【正文】 具體的搜索步驟如下 : ① 給定 Δ。處于最靈活時(shí)條件數(shù)等于 子空間 .由于本文分析的機(jī)構(gòu)是 3 自由度機(jī)構(gòu) ,工作空間是三維空間 ,即 Zc 平移 ,x 和 y旋轉(zhuǎn) .所以通過(guò)這三個(gè)獨(dú)立變量所繪制的工作空間可以表達(dá)完整的工作空間狀態(tài) . 本文中， 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿解析時(shí)，反解容易而正解較難，并考慮到桿長(zhǎng)、轉(zhuǎn)角等的約束條件，應(yīng)用優(yōu)化方法， 在 MATLAB 軟件上采用了一種數(shù)值方法的程序 ,可以搜索計(jì)算出工作空間上的離散點(diǎn) .方法是取若干個(gè)適當(dāng)?shù)钠叫衅矫孀鳛楣ぷ骺臻g的剖面 .這些平面與工作空間的交 即是工作空間在這些剖面上的邊界曲面線 .若取一系列這樣的剖面 ,就可以得到一系列的邊界曲線 .這些邊界曲線的集合就構(gòu)成一個(gè)完整的工作空間曲面 .例如 ,取一平行于 XOY 的平面作為工作空間的剖面 ,該平面距離坐標(biāo)原點(diǎn) O 的距離 Zi∈ (Zmin,Zmax).然后 ,在該平面上取一極角 θi,作一極線 ρ與邊界曲線的交點(diǎn) ρi即為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在該極線上所能達(dá)到的最遠(yuǎn)點(diǎn) .因此 ,只要能在此次極線上找到 ρi,即可算出該邊界點(diǎn)在坐標(biāo)系 OXYZ 中的空間坐標(biāo) .由此可看出 ,通過(guò)上述方法處理后 ,即可將工作空間邊界點(diǎn)的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì) ρi的一 維搜索問(wèn)題 .而 ρi的求 第 31 頁(yè) 取 ,實(shí)際上是計(jì)算運(yùn)動(dòng)平臺(tái)是否滿足約束條件 ,即雅可比矩陣的條件數(shù) ,每增加一個(gè) △ ρ時(shí) ,就要判斷此上的點(diǎn)的雅可比矩陣的條件數(shù)是否在預(yù)先規(guī)定的范圍內(nèi) .達(dá)到最大的允許條件數(shù)時(shí) ,此時(shí)的 (θi,ρi)記為靈活工作空間的邊界點(diǎn) ,靈活工作空間的邊界點(diǎn)( x, y,Zc)可以表示為 (ρicosθi,ρisinθi,Zi).當(dāng)求得一個(gè)邊界點(diǎn)后 ,令極線的極角增加△ θ,再按上述方法搜索出另一個(gè)邊界點(diǎn) .當(dāng)極角 θi 由 0 開始增加到 360176。 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作 空間邊界的確定 工作空間是機(jī)器人操作器的工作區(qū)域 ,它是衡量機(jī)器人性能的重要指標(biāo) ,但是對(duì) 3自由度 RPS 型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間的分析并不多 .究其原因 ,RPS 型并聯(lián)機(jī)構(gòu)只有 3 個(gè)獨(dú)立的自由度 ,即如果要求得工作空間 ,必須求出三個(gè)移動(dòng)自由度的坐標(biāo)。 3） 桿間的相互干涉 ：對(duì)于本文所研究的 3RPS 并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)，由于轉(zhuǎn)動(dòng)副要?jiǎng)? 第 30 頁(yè) 平臺(tái)的姿態(tài)變化不超過(guò)一定范圍，且三只球鉸只能在 y=0， y= 3 x， y= 3 x 3 個(gè)垂直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，因此，只要?jiǎng)悠脚_(tái)的總臺(tái)變化不超過(guò)一定的范圍，且動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)半徑 r 和 R 選取適當(dāng)，就不會(huì)出現(xiàn)桿間干涉的情況。由于球鉸的擺動(dòng)角度受其結(jié)構(gòu)限制，因此，在對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行工作空間分 第 29 頁(yè) 析 時(shí)，必須考慮球鉸的最大圓錐擺角 ? qmax。且由于機(jī)構(gòu)對(duì)稱，所以三根桿的最大、最小值分別相等。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間一般指可達(dá)工作空間，是指動(dòng)平臺(tái)上某一點(diǎn)參考（通常為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)）可以到達(dá)的所有點(diǎn)的集合。微電子加工以及其他應(yīng)用場(chǎng)合。因此對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行三維建模與仿真具有 較重要的現(xiàn)實(shí)意義。 