蘇教版必修5高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列章末知識整合(參考版)
2024-12-09 00:27本頁面
【正文】 lg 5＝ (1 － lg 2)＝ ， 再利用 ln(x＋ 1)≈x ，可得 x≈ ln 510 ≈ ＝ 16%. 故每年約增長 16%. 。 12n＋ 1 ＝ 1－ 12n－ n12n＋ 1， ② ① － ② 得： 12Sn＝ 12＋ 122＋ 123＋ ? ＋ 12n－ n 1. ?歸納拓展 將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成多項(xiàng) ， 然后重新分組 ， 將一般數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和問題 ， 運(yùn)用的是化歸的數(shù)學(xué)思想 ， 通項(xiàng)變形是這種方法的關(guān)鍵． ?變式遷移 7． 已知數(shù)列 {an}的 通項(xiàng)公式為 an＝ n(n＋ 1)， 求 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn. 解析： an＝ n(n＋ 1)＝ n＋ n2(n∈N *)， ∴ Sn＝ (1＋ 2＋ 3＋ ? ＋ n)＋ (12＋ 22＋ 32＋ ? ＋ n2)＝ n（ n＋ 1）2 ＋ n（ n＋ 1）（ 2n＋ 1）6 ＝n（ n＋ 1）（ n＋ 2）3 . 三、裂項(xiàng)相消法 例 8 求數(shù)列 112＋ 2＋ 122＋ 4＋ 132＋ 6＋ 142＋ 8＋ ? ＋ 1n2＋ 2n的前 n項(xiàng)和． 分 析： 通項(xiàng) an＝ 1n2＋ 2n＝ 1n（ n＋ 2） ＝ 12??? ???1n－ 1n＋ 2 ， 所以可以使用裂項(xiàng)相消法． 解析： ∵ an＝ 1n2＋ 2n＝ 1n（ n＋ 2） ＝ 12??? ???1n－ 1n＋ 2 ， ∴ Sn＝ 11 3＋ 12 4＋ 13 5＋ 14 6＋ ? ＋ 1（ n－ 1）（ n＋ 1） ＋ 1n（ n＋ 2） ＝ 12?????? ???1－ 13 ＋ ??? ???12－ 14 ＋ ??? ???13－ 15 ＋ ???14－ ???16 ＋ ? ＋ ?????? ???1n－ 1－ 1n＋ 1 ＋ ??? ???1n－ 1n＋ 2 ＝ 12??? ???1＋ 12－ 1n＋ 1－ 1n＋ 2 ＝ 34－ 12n＋ 2－ 12n＋ 4. ?歸納拓展 裂項(xiàng)相消求和就是將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成二項(xiàng)或多項(xiàng)．使數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的抵消項(xiàng) ， 從而達(dá)到求和的目的． 常見的拆項(xiàng)公式有： (1) 1n（ n＋ 1） ＝ 1n－ 1n＋ 1； (2) 1（ 2n－ 1）（ 2n＋ 1） ＝ 12??? ???12n－ 1－ 12n＋ 1 ； (3) 1n（ n＋ 1）（ n＋ 2） ＝ 12??? ???1n（ n＋ 1） － 1（ n＋ 1）（ n＋ 2） ； (4) 1a＋ b＝ 1a－ b( a－ b)； (5)an＝ Sn－ Sn－ 1(n≥2) ． ?變式遷移 8． 已知數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式為 an＝ 2n＋ 1n2（ n＋ 1） 2， 求 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn. 解析： ∵ 2n＋ 1n2（ n＋ 1） 2＝ （ n＋ 1）2－ n2n2（ n＋ 1） 2 ＝1n2－1（ n＋ 1） 2， ∴ Sn＝ ??? ???1－ 122 ＋ ??? ???122－ 132 ＋ ??? ???132－ 142 ＋ ? ＋ ??? ???1n2－ 1（ n＋ 1） 2 ＝ 1－ 1（ n＋ 1） 2＝ n（ n＋ 2）（ n＋ 1） 2. 四、錯(cuò)位相減法 例 9 求數(shù)列 ????? ?????n2n 的前 n項(xiàng)和 Sn. 分析： 此數(shù)列非等差數(shù)列也非等比數(shù)列 ， 其通項(xiàng)公式 an＝ n2n可以認(rèn)為是一個(gè)等差數(shù)列 bn＝ n與一個(gè)等比數(shù)列 ＝ 12n相乘得到的 ， 可以用乘公比錯(cuò)位相減法來求解． 解 析： Sn＝ a1＋ a2＋ a3＋ ? ＋ an， Sn＝ 1 12＋ 2 122＋ 3 123＋ ? ＋ n 12n， ① 12Sn＝ 1122＋ 2123＋ ? ＋ (n－ 1)1 時(shí) ， Sn＝ 4n. 綜上 ， Sn＝?????4n， x＝ 177。 an得 1an＋ 1－ 1an＝ 12. ∴ 數(shù)列 ????? ?????1an是等差 數(shù)列 ，首項(xiàng)為 1a1＝ 1， 公差為 12. ∴ 1an＝ 1a1＋ (n－ 1) 12＝ n＋ 12 . ∴ an＝ 2n＋ 1(n∈N *)． 答案： 2n＋ 1(n∈N *) ?歸納拓展 根據(jù)已知條件構(gòu)造一個(gè)與 {an}有關(guān)的新的數(shù)列 ， 通過新數(shù)列通項(xiàng)公式的求解求得 {an}的通項(xiàng)公式．新的數(shù)列往往是等差數(shù)列或是等比數(shù)列．例如形如 an＝ pan－ 1＋ q(p， q 為常數(shù) )的形式 ， 往往變?yōu)?an－ λ ＝ p(an－ 1－ λ )， 構(gòu)成等比數(shù)列 ， 求 an－ λ 通項(xiàng)公式 ， 再求 an. ?變式遷移 5． 已知數(shù)列 {an}中 ， a1＝ 2， an＋ 1＝ 3an－ 2， 求 an. 解析： 由 an＋ 1＝ 3an－ 2， 設(shè) an＋ 1＋ k＝ 3(an＋ k)， 其中 k 是待定系數(shù) ， 即 an＋ 1＝ 3an＋ 2k與條件進(jìn)行對比 ， 得 2k＝－ 2， ∴ k＝－ an＋ 1－ 1＝ 3(an－ 1)， ∴ {an－ 1}是 2－ 1＝ 1為首項(xiàng) ， 公比為 3的等比數(shù)列． ∴ an－ 1＝ 13 n－ 1. ∴ an＝ 3n－ 1＋ 1(n∈N *)． 題型 2 數(shù)列的求和 一、公式法 例 6 (1)求 1＋ 4＋ 7＋ ? ＋ (3n＋ 1)的值； (2)若數(shù)列 {xn}滿足 logaxn＋ 1＝ 1＋ logaxn(n∈N *， a＞ 0， 且 a≠1) 且 x1＋ x2＋ x3＋ ? ＋ x100＝ 100， 求 x101＋ x102＋ ? ＋ x200的值． 分析： (1)中 1， 4， 7， ? ， 3n＋ 1是個(gè)等差數(shù)列 ， 但容易這樣求解： Sn＝ n[1＋（ 3n＋ 1） ]2＝ 3n22 ＋ ， 錯(cuò)在沒搞清此數(shù)列有多少項(xiàng)． (2)可以作個(gè)變換 logaxn＋ 1－ logaxn＝logaxn＋ 1xn＝ 1， 推導(dǎo)出 {xn}是等比數(shù)列再求解． 解析： (1)∵ 數(shù) 列中 30 ＋ 1＝ 1， ∴ 第
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