現(xiàn)代控制理論第3章(參考版)
2025-05-03 01:35本頁面
【正文】 對(duì)于線性系統(tǒng)，若在小范圍穩(wěn)定，則必大范圍穩(wěn)定；若在小范圍漸近穩(wěn)定，則必大范圍漸近穩(wěn)定 6：不穩(wěn)定性 如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù) ε0和任一實(shí)數(shù) δ0，不管它們有多小，在球域 S（ δ）中，總存在一個(gè)初始狀態(tài) x0，使得從這一初始狀態(tài)出發(fā)的軌跡最終會(huì)超出球域 S（ ε），這時(shí)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的 43李雅普諾夫直接法（第二法） 主要理論 1：對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，若能構(gòu)造出一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù) V（ x），并且它對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的，則系統(tǒng)在狀態(tài)空間的原點(diǎn)處是漸近穩(wěn)定的 2：對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，若 V（ x）在原點(diǎn)附近的鄰域內(nèi)是正定的，并且它對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)也是正定的，那么系統(tǒng)在原點(diǎn)處是不穩(wěn)定的 李雅普諾夫第一法 間接法 李雅普諾夫第二法 直接法 例 22d y d ym f k y Fd t d t? ? ?0, 1Fm??12,x y x y??Fkmyf在討論穩(wěn)定性時(shí) ,設(shè) 122 1 2xxx kx fx?? ? ?221 2 2 111( , ) 22E x x x x??1 2 1 2( , ) 0 ( 0 ) ( , ) 0 ( 0 )E x x x E x x x? ? ? ?系統(tǒng)穩(wěn)定 21 2 2 2 1 1 2( , )d E x x x x k x x fxdt ? ? ? ?定理一：設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 ()x f x?原點(diǎn)為一個(gè)平衡狀態(tài)，即： (0) 0f ?如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù) V（ x），滿足如下條件 （ 1） 是正定的 ()Vx（ 2） 是負(fù)定的 ()Vx則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的 如果當(dāng) ??x ()Vx??時(shí) 。大范圍漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)只能有一個(gè)平衡狀態(tài)。如果 δ與 t0無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)為一致穩(wěn)定的平衡狀態(tài) 線性定常系統(tǒng)，如果是穩(wěn)定的，則必是一致穩(wěn)定的 ()S?()S?2x1xex4：漸近穩(wěn)定性 如果平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的，且從球域S（ δ）出發(fā)的任意一個(gè)解，當(dāng) t→∞ 時(shí)，收斂于平衡狀態(tài)，則稱此類平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的，如果 δ與 t0無關(guān)，則平衡狀態(tài)為一致漸近穩(wěn)定的 線性定常系統(tǒng)，如果是漸近穩(wěn)定的，則必是一致漸近穩(wěn)定的 5：大范圍穩(wěn)定性 不管初始偏差有都大，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的。 42李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性概念 賽爾維斯特準(zhǔn)則：對(duì)于二次型函數(shù) V（ x） =xTQx，若 Q的所有主子式大于零，則 Q是正定的， V（ x）也是正定的；或者 Q的特征值均為正值，則 Q是正定的， V（ x）也是正定的。如果 V（ x）是正半定的，則 V（ x）是負(fù)半定的 例 設(shè) ???????21xxx則 不定正半定負(fù)定正定221221221212221)()53()()4()()(xxxVxxxVxxxxVxxxV?????????三：二次型函數(shù)的正定性 設(shè)標(biāo)量函數(shù) V（ x）為二次型函數(shù)，即 V（ x） =xTQx，并設(shè) Q為對(duì)稱陣： jiijnnnnnnqqqqqqqqqqqQ ??????????????????2122221112113：正半定性和負(fù)半定性 設(shè)有標(biāo)量函數(shù) V（ x），對(duì)域 S中的某些非零狀態(tài) x及 x=0，有 V（ x） =0，而對(duì)于 S中的其余狀態(tài)有 V（ x） 0，則稱標(biāo)量函數(shù)V（ x）在域 S內(nèi)是正半定的。顯然 ,能觀測(cè)性實(shí)現(xiàn)中 ,狀態(tài)變量選擇如下 ? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????nnnnnxxxxyuxxxxaaaaxxxx??????????????321121032112103211000100010001000????nxy?1 1 1n n n n nx x a x u?? ? ?? ? ?2 1 2 2n n n n nx x a x u?? ? ? ?? ? ?( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 )1 2 1 1 1 1 1 2 1n n n nn n n nx x a x u y a y a y u u u? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11nny a y u???? ? ?1 2 1 2n n n ny a y a y u u??? ? ? ?? ? ? ? ?例 ： 設(shè) 22 21)()()(?????????ssssUsYsG試確定能控性、能觀測(cè)性動(dòng)態(tài)方程，并確定狀態(tài)變量與輸入、輸出量的關(guān)系 解 1:能控標(biāo)準(zhǔn)形 ? ? ???????????????????????????????????2121221110210xxyuxxxx??????)2(221222121212221uxxxxxyxxyuxxxxx????????????????????????????解得 )21()()21(])21([22222221? ? ??????? ? ????? ? ??????????????uyyxuyyx??2:能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形 ? ? ???????????????????????????????????2121221101210xxyuxxxx??????uxxxxyuxxxuxx?????????????????221221222122???解得 yxuyyx????21 2 ????并聯(lián)形實(shí)現(xiàn) (約當(dāng)形實(shí)現(xiàn) ) 先熟悉一個(gè)基本關(guān)系式 12()()Xs kX s s a? ? ksa?1x2x12( ) ( ) ( )s a X s k X s?? 1 1 2x ax kx?? 1 1 2x ax kx? ? ?設(shè) 1 3 31 1 1 2 2321 1 1 2 3() ( ) ( ) eee e eGs s s s s s? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?11s ?? 11??s 11??s31??s21??suy11x13x2x3x11e12e13e2e3e12x33221313121211113332221311313121121211111xexexexexeyuxxuxxuxxxxxxxx??????????????????????????????11s ?? 11??s 11??s31??s21??suy11x13x2x3x11e12e13e2e3e12x33221313121211113332221311313121121211111xexexexexeyuxxuxxuxxxxxxxx??????????????????????????????寫成矩陣形式 ? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????32131211321312113213121132111321312111110000000000000000100001xxxxxeeeeeyuxxxxxxxxxx??????????也可以畫出結(jié)構(gòu)圖為 ueeeeexxxxxxxxxx???????????????????????????????????????????????????????????????????????3213121132131211321113213121100000000001000010000??????????? ??????????????????3213121111100xxxxxy11s ?? 11??s 11??s31??s21??suy11x 13x2x3x11e12e13e2e3e12x1 3 31 1 1 2 2321 1 1 2 3() ( ) ( ) eee e eGs s s s s s? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?例 設(shè) 222 2 2 2()( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) 1 2Gs s s s s s?? ? ? ?? ? ? ? ?試寫出其約當(dāng)形實(shí)現(xiàn)的動(dòng)態(tài)方程 解 1: ? ??????????????????????????????????????????????????????????212112121121211222110200010011xxxyuxxxxxx???? ??????????????????????????????????????????????????????????212112121121211110222200011001xxxyuxxxxxx??? 2: 串聯(lián)形實(shí)現(xiàn) 1 1 2 11 2 1 2 1 2() 11( ) ( 1 )( ) ( )k s z s z s zG s k ks s s s
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1