第 28 頁(yè) 第 4章 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間分析 引言 工作空間分析是并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)的核心內(nèi)容之一，目的在于清晰地了解工作空間的大小、形狀和位置，一邊對(duì)末端執(zhí)行器的可達(dá)運(yùn)動(dòng)范圍作出客觀的評(píng)價(jià)。 若令 A=sin? ， B=sin? ， a=cos? ， b=cos? ， A2=sin2? ， a2=cos2? ，則 ??J 中的個(gè)元素為 J11=? ?ABrLAbrL BA 121 )1(2 ?? /L1 J12=? ?abrLaBrL BA 11 )2/1( ??? /L1 J13=L1B/L1 J21=? ?)3()3)(3)(1( 22222 aABrLAaLLbr cAB ????? /(2L2) J22=? ?)3(2/)13)(3( 22222 AabrLaALLrB cAB ????? /(2L2) J23=L2c/L3 J31=? ?)3()3)(3)(1( 32233 AaBrLAaLLbr cBA ????? /(2L3) J32=? ?)3(2/)13)(3( 32233 AabrLaALLrB cBA ????? /(2L3) J33= L3c/ L3 以上式中 ， L1A=ra2(b1)+r(b+1)/2R， L1b=ZcrBa L2A=r(b1)( 3 A2+a2)/4r(1+b)/4+R/2 L2B=人 （ 1b）（ 3 a2+3A2） /4+ 3 r（ 1+b） /4+R/2 第 27 頁(yè) L2C=rB(a 3 A)/2+Zc L3A=R(1b)（ 3 A2a2） /4人 （ 1+b） /4+R/2 L3B=人 （ 1b）（ 3A2 3 a2） /4 3 人 （ 1+b） /4+ 3 R/2 L3C=rB(a+ 3 A)/2+Zc 本章小結(jié)： 本章對(duì) 3RPS 并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)、獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)、位姿正反解進(jìn)行了詳細(xì)分析。 已知驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng) L=(L1,L2,L3)T，求動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù) U= U（ Xc， Yc， Zc， ? ， ? ， ? ），選取優(yōu)化變量為 U=（ Zc， ? ， ? ），建立目標(biāo)函 數(shù) F=min 0LL? （ L0為給定的桿長(zhǎng)向量） （ 320） 令動(dòng)平臺(tái)位姿 U=Uk，進(jìn)行反解計(jì)算，可得到驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng) L=L(Uk)，將得到的 L與 L0進(jìn)行比較，若其誤差滿足給定的精度要求，則可終止計(jì)算，此時(shí)的 U 就是所求位姿的正解，否則繼續(xù)進(jìn)行迭代計(jì)算。 L21 =? ?Rrr ???? 2/)1( c o s)1( c o s2c o s ??? 2+(Zcrsin? cos? )2 L22 =? ?2/4/c o s1(4/2c o s2s i n3)(1( c o s Rrr ????? ???? 2+ ? ?2/4/c o s1(34/2s i n32c o s3)(c o s1( Rrr ????? ???? 2+ ? ?cZr ?? 2/)s i n3( c o ss i n ???2 L23 =? ?2/4/)c o s1(4/2c o s2s i n3)(c o s1( Rrr ????? ???? 2+ ? ?2/34/)2c o s32s i n3)(c o s1( Rr ??? ??? 2+ ? ?cZr ?? 2/s i n3(c o ss i n ??? 2 第 25 頁(yè) 3RPS 并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的位置正解 已知 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)平臺(tái)各 驅(qū)動(dòng)桿的桿長(zhǎng)，求解機(jī)構(gòu)的位姿，就是機(jī)構(gòu)的位姿正解。 ??T 的 9 個(gè)元素中實(shí)際只包含 3個(gè)獨(dú)立變量，在機(jī)構(gòu)分析中可用歐拉角進(jìn)行表達(dá)。 AaYZXxy111 aa 132AA321ORcr3LL 12L2u1u3u1α 23αα 圖 35 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖 已知 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)平臺(tái)的位姿 U=（ Xc， Yc， Zc， ? ， ? ， ? ），求解機(jī)構(gòu)各驅(qū)動(dòng)桿的桿長(zhǎng) L=(L1,L2,L3)，就是 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿反解。