【正文】 2x1xy?3x? ? ?u 2 1 21狀態(tài)變量圖 串聯(lián)系統(tǒng)傳遞函數(shù) 1 1 1( ) ( ) ( ) 1 ( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 2)pr sG s G s G s s s s s s?? ? ? ?? ? ? ? ?考慮系統(tǒng) yu 1 1s ?1( 1) ( +2)sss ??傳遞函數(shù)結構圖 Gr(s) Gp(s) 系統(tǒng)穩(wěn)定 現(xiàn)代控制理論基礎 66 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關系 0 1 3 1 0 01 4 1 0 1 1 02 2 2 1 1 1co?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?因此 （ 不能控）， （能觀測） ? ?r a n k 2c n??Q ? ?r a n k 3o n??Q該系統(tǒng)的能控性和能觀測性判別矩陣為 ? ?1 1 0 00 2 1 10 0 1 21 0 0uy? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??xxx建立狀態(tài)空間描述 1 1 0de t ( ) 2 1 ( 1 ) ( 2)( 1 )1ss s s s ss??? ? ? ? ? ? ? ??IA說明系統(tǒng)有一極點在右半平面，故該系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。若被消去的零點與 u發(fā)生聯(lián)系則系統(tǒng)為不能控的；若被消去的零點與輸出 y發(fā)生聯(lián)系則系統(tǒng)是不能觀測的。 ? ?1 2 12 1 21120 11 0 1xxuxxxybx????? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ????? ????121 2 1 111 ()01cobbb??? ? ? ??? ?????????? ? ? ? ? ??? ??顯見，當 b=?2時 rank[Qo] = 1 2，系統(tǒng)是能控但不能觀測的。 ? ?1 2 12 1 2 112110 1 0xxux x bxyx????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ????系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 其能控性和能觀測性判別矩陣為 現(xiàn)代控制理論基礎 64 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關系 y21s ??u1sbs ??? yu ?? 1??2?? 1b ??1x 2x例 如果將上例系統(tǒng)中兩個子系統(tǒng)的位置互換一下，如圖。 為了分析這個不確定性，建立該系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖： 例 設有一個由前后兩個子系統(tǒng)串聯(lián)組成的組合系統(tǒng)： yu 21s ??1sbs ???G1 (s) G2 (s) 試判斷串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀測性。 uyxyx????21現(xiàn)代控制理論基礎 60 證明 假定系統(tǒng)是具有相異特征值的 n階單輸入 單輸出系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述為 Σ(A, b, c) ， 利用線性變換可將矩陣 A對角化，得到等價系統(tǒng)為 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關系 u??x A x by?cx11, , ??? ? ?A P A P b P b c c P定理 若線性定常單輸入 單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)中有零極點對消，則系統(tǒng)將是狀態(tài)不能控或狀態(tài)不能觀測的，其結果與狀態(tài)變量選擇有關，反之，若系統(tǒng)中沒有零極點對消，則該系統(tǒng)是完全能控且完全能觀測的。 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關系 2y y y u u? ? ? ?? ?1122120 1 11 2 1 1 0xxuxxxyx? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ????1211( ) ( )2 1 1sG s ss s s? ?? ? ? ?? ? ?c I A b例 326 試判別系統(tǒng)的狀態(tài) 能控性和能觀測性。 3210 0 0 0 21 0 1 0 90 1 0 1 0oaaa??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?A? ?0 0 1o ?c21211010 0 1ooaaa?????????????????? ??cAb R b c A bc1 0 9 6 2 2 2 30 1 0 0 2 0 1 20 0 1 0 0 1 1 1??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? = 現(xiàn)代控制理論基礎 59 顯然，在這種狀態(tài)變量選擇下系統(tǒng)是不能控但是能觀測的。 ? ?? ?1211211nnnn???? ? ??? ???? ?????? ? ? ? ??cbc A c bc A c A b 能觀測標準形 現(xiàn)代控制理論基礎 58 能控標準形和能觀測標準形 3d e t( ) 9 2? ? ?? ? ? ?IA 則 a1 = 0， a2 = – 9， a3 = 2 20010 2 06 2 2o? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?cQ c AcA解 首先構造能觀測性判別矩陣 因 rank[Qo] = 3，所以系統(tǒng)是能觀測的。 