高一數(shù)學函數(shù)知識總結(jié)及例題-在線瀏覽
2025-01-17 05:18本頁面
【正文】 對 gx() 作用，作用范圍不變，所以 Dxg ?)( ，解得 x E? ， E 為 ? ?fgx( ) 的定義域。 例 1. 設函數(shù) fu() 的定義域為（ 0， 1），則函數(shù) f x(ln) 的定義域為 _____________。 解析：先求 f 的作用范圍，由 f x x( ) ? ?1 1 ，知 x??1 即 f 的作用范圍為 ? ?x R x? ? ?| 1 ，又 f 對 f(x)作用 所以 f x R f x( ) ( )? ? ?且 1，即 ? ?f f x( ) 中 x 應滿足 xf x??????? 1 1( ) 即 xx??? ???????111 1，解得 x x? ? ? ?1 2且 故函數(shù) ? ?f f x( ) 的定義域為 ? ?x R x x? ? ? ? ?| 1 2且 （ 2）、已知 ? ?f gx( ) 的定義域，求 f x() 的定義域 思路：設 ? ?f gx( ) 的定義域為 D，即 x D? ，由此得 gx E( )? ，所以 f 的作用范圍為 E，又 f 對 x 作用，作用范圍不變，所以 x E E? ， 為 f x() 的定義域。 解析： f x( )3 2? 的定義域為 ? ??1 2， ，即 ? ?x??1 2， ，由此得 ? ?3 2 1 5? ? ?x ， 所以 f 的作用范圍為 ? ??1 5， ，又 f 對 x 作用，作用范圍不變，所以 ? ?x??1 5， 即函數(shù) f x() 的定義域為 ? ??1 5， 例 4. 已知 f x xx( ) lg2 224 8? ? ?，則函數(shù) f x() 的定義域為 ______________。 例 5. 若函數(shù) f x( )2 的定義域為 ? ??1 1， ，則 f x(log )2 的定義域為 ____________。利用這種理念求此類定義域問題會有“得來全不費功夫”的感覺，值得大家探討。 答案： ]1,1[? 已知函數(shù) )x23(f ? 的定義域為 ]3,3[? ，求 )x(f 的定義域。 答案： )23,1()0,21( ?? 設 ? ? xxxf ??? 22lg ，則 ????????????? xfxf 22的定義域為（ ） A. ? ? ? ?4,00,4 ?? B. ? ? ? ?4,11,4 ??? C. ? ? ? ?2,11,2 ??? D. ? ? ? ?4,22,4 ??? 解：選 2 02 xx? ?? 得， ()fx的定義域為 ? ?| 2 2xx? ? ? 。故 ????????????? xfxf 22 的定義域為 ? ? ? ?4, 1 1,4?? 已知函數(shù) )(xf 的定義域為 )23,21(??x ，求 )0)(()()( ??? aaxfaxfxg 的定義域。 三、復合函數(shù)單調(diào)性問題 （ 1）引理證明 已知函數(shù) ))(( xgfy? .若 )(xgu? 在區(qū)間 ba,( ） 上是 減 函數(shù)，其值域為 (c， d)，又函數(shù) )(ufy? 在區(qū)間 (c,d)上是 減 函數(shù)，那么，原復合函數(shù) ))(( xgfy? 在區(qū)間 ba,( ） 上是增函數(shù) . 證明 ： 在區(qū)間 ba,( ） 內(nèi)任取兩個數(shù) 21,xx ，使 bxxa ??? 21 因為 )(xgu? 在區(qū)間 ba,( ） 上是 減 函數(shù)，所以 )()( 21 xgxg ? ,記 )( 11 xgu ? , )( 22 xgu ? 即 ),(, 21,21 dcuuuu ?? 且 因為函數(shù) )(ufy? 在區(qū)間 (c,d)上是 減 函數(shù)，所以 )()( 21 ufuf ? ,即))(())(( 21 xgfxgf ? ， 故函數(shù) ))(( xgfy? 在區(qū)間 ba,( ） 上是增函數(shù) . （ 2）．復合函數(shù)單調(diào)性的判斷 復合函數(shù)的單調(diào)性 是 由兩個函數(shù)共同決定 。 ⅲ 分別確定分解成的兩個函數(shù)的單調(diào)性； ⅳ 若兩個函數(shù)在對應的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復合后的函數(shù) ))(( xgfy? 為增函數(shù)； 若兩個函數(shù)在對應的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個是增函數(shù)， 而另一個是減函數(shù)），則復合后的函數(shù) ))(( xgfy? 為減函數(shù)。 當 10 ??a 時，若 1?x ，則 )123(lo g)( 2 ??? xxxf a 為減函數(shù)，若 31??x ，則)123(lo g)( 2 ??? xxxf a 為增函數(shù) . 例 .已知 y= alog (2 xa )在［ 0， 1］上是 x的減函數(shù)，求 a的取值范圍 . 解：∵ a＞ 0且 a≠ 1 當 a＞ 1時，函數(shù) t=2 xa 0 是減函數(shù) 由 y= alog (2 xa )在［ 0， 1］上 x的減函數(shù)，知 y= alog t是增函數(shù)， ∴ a＞ 1 由 x?［ 0， 1］時， 2 xa ? 2a＞ 0,得 a＜ 2, ∴ 1＜ a＜ 2 當 0a1時，函數(shù) t=2 xa 0是增函數(shù) 奎屯王新敞 新疆 由 y= alog (2 xa )在［ 0， 1］上 x的減函數(shù)，知 y= alog t是減函數(shù)， ∴ 0a1 奎屯王新敞 新疆 由 x?［ 0， 1］時， 2 xa ? 21＞ 0, ∴ 0a1 綜上述， 0a1或 1＜ a＜ 2 奎屯王新敞 新疆 例 已知函數(shù) 2)3()2( 2 ?????? axaaxxf （ a 為負整數(shù)）的圖象經(jīng)過點Rmm ?? ),0,2( ，設 )()()()],([)( xfxpgxFxffxg ??? .問是否存在 實數(shù) )0( ?pp 使得)(xF
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