定坐標(biāo)系 OXYZ 位于基面三角形中央，原點(diǎn)位于三角形中心處， z 軸垂直向上， X 軸又 O 指向 A1， Y 軸平行于 A2A3,3 支撐桿長(zhǎng)為 L1L2L3,3 條可伸縮桿最長(zhǎng)為 Lmax，最短為 Lmin。 3RPS 并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的 位姿反解 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)形式如下圖。 a1a2a3三點(diǎn)必須在 y=0， y= 3 x， y= 3 x 3 個(gè)垂直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。根據(jù)前面的分析，選擇 Zc， ? ， ? 三個(gè)參數(shù)作為獨(dú)立的輸出位姿參數(shù)，其他三個(gè)參數(shù)可用這三個(gè)參數(shù)表示。 Z（ ? ） = ??????????1000c o ss in0s inc o s???? （ 37） Y（ ? ） = ??????????? ????c o s0s in010s in0c o s （ 38） Z（ ? ） =?????????? ?1000c o ss i n0s i nc o s???? （ 39） 旋轉(zhuǎn)矩陣 T T=Z（ ? ） Y（ ? ） Z（ ? ） （ 310） 第 21 頁(yè) T=??????????????????????????????????????????????c o ss i ns i nc o ss i ns i ns i nc o sc o ss i nc o ss i ns i nc o sc o sc o ss i ns i nc o sc o ss i ns i nc o sc o ss i ns i nc o sc o sc o s （ 311） 3RPS 并聯(lián)平臺(tái) 機(jī)構(gòu)位姿 解耦 由旋轉(zhuǎn)矩陣的變換過(guò)程可得到球鉸 ai對(duì)定系的坐標(biāo)為： ai= ??T aie+c （ i=1,2,3） （ 312） 其中 ai和 aie 分別是球鉸 ai對(duì)定系和動(dòng)系的位置向量， c=｛ Xc Yc Zc｝ T為動(dòng)系原點(diǎn)對(duì)定系的位置向量，由于 ??T 的坐標(biāo)投影式中各元素不易求解，所以采用歐拉角形式的旋轉(zhuǎn)矩陣如式（ 311）。 設(shè)在空間坐標(biāo)系 xyz 有一點(diǎn) P（ x1， y1， z1），經(jīng)旋 轉(zhuǎn)后得到點(diǎn) P39。 ③ 旋轉(zhuǎn)矩陣： 在二維平面內(nèi)任何一個(gè)點(diǎn) P 在空間的位置可以用 P(x,y)表示，如圖 34，當(dāng) P 點(diǎn)在平面內(nèi)移動(dòng)任意 位置到 P?,我們可以找到兩個(gè)點(diǎn)之間的位置關(guān)系。稱 xy平面與 XY平面的相交為交點(diǎn)線，用英文字母（Ｎ）代表。而坐標(biāo)系則固定于剛體，隨著剛體的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)。 x y z o Y O X O 定坐標(biāo)系 動(dòng)坐標(biāo)系 第 18 頁(yè) 圖 33 運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系繞慣性坐標(biāo)系的順次轉(zhuǎn)動(dòng) 對(duì)于在三維空間里的一個(gè)參考系 ，任何坐標(biāo)系的取向，都可以用三個(gè)歐拉角來(lái)表現(xiàn)。 ② 歐拉角 從動(dòng)坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系重合的位置，進(jìn)行了 3 次有序的轉(zhuǎn)動(dòng)。 第 17 頁(yè) 動(dòng)坐標(biāo)系：與運(yùn)動(dòng)物體故連，并隨其一起運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系稱為動(dòng)坐標(biāo)系。連帶運(yùn)動(dòng) X、 Y 及 y 隨岔、多的變化呈面對(duì)稱分布，各滑塊保持同一高度且同步移動(dòng)時(shí)不產(chǎn)生連帶運(yùn)動(dòng)。從而動(dòng)平臺(tái)和固定基座可以分別簡(jiǎn)化為等邊三角形，并且當(dāng)三個(gè)滑塊處于高度時(shí)，其中心連線也為等邊三角形。機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件的布置采用對(duì)稱方式，三條滑道垂直于固定基座并互成１２０。 空間 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu) 機(jī)構(gòu)組成 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、固定基座以及三條拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)完全相同的支鏈組成