高一數(shù)學(xué)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(參考版)
2024-11-14 08:37本頁面
【正文】 3個步驟： ① 確定定義域 ② 求 f’(x)=0的根 ③ 并列成表格 用方程 f’(x)=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開 區(qū)間，并列成表格由 f’(x)在方程 f’(x)=0的根左右的符號，來判斷 f(x)在這個根處取極值的情況 。 44xx31y3???),0( ???x練習(xí) 2: 若 f(x)=ax3+bx2x 在 x=1與 x=1 處有極值 . (1)求 a、 b的值 (2)求 f(x)的極值 . 練習(xí) 3： 已知函數(shù) f(x)=x22(m1)x+4在區(qū)間 [1,5]內(nèi)的最小值為 2，求 m的值 練習(xí) 4 ： 設(shè) f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定實(shí)數(shù) a的取值范圍，并求出這三個單調(diào)區(qū)間 . 小結(jié)： 1個定義 : 極值定義 2個關(guān)鍵： ① 可導(dǎo)函數(shù) y=f(x)在極值點(diǎn)處的 f’(x)=0 。 ① f ?(x0)=0,則 f (x0)必為 極值； ② f (x)= 在 x=0 處取 極大值 0， ③函數(shù)的極小值 一定小于 極大值 ④函數(shù)的極小值（或極大值）不會多于一個。因此一個函數(shù)在其整個定義區(qū)間上可能有 多個極大值或極小值 ，并對同一個函數(shù)來說，在某 一點(diǎn)的極大值也可能小于另一點(diǎn)的極小值 。 1時函數(shù)取得極小值還是極大值 ， 并說明理由 ． ? [解析 ] (1)由 f′(－ 1)＝ f′(1)＝ 0， 得 3a＋ 2b＋ c＝ 0,3a－ 2b＋ c＝ 0. ? 又 f(1)＝－ 1， ∴ a＋ b＋ c＝－ 1. ∴ a ＝12， b ＝ 0 ， c ＝－32. (2) f ( x ) ＝12x3－32x ， ∴ f ′ ( x ) ＝32x2－32＝32( x － 1) ( x ＋ 1) ． 當(dāng) x － 1 或 x 1 時， f ′ ( x ) 0 ；當(dāng)－ 1 x 1 時， f ′ ( x ) 0 ， ∴ 函數(shù) f ( x ) 在 ( － ∞ ，－ 1) 和 (1 ，＋ ∞ ) 上是增函數(shù)，在 ( －1,1) 上為減函數(shù)． ∴ 當(dāng) x ＝－ 1 時，函數(shù)取得極大值 f ( － 1) ＝ 1 ；當(dāng) x ＝ 1 時，函數(shù)取得極小值 f (1) ＝－ 1. ? [點(diǎn)評 ] 若函數(shù) f(x)在 x0處取得極值，則一定有 f′(x0)＝ 0，因此我們可根據(jù)極值得到一個方程，來解決參數(shù)． 變式 ： 設(shè) a 0 ， (1 ) 證明 f ( x ) ＝ax ＋ b1 ＋ x2取得極大值和極小值的點(diǎn)各有 1 個； (2 ) 當(dāng)極大值為 1 ，極小值為－ 1 時，求 a 和 b 的值． [ 解析 ] ( 1) 證明： f ′ ( x ) ＝a ( 1 ＋ x2) － 2 x ( ax ＋ b )( 1 ＋ x2)2 ＝－ ax2－ 2 bx ＋ a( 1 ＋ x2)2 ， 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，即 ax2＋ 2 bx － a ＝ 0. ① ∵ Δ ＝ 4 b2＋ 4 a20 ， ∴ 方程 ① 有兩個不相等的實(shí)根，記為 x x2. 不妨設(shè) x1 x2，則有 f ′ ( x ) ＝
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