考了一下相關(guān)文獻(xiàn),多種建模方法涉及多種動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)學(xué)理論。qq、 、 隨時(shí)間變化曲線 Fig. 511 The changing curves of 12amp。qq、 、 along with the time 青島科技大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文) 31 圖 510 模態(tài)坐標(biāo) a a2隨時(shí)間變化曲線 Fig. 510 The changing curves ofa a2 along with the time 圖 511 轉(zhuǎn)角加速度 12amp。qq、 、 隨時(shí)間變化曲線 The changing curves of 12amp。 連桿的截面積為:4 2 4 2129 .0 1 0 , 4 .0 1 0 ,s m s m= ? ? 連桿抗彎強(qiáng)度為:3 2 2 21. 42 10 , 2. 8 10 ,E I N m E I N m= 醋 = 醋, 輸入驅(qū)動(dòng)力矩為: 1220 / , 6 / ,N m N mtt== 設(shè)定初始條件為 1 2 1 2 1 244 , 56 , 0a a b bqq= ? ? = = = 數(shù)值及仿真結(jié)果分析: 說(shuō)明一:相鄰連桿間為理想約束,忽略關(guān)節(jié)約束處摩擦力和阻尼力 說(shuō)明二:初始狀態(tài) 各連桿有重力作用,連桿初始變形不為零,假設(shè)連桿初始彈性變形為零 圖 56連桿 1末端在 x、 y方向位移隨時(shí)間變化曲線 Fig 56 The displacement curves of the end point on Rod one at x and y directions 柔性機(jī)械手系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究 30 圖 57連桿 2末端在 x、 y方向位移隨時(shí)間變化曲線 Fig57 The displacement curves of the end point on Rod two at x and y directions 圖 58轉(zhuǎn)角θ 1θ 2隨時(shí)間變化曲線 The changing curves ofθ 1andθ 2 along with the time 圖 59轉(zhuǎn)角 12amp。柔性關(guān)節(jié)和連桿之間存在耦合作用。 Fl+Fl’=0(l=1,2,......,6+n)式中 Fl’和 Fl 分別為系統(tǒng)的廣義主動(dòng)力和廣義慣性力。 力學(xué)方程 =M C K Qf f f++ 式中 M—— 系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣, C—— 系統(tǒng)的阻尼矩陣, K—— 系統(tǒng)的剛度矩陣 , Q—— 系統(tǒng)的廣義力陣列,Φ —— 系統(tǒng)的廣義坐標(biāo) 采用有限元法、假設(shè)模態(tài)法、奇異攝動(dòng)法得出不同形式的動(dòng)力學(xué)方程,有限元法推導(dǎo)出線性和非線性動(dòng)力學(xué)方程;假設(shè)模態(tài)法得出高度非線性的積分微分方程;采用奇異攝動(dòng)法導(dǎo)出雙時(shí)標(biāo)動(dòng)力學(xué)模型,利于控制算法實(shí)現(xiàn)。 ,0EI tw —— 柔性梁對(duì)電機(jī)軸反作用彎曲力矩。qq+ x = t + 這里 Jm—— 電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,ξ —— 電機(jī)的摩擦阻尼系數(shù),τ( t) —— 電機(jī)產(chǎn)生作用力矩, ( )39。amp。39。 ,Iy t l ,扭轉(zhuǎn)力矩 ( )39。 ,EIy t l )彎曲力矩 ( )39。39。相應(yīng)的廣義力是剪力 ( )39。qqe f + + + + + + + f( 545) 項(xiàng)① 繞質(zhì)量中心慣性主軸 QX’2 旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能) 項(xiàng)②(中心慣性主軸 QZ’2 的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能) 項(xiàng)③(負(fù)載質(zhì)量中心平動(dòng)動(dòng)能)對(duì)于末端負(fù)載的運(yùn)動(dòng),可以用 ( ) ( ), , 39。 amp。 amp。( , ) ( , ) ]2 2 2J t l J t w t l m l c t w t l c w t l e t lamp。末端負(fù)載動(dòng)能K= 2 2 201 1 1[ ( , ) ] [ ( ) 39。