高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)總結(jié)及例題-文庫(kù)吧資料
2024-11-22 05:18本頁(yè)面
【正文】 所以 f（ log4x）＞ 0? log4x＞ 21 或 log4x＜－21． 解得 x＞ 2 或 0＜ x＜21． 答案： x＞ 2 或 0＜ x＜21 三、解答題 9．求函 數(shù) y＝31log（ x2－ 5x＋ 4）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間． 解： 由 ? （ x）＝ x2－ 5x＋ 4＞ 0，解得 x＞ 4 或 x＜ 1，所以 x∈（－∞， 1）∪（ 4，＋∞），當(dāng) x∈（－∞， 1）∪（ 4，＋∞），｛ ? ｜ ? ＝ x2－ 5x＋ 4｝＝ R＋ ，所以函數(shù)的值域是 R＋ ．因?yàn)楹瘮?shù) y＝31log（ x2－ 5x＋ 4）是由 y＝31log? （ x）與 ? （ x）＝ x2－ 5x＋ 4 復(fù)合而成，函數(shù) y＝31log? （ x）在其定義域上是單調(diào)遞減的，函數(shù) ? （ x）＝ x2－ 5x＋ 4在（－∞， 25 ）上為減函數(shù)，在［ 25 ，＋∞ ］ 上為增函數(shù)．考 慮到函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性， y＝31log（ x2－ 5x＋ 4）的增區(qū)間是定義域內(nèi)使 y＝31log? （ x）為減函數(shù)、 ? （ x）＝ x2－ 5x＋ 4 也為減函數(shù)的區(qū)間，即（－∞， 1）； y＝31log（ x2－ 5x＋ 4）的減區(qū)間是定義域內(nèi)使 y＝31log?（ x）為減函數(shù)、 ? （ x）＝ x2－ 5x＋ 4 為增函數(shù)的區(qū)間，即（ 4，＋∞）． 10．設(shè)函數(shù) f（ x）＝ 532＋x ＋ xx23 23lg ＋－ ， （ 1）求函數(shù) f（ x）的定義域； （ 2）判斷函數(shù) f（ x）的單調(diào)性，并給出證明； （ 3）已知函數(shù) f（ x）的反函數(shù) f－ 1（ x），問(wèn)函數(shù) y＝ f－ 1（ x）的圖象與 x 軸有交點(diǎn)嗎 ?若有，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若無(wú)交點(diǎn)，說(shuō)明理由． 解： （ 1）由 3x＋ 5≠ 0 且 xx23 23＋－ ＞ 0，解得 x≠－ 35 且－ 23 ＜ x＜ 23 ．取交集得－ 23 ＜ x＜ 23 ． （ 2）令 ? （ x）＝ 3x＋ 5，隨著 x 增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù)； xx2323＋－ ＝－ 1＋ x236＋ 隨著 x 增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù)． 又 y＝ lgx 在定義域內(nèi)是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合單調(diào)性可知， y＝xx23 23lg ＋－是減函數(shù)，所以 f（ x）＝532＋x＋xx23 23lg ＋－是減函數(shù)． （ 3）因?yàn)橹苯忧?f（ x）的反函數(shù)非常復(fù)雜且不易求出，于是利用函數(shù)與其反函數(shù)之間定義域與值域的關(guān)系求解． 設(shè)函數(shù) f（ x）的反函數(shù) f－ 1（ x）與工軸的交點(diǎn)為（ x0， 0）．根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)之間定 義域與值域的關(guān)系可知， f（ x）與 y 軸的交點(diǎn)是（ 0， x0），將（ 0， x0）代入 f（ x），解得 x0＝ 52 ．所以函數(shù) y＝ f－ 1（ x）的圖象與 x 軸有交點(diǎn)，交點(diǎn)為（ 52 ， 0）。 討論 )0,0(),1(lo g ???? aaay xa 且的單調(diào)性。 ［解析］由已知 0)2( ??mf ，得 02)3(2 ????? amaam ， 其中 .0, ?? aRm ∴ 0?? 即 0923 2 ??? aa ， 解得 .3 7213 721 ???? a ∵ a 為負(fù)整數(shù)，∴ .1??a ∴ 1)2(34)2( 2 ????????? ? xxxxf ， 即 .1)( 2 ??? xxf 2422 21)1()]([)( xxxxffxg ???????? ， ∴ .1)12()()()( 24 ??????? xppxxfxpgxF 假設(shè)存在實(shí)數(shù) )0( ?pp ，使得 )(xF 滿足條件，設(shè) 21 xx? ， ∴ ].12)()[()()( 2221222121 ??????? pxxpxxxFxF ∵ 3)2( ??f ，當(dāng) )3,(, 21 ????xx 時(shí)， )(xF 為減函數(shù)， ∴ 0)()( 21 ?? xFxF ，∴ .012)(,0 22212221 ??????? pxxpxx ∵ 3,3 21 ???? xx ,∴ 182221 ??xx , ∴ 11612)( 2221 ??????? ppxxp , ∴ .0116 ??? p ① 當(dāng) )0,3(, 21 ??xx 時(shí) , )(xF 增函數(shù) ,∴ .0)()( 21 ?? xFxF ∵ 02221 ??xx ,∴ 11612)( 2221 ??????? ppxxp , ∴ 0116 ??? p . ② 由①、②可知 161??p ，故存在 .161??p （ 5）同步練習(xí)： 1．函數(shù) y＝21log（ x2－ 3x＋ 2） 的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ） A．（－∞， 1） B．（ 2，＋∞） C．（－∞， 23 ） D．（ 23 ，＋∞） 解析： 先求函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ?o， 1）∪（ 2，＋∞），令 t（ x）＝ x2＋ 3x＋ 2，函數(shù) t（ x）在（－∞， 1）上單調(diào)遞減，在（ 2，＋∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，函數(shù) y＝21log（ x2－ 3x＋ 2）在（ 2，＋∞）上單調(diào)遞 減． 答案： B 2 找出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 . （ 1） )1(232 ?? ??? aay xx ； （ 2） .2 322 ???? xxy 答案： (1)在 ]23,(??上是增函數(shù)，在 ),23[ ??上是減函數(shù)。 （ 4）例題演練 例 求函數(shù) )32(log221 ??? xxy的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)定義給予證明 奎屯王新敞
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