22 4 1 61 6 81 2 1 2c??????????????Q b A b A b解 先判別其能控性 rank[Qc] = 3，所以系統(tǒng)是能控的。 cc?c cR(3) 推證 cc 由 ，有 ? ?11211111011 nnccnnnaaa? ? ??????????????????????c c R c A b A b b展開即可。 通過線性變換得能控標準形 Σ(Ac, bc, cc)： 11 2 10 1 0 00 0 100 0 0 1c c cn n na a a a???????????? ? ? ???A R AR1001cc???????????????b R b ? ?11c c n n? ? ????c c R1211211()()nnnnaaa??? ?? ???? ?????? ? ? ? ??cbc Ab bc A b A b b現(xiàn)代控制理論基礎 52 能控標準形和能觀測標準形 1c c c??A R A R ? ?12?R e e e利用 和 ，可得 111nn nna a a? ?? ? ? ? ?A A A I據(jù)凱萊 哈密頓定理有 121 1 1111() ( ) nnnnnn n nn n naaa a a aaa?????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?A e A A b A b bA b A b A b b bbe據(jù)此，可導出 232 1 2121 2 1 111() ( ) nnnnnn n nnnaaa a a aa?????? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ???A e A A b A b bA b A b A b b bee證明 （ 1） 推證 Ac 現(xiàn)代控制理論基礎 53 能控標準形和能觀測標準形 21 1 1 2 222( ) ( ) nnna a a aa??? ? ? ? ? ???A e A A b b A b A b b bee1 1 1 1()n n na a a?? ? ? ? ? ?A e A b A b b b e e? ?1 1 1 1121 2 11 2 1[ ]0 1 0 00 0 100 0 0 10 1 0 00 0 100 0 0 1c c n n n n n nnn n ncn n na a aa a a aa a a a??????? ? ? ????????????????? ? ? ??????????????????? ? ? ???R A e e e e ee e eR于是，有 將上式左乘 1c?R ，就可證得 Ac。 能觀測問題同樣。 這表明，能控性矩陣中有且僅有 n個列向量是線性無關的。因此，當 (A, B)表為能控標準形和 (A, C)表為能觀測標準形時，其表示方法是唯一的。 對偶定理 證明 系統(tǒng) Σ1的能控性判別矩陣為 現(xiàn)代控制理論基礎 50 能控標準形和能觀測標準形 1r a n k n ?????B A B A B1 1 11 2 1 2 1 2r a n k n n nr r r n? ? ???????b b b A b A b A b A b A b A b若 n階連續(xù)時間線性定常系統(tǒng) Σ (A, B)是完全能控的，則 對多輸入多輸出系統(tǒng)，把 (A, B)和 (A, C)化為標準形，可以有多種不同的方法 。 線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關系 11 nc ???? ??Q B A B A B( 1 )2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T T T T T T T n T To ???? ??Q B A B A B1n ???? ??B A B A B( 1 )1 ()T T T T T n To ???? ??Q C A C A C( 1 )2 ()T T T T n Tc ???? ??Q C A C A C而系統(tǒng) Σ2的能觀測性判別矩陣為 是完全相同的。 其中， x與 x*為 n維狀態(tài)向量， u為 r維， y為 m維， u*為 m維， y*為 r維。 連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的能控性與能觀測性 0 0 0( ) ( ) = , , t t t t J?x = A x x x()ty = C x00 tt?y則稱 x0為 t0時刻不能觀測的狀態(tài)，系統(tǒng)在 t0時刻是不能觀測的。 現(xiàn)代控制理論基礎 44 連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的能控性與能觀測性 0 0 0( ) ( ) ( ) = , , t t t t t J?x = A x + B u x x0 ( ) ( )tt?MB1 0 0d( ) ( ) ( ) ( )dt t t tt? ? ?M A M M1 2 2d( ) ( ) ( ) ( )dn n nt t t tt? ? ?? ? ?M A M M則系統(tǒng)在時刻 完全能控的充分條件為，存在一個有限 時刻 ，使 0tJ?1 1 0, t J t t?0 1 1 1 1 1r a nk [ ( ) ( ) ( ) ]nt t t n? ?M M M定理 對 n階連續(xù)時間線性時變系統(tǒng) 設 A(t)和 B(t)對 t為 (n1)階連續(xù)可微，定義如下一組矩陣： (2) 能控性判別準則 現(xiàn)代控制理論基礎 45 對于初始時刻 t0，存在另一時刻 tf t0,使得根據(jù)時間區(qū)間 [t0, tf]上輸出 y(t)的測量值，能夠唯一地確定系統(tǒng)在 t0時刻的初始狀態(tài) x(t0)= x0，則稱 x0為在 t0時刻能觀測狀態(tài)。 如果狀態(tài)空間上的所有狀態(tài)在 t0時刻都是能控的 ， 則稱系統(tǒng)在 t0時刻是狀態(tài)完全能控的 。 采樣周期對離散時間線性系統(tǒng)能控性和能觀測性的影響 一個連續(xù)時間線性系統(tǒng)在其離散化后其能控性和能觀測性是否發(fā)生改變？ 例