【導(dǎo)讀】本文基于空間機(jī)構(gòu)學(xué)理論，對(duì)3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了相關(guān)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。的位置正解；依據(jù)驅(qū)動(dòng)副行程、鉸鏈轉(zhuǎn)角、連桿尺寸干涉等限制因素確立約束條件，特點(diǎn)，并進(jìn)行了工作空間體積計(jì)算。最后基于ADAMS軟件平臺(tái)，建立了3-RPS并。聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維實(shí)體簡(jiǎn)化模型，對(duì)3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了仿真。3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與應(yīng)用提供了參考。產(chǎn)工具的改進(jìn)和人類生活水平的不斷提高。從三國(guó)時(shí)期諸葛亮的“木牛流馬”到捷克

　　

【正文】 ??T 的這種表達(dá)式稱為旋 轉(zhuǎn)矩陣的坐標(biāo)投影式。 ??T 的 9 個(gè)元素中實(shí)際只包含 3個(gè)獨(dú)立變量，在機(jī)構(gòu)分析中可用歐拉角進(jìn)行表達(dá)。 驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng) Li可表示為 Li= ii Aa? （ i=1,2,3） （ 319） 將 Ai和 ai的坐標(biāo)值代入上式，可得 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解方程。 L21 =? ?Rrr ???? 2/)1( c o s)1( c o s2c o s ??? 2+(Zcrsin? cos? )2 L22 =? ?2/4/c o s1(4/2c o s2s i n3)(1( c o s Rrr ????? ???? 2+ ? ?2/4/c o s1(34/2s i n32c o s3)(c o s1( Rrr ????? ???? 2+ ? ?cZr ?? 2/)s i n3( c o ss i n ???2 L23 =? ?2/4/)c o s1(4/2c o s2s i n3)(c o s1( Rrr ????? ???? 2+ ? ?2/34/)2c o s32s i n3)(c o s1( Rr ??? ??? 2+ ? ?cZr ?? 2/s i n3(c o ss i n ??? 2 第 25 頁(yè) 3RPS 并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的位置正解 已知 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)平臺(tái)各 驅(qū)動(dòng)桿的桿長(zhǎng)，求解機(jī)構(gòu)的位姿，就是機(jī)構(gòu)的位姿正解。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，對(duì)于大多數(shù)機(jī)構(gòu)位置正解很難球的精確的解析解，大多采用數(shù)值解法。 已知驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng) L=(L1,L2,L3)T，求動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù) U= U（ Xc， Yc， Zc， ? ， ? ， ? ），選取優(yōu)化變量為 U=（ Zc， ? ， ? ），建立目標(biāo)函 數(shù) F=min 0LL? （ L0為給定的桿長(zhǎng)向量） （ 320） 令動(dòng)平臺(tái)位姿 U=Uk，進(jìn)行反解計(jì)算，可得到驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng) L=L(Uk)，將得到的 L與 L0進(jìn)行比較，若其誤差滿足給定的精度要求，則可終止計(jì)算，此時(shí)的 U 就是所求位姿的正解，否則繼續(xù)進(jìn)行迭代計(jì)算。 求解過(guò)程示意圖： 圖 36 正解流程圖 開(kāi)始 K=0，給出優(yōu)化初值 U0 根據(jù) Uk 逆解出 Lk， Lk=Lk（ Uk） F=min 0LL? ? 輸出 U=Uk 結(jié)束 K=K+1 搜索下一個(gè) Uk NO 第 26 頁(yè) 在進(jìn)行反解計(jì)算時(shí)，將 3RPS 并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的 Jacobian 矩陣?yán)?微分法求得，然后將位姿焊接方程同時(shí)對(duì)時(shí)間 t 求一階偏導(dǎo)得 ?????????????????321LLL=????????????????????????????cccZLLLZLLLZLLL/////////333222111?????????????????????cZ?? （ 321） 對(duì)上式，令 ??J =????????????????????????????cccZLLLZLLLZLLL/////////333222111??????=??????????333231232221131211JJJJJJJJJ，則 ??J 就是 3RPS并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)思路參數(shù)與獨(dú)立輸出參數(shù)之間的 33 階 Jacobian 矩陣 。 