q , 在 x=0 處邊界條件w(t,0)=0,w’(t,0)=0,w’(t,l)=Θ( l,t)扭轉(zhuǎn)力矩 T(t,x)=GJδΦ (t,x)/δ x 假設(shè)梁在扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)材料各向同性 ,內(nèi)部粘性阻尼常數(shù)同彎曲振動(dòng)時(shí)一樣,扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程 2 3 22 2 2 2 2( , ) ( , ) ( , )20t x G J t x G J t xt t x x秄 秄 秄 d =秗 k 抖 r k ? ( 544) 其中 pk178。d rr ( 543) 柔性機(jī)械手系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究 28 其中柔性梁阻尼常數(shù) 0d ,關(guān)節(jié)的角加速度 ()tamp。讓 w(t,x)和Φ( t,x)分別表示柔性梁在時(shí)刻 t 和位置 x 處相對(duì)坐標(biāo)軸 11xy 的橫向變形和扭轉(zhuǎn)位移,假設(shè)均為小量,材料各向同性梁的橫向彎曲振動(dòng)方程 2 2 41 1 12 4 4( , ) ( , ) ( , )x 2 ( )w t x E I w t x E I w t x x t y zt t X X q抖 ?+ + = 抖抖 amp。 圖 55單桿柔性機(jī)械手彎曲和扭轉(zhuǎn) Fig. 55 Bending and torsion of a single rod flexible manipulator Q 表示末端剛性負(fù)載質(zhì)量中心, P 表示柔性梁末端的切線與通過(guò)剛性負(fù) 載質(zhì)量中心垂直平面的交點(diǎn), c 表示柔性梁末端的到 P 點(diǎn)的距離, e 表示 PQ 之間的距離,定義末端剛性負(fù)載連體坐標(biāo)系 2 2 2xyz ,其中 X2 是柔性梁末端切線,仍然在水平面內(nèi),它相對(duì)于 X1 軸的轉(zhuǎn)角Θ 1 表示,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中剛性負(fù)載相對(duì)剪切中心軸 PX2 像倒擺一樣做扭轉(zhuǎn)振動(dòng),定義負(fù)載對(duì) PX2 軸的扭轉(zhuǎn)較為Θ,軸 22yz 也跟隨剛性負(fù)載做扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。是柔性梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量極慣性矩, ,x z xzJ J J 是負(fù)載質(zhì)量對(duì)各 慣量軸的慣性矩和慣性積, 考慮水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)細(xì)長(zhǎng)柔性梁,桿長(zhǎng)為 l 單位長(zhǎng)度的質(zhì)量密度為ρ各 處的抗彎剛度為 EI,扭轉(zhuǎn)剛度為 GJ,一端固連在電機(jī)軸上,一端連接剛性負(fù)載。amp。amp。amp。amp。amp。 , 1, 39。 , 39。39。 , 0 0 , , 0 0, 39。這兩個(gè)約束模態(tài)是: 懸臂梁 ( ) [ c o sh ( ) c o s sinh ( ) sinc o s c o shsin sinhc i c i c i c i c i c ic i c icic i c ix l x x k x xllkl l l lllj = +=+ ( 539) cil 滿足 1 c o s . c o sh 0ci cillll+= 簡(jiǎn)支梁: ( ) .sinpi pipix l xiljlpl== ( 540) 柔性梁既會(huì)發(fā)生彎曲振動(dòng)又會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng),動(dòng)力學(xué)模型變得更復(fù)雜。但是這種假設(shè)下得出的動(dòng)力學(xué)方程能夠比較真實(shí)的描述實(shí)際的柔性機(jī)械手動(dòng)力學(xué)行為。事實(shí)上,剛體運(yùn)動(dòng)表達(dá)在柔性機(jī)械臂 振動(dòng)方程的邊界條件中,按經(jīng)典模態(tài)分析理論,理論上有影響。即使是邊界條件發(fā)生變化,方程表達(dá)形式不變,只是動(dòng)力學(xué)參數(shù)如 e,pi 有所 變化 [17]。hw=+ = = ? ( 538) 反帶回?zé)o因次參數(shù),化為實(shí)際物理量表達(dá)的動(dòng)力學(xué)方程。amp。 ( 537) 這樣單桿柔性機(jī)械手無(wú)因次動(dòng)力學(xué)方程為 ( ) ( )( ) ( ) ( )2 , 1 , . . . ,j j j jt u tq t q t e p u t jamp。