【正文】 21。離散系統(tǒng)的動態(tài)規(guī)劃法離散系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題可以歸結為一個多階段決策優(yōu)化問題，其中決策變量即為其控制輸入變量，總代價為其性能指標泛函。這一問題的核心是所謂的最優(yōu)性原理。Ω，使N階段決策問題的總代價最小?，F(xiàn)需通過一變換序列f(x(0)，u(0)，0)， f(x(1)，u(1)，1)， …， f(x(N1)，u(N1)，N1)，x(k+1)=f(x(k)，u(k)，k)。下面，我們還用Ω代表全部可供選擇的決策的集合，即Ω=Ω(0)∪Ω(1)∪…∪Ω(N1)對多階段的決策問題，可以詳細描述如下。在每一階段，通常有若干個決策可供選擇，我們用Ω(k)代表第k個階段可供選擇的決策的集合。顯然新的狀態(tài)x(k+1)完全取決于原來的狀態(tài)x(k)和所采取的決策u(k)。對控制問題，相當于性能指標。3) 策略{u(0)，u(1)，…，u(N1)}，是個階段的決策所組成的決策集合。2) 決策向量u(k)，表示過程在k時刻的從某一狀態(tài)轉變?yōu)榱硪粻顟B(tài)的動因。1) 狀態(tài)向量x(k)，表示過程在k時刻的狀態(tài)。至于連續(xù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題的動態(tài)規(guī)劃法，不僅是一種可供選擇的有充分性的最優(yōu)控制求解法，它還揭示了動態(tài)規(guī)劃與變分法、極大值原理之間的關系，具有重要的理論價值。動態(tài)規(guī)劃的離散基本形式受到問題的維數(shù)的限制，應用有一定的局限性。動態(tài)規(guī)劃的核心是貝爾曼最優(yōu)性原理。如今，這種決策優(yōu)化方法在許多領域得到應用和發(fā)展，如在生產計劃、資源配置、信息處理、模式識別等方面都有成功的應用。2) 有些實際控制問題本身即為離散系統(tǒng)，如某些經濟計劃系統(tǒng)、人口系統(tǒng)的時間坐標只能以小時、天或月等標記；再如機床加工中心的時間坐標是以一個事件(如零件加工活動)的發(fā)生或結束為標志的。離散系統(tǒng)的控制問題為人們所重視的原因有二。該類系統(tǒng)的控制問題是與傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)和控制元件的模擬式實現(xiàn)相適應的，如模擬式電子運算放大器件、模擬式自動化運算儀表、模擬式液壓放大元件等。不同的性能指標函數(shù)，最優(yōu)控制結果是不相同的。[t0，tf]，使被控系統(tǒng)由給定的初態(tài)x0出發(fā)，在tft0時刻轉移到目標集M，并使如下性能指標為最小。求一容許控制u(t)206。Rn， g1(x(tf)，tf)=0， g2(x(tf)，tf)163。性能指標函數(shù)又稱為指標泛函、目標函數(shù)、代價函數(shù)和評價函數(shù)等。在通常情況下，可將各種不同的性能指標視為一般形式的性能指標的一種特例。由于各種最優(yōu)控制問題所要解決的主要矛盾不同，設計者的著眼點不同，因此歸結出的性能指標是不同的。性能指標：從前面的應用實例可以看出，最優(yōu)控制問題最后歸結到從所有容許控制中找出一種效果最好的控制律，這就需要一個能衡量控制效果好壞或評價控制品質優(yōu)劣的性能指標函數(shù)。U。由控制量約束條件所規(guī)定的點集稱為控制域，并記為U。容許控制：輸入向量u(t)的各個分量ui(t)往往是具有不同的物理屬性和意義的控制量，在實際系統(tǒng)中，大多數(shù)控制量受客觀條件的限制，只能在一定范圍內取值。有些最優(yōu)控制問題并沒有對末態(tài)加以約束，則該問題的目標集為整個狀態(tài)空間Rn，但此時并不意味著對末態(tài)沒有要求，系統(tǒng)還可以通過下面要介紹的性能指標等約束末態(tài)。Rn，g1(x(tf)，tf)=0，g2(x(tf)，tf)163。式中，g1(x(tf)，tf)和g2(x(tf)，tf)為關于末態(tài)時刻tf和末態(tài)狀態(tài)x(tf)的非線性向量函數(shù)。末態(tài)可以是狀態(tài)空間的一個點，更為一般的情況是末態(tài)要落在事先規(guī)定的范圍內，如要求末態(tài)滿足如下約束條件：g1(x(tf)，tf)=0 g2(x(tf)，tf)163。目標集：動態(tài)系統(tǒng)在控制u(t)的作用下總要發(fā)生從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉移，這種轉移可以理解為狀態(tài)空間的一個點或系統(tǒng)狀態(tài)的運動。