高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識總結(jié)及例題(參考版)
2024-11-18 05:18本頁面
【正文】 4．求函數(shù) y＝31log（ x2－ 5x＋ 4）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間． 解： 由 ? （ x）＝ x2－ 5x＋ 4＞ 0，解得 x＞ 4 或 x＜ 1，所以 x∈（－∞， 1）∪（ 4，＋∞），當(dāng) x∈（－∞， 1）∪（ 4，＋∞），｛ ? ｜ ? ＝ x2－ 5x＋ 4｝＝ R＋ ，所以函數(shù)的值域是 R＋ ．因?yàn)楹瘮?shù) y＝31log（ x2－ 5x＋ 4）是由 y＝31log? （ x）與 ? （ x）＝ x2－ 5x＋ 4 復(fù)合而成，函數(shù) y＝31log? （ x）在其定義域上是單調(diào)遞減的，函數(shù) ? （ x）＝ x2－ 5x＋ 4在（－∞， 25 ）上為減函數(shù)，在［ 25 ，＋∞ ］ 上為增函數(shù)．考慮到函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性， y＝31log（ x2－ 5x＋ 4）的增區(qū)間是定義域內(nèi)使 y＝31log? （ x）為減函數(shù)、 ? （ x）＝ x2－ 5x＋ 4 也為減函數(shù)的區(qū)間，即（－∞， 1）； y＝31log（ x2－ 5x＋ 4）的減區(qū)間是定義域內(nèi)使 y＝31log?（ x）為減函數(shù)、 ? （ x）＝ x2－ 5x＋ 4 為增函數(shù)的區(qū)間，即（ 4，＋∞）． 變式練習(xí) 一、選擇題 1．函數(shù) f（ x） ＝ )1(log21 －x的定義域是（ ） A．（ 1，＋∞） B．（ 2，＋∞） C． （－∞， 2） D． ]21(， 解析： 要保證真數(shù)大于 0，還要保證偶次根式下的式子大于等于 0， 所以????? ? 0)1(log 0121 －＞－xx 解得 1＜ x≤ 2． 答案： D 2．函數(shù) y＝21log（ x2－ 3x＋ 2） 的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ） A．（－∞， 1） B．（ 2，＋∞） C．（－∞， 23 ） D．（ 23 ， ＋∞） 解析： 先求函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ?o， 1）∪（ 2，＋∞），令 t（ x）＝ x2＋ 3x＋ 2，函數(shù) t（ x）在（－∞， 1）上單調(diào)遞減，在（ 2，＋∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，函數(shù) y＝21log（ x2－ 3x＋ 2）在（ 2，＋∞）上單調(diào)遞減． 答案： B 3．若 2lg （ x－ 2y）＝ lg x＋ lg y，則 xy 的值為（ ） A． 4 B． 1 或 41 C． 1 或 4 D． 41 錯(cuò)解： 由 2lg （ x－ 2y）＝ lg x＋ lg y，得（ x－ 2y） 2＝ xy，解得 x＝ 4y 或 x＝ y，則有 xy＝ 41 或yx＝ 1． 答案： 選 B 正解： 上述解法忽略了真數(shù)大于 0 這個(gè)條件，即 x－ 2y＞ 0，所以 x＞ 2y．所以 x＝ y 舍掉．只有 x＝ 4y． 答案： D 4．若定義在區(qū)間（－ 1， 0）內(nèi)的函數(shù) f（ x）＝ a2log （ x＋ 1）滿足 f（ x）＞ 0，則 a的取值范圍為（ ） A．（ 0， 21 ） B．（ 0， 21 ） C．（ 21 ，＋∞） D．（ 0，＋∞） 解析： 因?yàn)?x∈（－ 1， 0），所以 x＋ 1∈（ 0， 1）．當(dāng) f（ x）＞ 0 時(shí)，根據(jù)圖象只有 0＜2a＜ l，解得 0＜ a＜21（根據(jù)本節(jié)思維過程中第四條提到的性質(zhì)）． 答案： A 5．函數(shù) y＝ lg （x－12－ 1）的圖象關(guān)于（ ） A． y 軸對稱 B． x 軸對稱 C．原點(diǎn)對 稱 D．直線 y＝ x 對稱 解析： y＝ lg （x－12－ 1）＝xx－＋11lg，所以為奇函數(shù)．形如 y＝xx－＋11lg或 y＝xx－＋11lg的函數(shù)都為奇函數(shù)． 答案： C 二、填空題 已知 y＝ alog （ 2－ ax）在［ 0， 1］上是 x 的減函數(shù)，則 a的取值范圍是 __________． 解析： a＞ 0 且 a≠ 1? ? （ x）＝ 2－ ax 是減函數(shù)，要使 y＝ alog （ 2－ ax）是減函數(shù)，則 a＞ 1，又 2－ ax＞ 0? a＜ 32 （ 0＜ x＜ 1） ? a＜ 2，所以 a∈（ 1， 2）． 答案： a∈（ 1， 2） 7．函數(shù) f（ x）的圖象與 g（ x）＝（ 31 ） x的圖象關(guān)于直線 y＝ x 對稱，則 f（ 2x－ x2）的單調(diào)遞減區(qū)間為 ______． 解析： 因?yàn)?f（ x）與 g（ x）互為反函數(shù)，所以 f（ x）＝31logx 則 f（ 2x－ x2）＝31log（ 2x－ x2），令 ? （ x）＝ 2x－ x2＞ 0，解得 0＜ x＜ 2． ?（ x）＝ 2x－ x2在（ 0， 1）上單調(diào)遞增，則 f［ ? （ x）］在（ 0， 1）上單調(diào)遞減； ? （ x）＝ 2x－ x2在（ 1， 2）上單調(diào)遞減，則 f［ ? （ x）］在［ 1， 2）上單調(diào)遞增． 所以 f（ 2x－ x2）的單調(diào)遞減區(qū)間為（ 0， 1）． 答案： （ 0， 1） 8．已知定義域?yàn)?R 的偶函數(shù) f（ x）在［ 0，＋∞ ］ 上是增函數(shù)，且 f（ 21 ）＝ 0， 則不等式 f（ log4x）的解集是 ______． 解析： 因?yàn)?f（ x）是偶函數(shù)，所以 f（－ 21 ）＝ f（ 21 ）＝ 0．又 f（ x）在［ 0，＋∞ ］上是增函數(shù)，所以 f（ x）在（－∞， 0） 上是減函數(shù)．
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