165。amp。q=+可得 21( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] 0i i i i iit p l q t w q tamp。( , ) [ ( ) ( , ) ]w t l c t w t lamp。39。=h + + j + =229。amp。amp。w j h jゥ ?= = =ⅱ+ = + +邋 ? ( 535) 因此有 21( ) [ 39。amp。 amp。ゥ ?= = =j = h + + j邋 ? ( 534) 即 ( ) ( ) ( )2111 1 1( ) [ ( ) ] [ ( ) ]i i i i i j i jj i iq t c p l c t p q t l q tamp。amp。 amp。( ) ]i i i i i ii i iq t l c t q t lamp。39。amp。amp。( , ) [ ( ) 39。 ( 533) 由邊界條件 139。=+ j + j j + j+ D + h j j =229。165。 amp。amp。( ) ] 0i i i j i i i j i iii i i ij i j jiq t w q t c l p l c l p lq t w q t t e p c l c lamp。( )lli j i j i j i j i j i j i j j jx x d x p x x d x e p p c l l c l l e p p c l p i c l p ij j + j = j j j j + D + j j蝌( 532) 振動(dòng)方程則可化為 2012011[ ( ) ( ) ] { ( ) [ ( ) ] ( ) [ 39。( ) 39。amp。amp。amp。amp。amp。amp。amp。 ’ ’ ( 529) 其中1ij 0ij=185。 ’ ’ ( 527) 等于 j 時(shí) ,得到 0 x ( ) 0 l ( ) 1 l ( ) + 1li j i j i jx d x e p ip j c l c lj ( ) j = j ( ) j j ( ) j242。( ) lixxj 189。39。 澆242。39。( ) 39。39。39。( )39。( ) 39。( ) ( ) 39。( ) ( ) 39。39。( ) ( ) 39。39。( )39。( ) 39。( ) 39。39。39。39。39。39。39。39。39。39。39。39。39。39。( ) ]3lliiiw i x x d x x x x p iw i d xpic w i p i l w c iw i p i l p iw ibj = j = + j + j 蝌 ( 521) 因此 有 011( ) ( 0 1 ) 0 ( ) 1 ( ) = e p i 0 ( ) 1 ( )3l i i i i ix x d x c c p i c l c l c l c lbj = + + + j j j j242。39。39。i l c 0 i [ i ( l) ]pipij ( 0) = 0。i l c i [ i 39。 2ii 39。 239。 ( 519) 由于 ( 518)和( 519) 得到常數(shù) 2(0)ii bp jwⅱ= 振型函數(shù)做變量與 ()對(duì)應(yīng)柔性振動(dòng)方程 2( ) ( ( ) ) 0i i i ix x p xj w jⅱ ? + = 邊界條件 : 39。 ,得到齊次邊界條件 (0) 0i i t ip q b qj ⅱ=amp?!? ( 518) 假定剛體運(yùn)動(dòng)不影響柔性 振動(dòng)的模態(tài)振型及頻率,把 ( ), ( , )t w t xq 的表達(dá)式帶入 ( 517)和 ( 518) , 并 令控制量 ( ) ( )u t th= amp。 amp。amp。 amp。 =ⅱ ?= +ⅱ ? =+amp。, [ ( ) , ] 。 ‘ ( 517) 青島科技大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文) 23 相應(yīng)的邊界條件 ( )( )( ) ( )( ) ( )10, 0 0 。amp。 amp。為了研究上述方程 式方便,引入如下無(wú)因次常數(shù)和對(duì)振 方程進(jìn)行無(wú)因次化 無(wú)因次常數(shù) 434, , 0 , 1ap l p l M e J pa b c cE I J p l p l= = = = ( 515) 無(wú)因次化 2 (), , ( ) 0t x w a u tt x y ta l l Ju(t) ( 516) U(t)為對(duì)應(yīng)實(shí)際控制力矩控制變量, 則 柔性機(jī)械手運(yùn)動(dòng)分解成剛體運(yùn)動(dòng)和柔性振動(dòng)兩部分描述,其無(wú)因次動(dòng)力學(xué)方程為 ( ) ( ), ( ) , 0( ) ( , 0 ) ( )t x x t t xt b t u tw q w