最優(yōu)控制問題的描述包括：被控系統(tǒng)的數(shù)學模型、目標集、容許控制、性能指標、最優(yōu)控制問題的描述。3. 狀態(tài)觀測誤差不能控由閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)方程可知，狀態(tài)觀測誤差是不能控的，即不能由外部輸入去影響它。一般在工程上，為保證有較好的控制精度、快速性和超調量等動態(tài)指標，狀態(tài)觀測器部分AGC的特征值的實部應遠小于狀態(tài)反饋部分ABK的特征值的實部，即更遠離虛軸。帶狀態(tài)觀測器的閉環(huán)控制系統(tǒng)帶全維狀態(tài)觀測器的閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，可得該閉環(huán)系統(tǒng)的如下幾點特性：1. 分離特性由閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的狀態(tài)方程可知，整個閉環(huán)系統(tǒng)的特征值由矩陣塊ABK的特征值和矩陣塊AGC的特征值所組成，即由狀態(tài)反饋部分的特征值和狀態(tài)觀測器部分的特征值所組成。輸出反饋控制系統(tǒng)的結構圖如下圖所示。狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)結構可如圖61所示輸出反饋的描述式對線性定常連續(xù)系統(tǒng)229。狀態(tài)反饋的描述式對線性定常連續(xù)系統(tǒng)229。另一方面，從狀態(tài)空間模型輸出方程可以看出，輸出反饋可視為狀態(tài)反饋的一個特例。由于由狀態(tài)變量所得到的關于系統(tǒng)動靜態(tài)的信息比輸出變量提供的信息更豐富、更全面。在現(xiàn)代控制理論的狀態(tài)空間分析方法中，多考慮采用狀態(tài)變量來構成反饋律，即狀態(tài)反饋。狀態(tài)反饋和輸出反饋是控制系統(tǒng)設計中兩種主要的反饋策略，其意義分別為將觀測到的狀態(tài)和輸出取作反饋量以構成反饋律，實現(xiàn)對系統(tǒng)的閉環(huán)控制，以達到期望的對系統(tǒng)的性能指標要求?；谔岣呦到y(tǒng)魯棒性的控制綜合方法也稱為魯棒控制方法。這樣，基于理想模型綜合得到的控制器，運用于實際系統(tǒng)中所構成的閉環(huán)控制系統(tǒng)，對這些建模誤差和參數(shù)攝動是否具有良好的抗干擾性(不敏感性)，是否使系統(tǒng)保持穩(wěn)定，是否使系統(tǒng)達到或接近預期的性能指標成為控制系統(tǒng)實現(xiàn)的關鍵問題。此外，由于系統(tǒng)本身的復雜性及其所處環(huán)境的復雜性，系統(tǒng)的動力學特性會產生緩慢變化。并且，系統(tǒng)分析與綜合都是建立在模型基礎上的。相應的理論問題稱為狀態(tài)重構問題，即觀測器問題。但對許多實際系統(tǒng)，所考慮的狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內部信息的一組變量，可能并不完全能直接測量或以經濟的方式測量。在綜合問題中，不僅存在可綜合問題和算法求解問題，還存在控制系統(tǒng)在工程實現(xiàn)上所涌現(xiàn)的一些理論問題。利用這些算法，對滿足可綜合條件的系統(tǒng)，可確定控制規(guī)律，如確定相應的狀態(tài)反饋或輸出反饋矩陣。對不可綜合的問題，可以考慮修正性能指標函數(shù)，或改變被控系統(tǒng)的機理、結構或參數(shù)，以使系統(tǒng)可綜合條件成立。一個是控制的存在性問題，即所謂可綜合條件、控制規(guī)律存在條件。相應地性能指標函數(shù)值則稱為最優(yōu)性能。優(yōu)化型性能指標一般定義為關于狀態(tài)x(t)和輸入u(t)的積分型性能指標函數(shù)或關于末態(tài)x(tf)的末值型性能指標函數(shù)。系統(tǒng)解耦對于高維復雜系統(tǒng)尤為重要。因此，在進行系統(tǒng)設計時，設法使閉環(huán)系統(tǒng)的極點位于s平面上的一組合理的、具有所期望的性能品質指標的期望極點上，可以有效地改善系統(tǒng)的性能品質指標。常用的非優(yōu)化型性能指標提法有以下幾種：以系統(tǒng)漸近穩(wěn)定作為性能指標，相應的綜合問題為鎮(zhèn)定問題：以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點位置或極點凸約束區(qū)域(空間)為性能指標，相應的綜合問題為極點配置問題。