若令 A=sin? ， B=sin? ， a=cos? ， b=cos? ， A2=sin2? ， a2=cos2? ，則 ??J 中的個(gè)元素為 J11=? ?ABrLAbrL BA 121 )1(2 ?? /L1 J12=? ?abrLaBrL BA 11 )2/1( ??? /L1 J13=L1B/L1 J21=? ?)3()3)(3)(1( 22222 aABrLAaLLbr cAB ????? /(2L2) J22=? ?)3(2/)13)(3( 22222 AabrLaALLrB cAB ????? /(2L2) J23=L2c/L3 J31=? ?)3()3)(3)(1( 32233 AaBrLAaLLbr cBA ????? /(2L3) J32=? ?)3(2/)13)(3( 32233 AabrLaALLrB cBA ????? /(2L3) J33= L3c/ L3 以上式中 ， L1A=ra2(b1)+r(b+1)/2R， L1b=ZcrBa L2A=r(b1)( 3 A2+a2)/4r(1+b)/4+R/2 L2B=人 （ 1b）（ 3 a2+3A2） /4+ 3 r（ 1+b） /4+R/2 第 27 頁(yè) L2C=rB(a 3 A)/2+Zc L3A=R(1b)（ 3 A2a2） /4人 （ 1+b） /4+R/2 L3B=人 （ 1b）（ 3A2 3 a2） /4 3 人 （ 1+b） /4+ 3 R/2 L3C=rB(a+ 3 A)/2+Zc 本章小結(jié)： 本章對(duì) 3RPS 并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)、獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)、位姿正反解進(jìn)行了詳細(xì)分析。應(yīng)用歐拉角描述了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位姿，推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)矩陣及位姿的正解與反解公式，應(yīng)用數(shù)值優(yōu)化法 求解機(jī)構(gòu)的位姿反解，根據(jù)機(jī)構(gòu)的 Jacobian 矩陣對(duì)機(jī)構(gòu)的正解進(jìn)行分析。 第 28 頁(yè) 第 4章 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間分析 引言 工作空間分析是并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)的核心內(nèi)容之一，目的在于清晰地了解工作空間的大小、形狀和位置，一邊對(duì)末端執(zhí)行器的可達(dá)運(yùn)動(dòng)范圍作出客觀的評(píng)價(jià)。 由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種空間的立體結(jié)構(gòu)，它的運(yùn)動(dòng)空間也子啊一個(gè)三維空間內(nèi)，因此僅通過(guò)平面繪圖是不能滿足對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的需要，而且并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，控制不方便，加工制造存在一定難度，不宜采用實(shí)際材料制造實(shí)物樣機(jī)進(jìn)行研究。因此對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行三維建模與仿真具有 較重要的現(xiàn)實(shí)意義。 3RPS 空間并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)既可以作為獨(dú)立的機(jī)器人機(jī)構(gòu)，也可以作為機(jī)器人手腕的一部分，還可以應(yīng)用在其他許多領(lǐng)域，如衛(wèi)星天線的自動(dòng)跟蹤系統(tǒng)、太陽(yáng)能電池的定位、機(jī)床工作臺(tái)與工件的定位，人工假肢關(guān)節(jié)。微電子加工以及其他應(yīng)用場(chǎng)合。 3RPS 并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的工作空間分析 工作空間分析是機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)中的一個(gè)十分重要的問(wèn)題，工作空間大小是衡量機(jī)構(gòu)性能的一項(xiàng)重要指標(biāo)。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間一般指可達(dá)工作空間，是指動(dòng)平臺(tái)上某一點(diǎn)參考（通常為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)）可以到達(dá)的所有點(diǎn)的集合。 機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的 工作控股將主要受以下四個(gè)方面的限制： 1） 各分支長(zhǎng)度限制： 3RPS 并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)各分支的長(zhǎng)度變化可由滾珠絲桿副實(shí)現(xiàn)，因此桿長(zhǎng) Li需滿足 Lmin≤Li≤Lmax （ 41） 式中 Lmin 和 Lmax分別代表機(jī)構(gòu)實(shí)際所允許的最小和最大桿長(zhǎng)。且由于機(jī)構(gòu)對(duì)稱，所以三根桿的最大、最小值分別相等。 2） 運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角限制： 3RPS 并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)與各分支是通過(guò)球鉸相聯(lián) 接的。由于球鉸的擺動(dòng)角度受其結(jié)構(gòu)限制，因此，在對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行工作空間分 第 29 頁(yè) 析 時(shí)，必須考慮球鉸的最大圓錐擺角 ? qmax。如圖所示 圖 41 球鉸約束條件 圖中所示 ni 為第 i 個(gè)球鉸的中心方向單位矢量，則驅(qū)動(dòng)桿與球鉸中心方向的夾角 qi? 