對優(yōu)化型性能指標，需要函數(shù)優(yōu)化理論和泛函理論求解控制規(guī)律；而對非優(yōu)化型性能指標一般存在解析方法求解控制規(guī)律，如極點配置方法。系統(tǒng)綜合首先需要確定關于系統(tǒng)運動形式，或關于系統(tǒng)運動動態(tài)過程和目標的某些特征的性能指標函數(shù)，然后據(jù)此確定控制規(guī)律。一般情況下，控制理論發(fā)展與控制系統(tǒng)設計的追求目標為解析的反饋控制作用規(guī)律(反饋控制律)?；谶@樣的觀點，只要能找出一個能合理描述動態(tài)系統(tǒng)的n維狀態(tài)的某種形式的能量正性函數(shù)，通過考察該函數(shù)隨時間推移是否衰減，就可判斷系統(tǒng)平衡態(tài)的穩(wěn)定性。當趨于平衡態(tài)時，其能量達到最小值。它是在用能量觀點分析穩(wěn)定性的基礎上建立起來的。它是一種具有普遍性的穩(wěn)定性理論，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且也適用于非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、分布參數(shù)系統(tǒng)。對于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，由于只存在唯一的孤立平衡態(tài)，所以只有對線性系統(tǒng)才能籠統(tǒng)提系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是相對系統(tǒng)的平衡態(tài)而言的，我們很難籠統(tǒng)地討論非線性系統(tǒng)在整個狀態(tài)空間的穩(wěn)定性。這種特征不隨系統(tǒng)變換而改變，但可通過系統(tǒng)反饋和綜合加以控制。系統(tǒng)穩(wěn)定性是動態(tài)系統(tǒng)一個重要的，可以用定量方法研究和表示的定性指標。由于不用解方程就能直接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，所以第二種方法稱為直接法，亦稱為李雅普諾夫第二法。該方法稱為間接法，亦稱為李雅普諾夫第一法。第一類方法是將非線性系統(tǒng)在平衡態(tài)附近線性化，然后通過討論線性化系統(tǒng)的特征值(或極點)分布及穩(wěn)定性來討論原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。外部穩(wěn)定性只適用于線性系統(tǒng)，內部穩(wěn)定性不但適用于線性系統(tǒng)，而且也適用于非線性系統(tǒng)。內部穩(wěn)定性：是關于動力學系統(tǒng)的內部狀態(tài)變化所呈現(xiàn)穩(wěn)定性，即系統(tǒng)的內部狀態(tài)穩(wěn)定性?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定性，通常有兩種定義方式：外部穩(wěn)定性：是指系統(tǒng)在零初始條件下通過其外部狀態(tài)，即由系統(tǒng)的輸入和輸出兩者關系所定義的外部穩(wěn)定性?，F(xiàn)代控制系統(tǒng)的結構比較復雜，大都存在非線性或時變因素，即使是系統(tǒng)結構本身， 往往也需要根據(jù)性能指標的要求而加以改變，才能適應新的情況，保證系統(tǒng)的正?；蜃罴堰\行狀態(tài)?？梢哉f，系統(tǒng)的穩(wěn)定性就是系統(tǒng)在受到外界干擾后，系統(tǒng)狀態(tài)變量或輸出變量的偏差量(被調量偏離平衡位置的數(shù)值)過渡過程的收斂性，用數(shù)學方法表示就是式中，Dx(t)為系統(tǒng)被調量偏離其平衡位置的變化量；e為任意小的規(guī)定量。穩(wěn)定性的定義為：當系統(tǒng)受到外界干擾后，顯然它的平衡被破壞，但在外擾去掉以后，它仍有能力自動地在平衡態(tài)下繼續(xù)工作。例如，電壓自動調解系統(tǒng)中保持電機電壓為恒定的能力；電機自動調速系統(tǒng)中保持電機轉速為一定的能力以及火箭飛行中保持航向為一定的能力等。能控性結構分解示意圖系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。對狀態(tài)不完全能控又不完全能觀的線性定常連續(xù)系統(tǒng)，類似于能控性分解和能觀性分解過程構造變換矩陣的方法，可構造系統(tǒng)的能控又能觀子空間、能控但不