為： qi? =arccos（ ni? nqi） （ 42） 由于驅(qū)動(dòng)桿與球鉸中心方向的夾角應(yīng)在球鉸的擺動(dòng)范圍內(nèi)，則有 qi? ≤ maxq? （ 43） 此外，球鉸的安裝角度也將影響機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)，通過(guò)計(jì)算機(jī)計(jì)算分析可知，當(dāng)桿長(zhǎng)Li=（ Lmin+Lmax） /2，且在上、下平臺(tái)坐標(biāo)系互相平行時(shí)，球鉸的中心方向與桿的軸線方向一致，這種安裝方式可有效的擴(kuò)大球鉸的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍。 3） 桿間的相互干涉 ：對(duì)于本文所研究的 3RPS 并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)，由于轉(zhuǎn)動(dòng)副要?jiǎng)? 第 30 頁(yè) 平臺(tái)的姿態(tài)變化不超過(guò)一定范圍，且三只球鉸只能在 y=0， y= 3 x， y= 3 x 3 個(gè)垂直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，因此，只要?jiǎng)悠脚_(tái)的總臺(tái)變化不超過(guò)一定的范圍，且動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)半徑 r 和 R 選取適當(dāng)，就不會(huì)出現(xiàn)桿間干涉的情況。 4） 奇異位置：本文中的 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)在其工作空間內(nèi)無(wú)奇異位置。 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作 空間邊界的確定 工作空間是機(jī)器人操作器的工作區(qū)域 ,它是衡量機(jī)器人性能的重要指標(biāo) ,但是對(duì) 3自由度 RPS 型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間的分析并不多 .究其原因 ,RPS 型并聯(lián)機(jī)構(gòu)只有 3 個(gè)獨(dú)立的自由度 ,即如果要求得工作空間 ,必須求出三個(gè)移動(dòng)自由度的坐標(biāo)。 運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的可達(dá)工作空間是指運(yùn)動(dòng)平臺(tái)所能達(dá)到的最大的體積 (通常是驅(qū)動(dòng)桿或是運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的物理極限 ).本文提出了一種替代工作空間的定義靈活工作空間 ,它是指能夠完成某些靈活條件 (即靈活尺度 ,比如矩陣的條件數(shù)小于或是等于某個(gè)預(yù)先設(shè)定的極限 )的工作空間 .設(shè)定的極限值可以保證運(yùn)動(dòng)平臺(tái)不處于奇 異位形 (當(dāng)處于奇異位形時(shí) ,條件數(shù)趨近于無(wú)窮大 。處于最靈活時(shí)條件數(shù)等于 子空間 .由于本文分析的機(jī)構(gòu)是 3 自由度機(jī)構(gòu) ,工作空間是三維空間 ,即 Zc 平移 ,x 和 y旋轉(zhuǎn) .所以通過(guò)這三個(gè)獨(dú)立變量所繪制的工作空間可以表達(dá)完整的工作空間狀態(tài) . 本文中， 3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿解析時(shí)，反解容易而正解較難，并考慮到桿長(zhǎng)、轉(zhuǎn)角等的約束條件，應(yīng)用優(yōu)化方法， 在 MATLAB 軟件上采用了一種數(shù)值方法的程序 ,可以搜索計(jì)算出工作空間上的離散點(diǎn) .方法是取若干個(gè)適當(dāng)?shù)钠叫衅矫孀鳛楣ぷ骺臻g的剖面 .這些平面與工作空間的交 即是工作空間在這些剖面上的邊界曲面線 .若取一系列這樣的剖面 ,就可以得到一系列的邊界曲線 .這些邊界曲線的集合就構(gòu)成一個(gè)完整的工作空間曲面 .例如 ,取一平行于 XOY 的平面作為工作空間的剖面 ,該平面距離坐標(biāo)原點(diǎn) O 的距離 Zi∈ (Zmin,Zmax).然后 ,在該平面上取一極角 θi,作一極線 ρ與邊界曲線的交點(diǎn) ρi即為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在該極線上所能達(dá)到的最遠(yuǎn)點(diǎn) .因此 ,只要能在此次極線上找到 ρi,即可算出該邊界點(diǎn)在坐標(biāo)系 OXYZ 中的空間坐標(biāo) .由此可看出 ,通過(guò)上述方法處理后 ,即可將工作空間邊界點(diǎn)的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì) ρi的一 維搜索問(wèn)題 .而 ρi的求 第 31 頁(yè) 取 ,實(shí)際上是計(jì)算運(yùn)動(dòng)平臺(tái)是否滿足約束條件 ,即雅可比矩陣的條件數(shù) ,每增加一個(gè) △ ρ時(shí) ,就要判斷此上的點(diǎn)的雅可比矩陣的條件數(shù)是否在預(yù)先規(guī)定的范圍內(nèi) .達(dá)到最大的允許條件數(shù)時(shí) ,此時(shí)的 (θi,ρi)記為靈活工作空間的邊界點(diǎn) ,靈活工作空間的邊界點(diǎn)( x, y,Zc)可以表示為 (ρicosθi,ρisinθi,Zi).當(dāng)求得一個(gè)邊界點(diǎn)后 ,令極線的極角增加△ θ,再按上述方法搜索出另一個(gè)邊界點(diǎn) .當(dāng)極角 θi 由 0 開(kāi)始增加到 360176。時(shí) ,就可以得到該剖面上完整的邊界曲線 .作完一個(gè)剖面后 ,增加 Zi,重復(fù)同樣的方法 ,直到 Zi 由 Zmin變化到 Zmax 為止 ,這樣就可求出運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的整個(gè)靈活工作空間。 具體的搜索步驟如下 : ①