函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的最大小值與導(dǎo)數(shù)(參考版)
2024-10-22 11:51本頁面
【正文】 ex的最小值為 ________． [ 答案 ] －1e [ 解析 ] y ′ ＝ ( x ＋ 1) ex＝ 0 ， x ＝－ 1. 當(dāng) x － 1 時(shí)， y ′ 0 ，當(dāng) x － 1 時(shí) y ′ 0 ∴ y m in ＝ f ( － 1) ＝－1e 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 人教 A 版數(shù)學(xué) 三、解答題 7 ．設(shè) y ＝ f ( x ) 為三次函數(shù)，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x ＝12時(shí)， f ( x ) 的極小值為－ 1 ，求出函數(shù) f ( x ) 的解析式． [解析 ] 設(shè) f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx＋ d(d≠0)，因?yàn)槠鋱D象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即 f(－ x)＝－ f(x)，得 ax3＋ bx2＋ cx＋ d＝ ax3－bx2＋ cx－ d， ∴ b＝ 0， d＝ 0， 即 f(x)＝ ax3＋ cx. 由 f′ (x)＝ 3ax2＋ c， 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 人教 A 版數(shù)學(xué) 依題意， f ′??????12＝34a ＋ c ＝ 0 ， f??????12＝18a ＋c2＝－ 1 ， 解之，得 a ＝ 4 ， c ＝－ 3. 故所求函數(shù)的解析式為 f ( x ) ＝ 4 x3－ 3 x . 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 人教 A 版數(shù)學(xué) 。1x＋ 4 bx3＝x3(4 a ln x ＋ a ＋ 4 b ) ． 所以????? f ( 1 ) ＝－ 3 － c ，f ′ ( 1 ) ＝ 0 ，所以????? a ＋ 4 b ＝ 0 ，b ＝－ 3 ， 所以 a ＝ 12 ， b ＝－ 3. 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 人教 A 版數(shù)學(xué) (2) 由 (1) 知 f ′ ( x ) ＝ 48 x3ln x ( x 0 ) ． 當(dāng) 0 x 1 時(shí)， f ′ ( x ) 0 ，所以 f ( x ) 為減函數(shù) ． 當(dāng) x 1 時(shí)， f ′ ( x ) 0 ，所以 f ( x ) 為增函數(shù)， 所以 x ＝ 1 時(shí) f ( x )m in＝ f (1 ) ＝－ 3 － c ， 若 f ( x ) ≥ － 2 c2恒成立，所以－ 3 － c ≥ － 2 c2， 得 c ≥32或 c ≤ － 1. 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 人教 A 版數(shù)學(xué) [點(diǎn)評(píng) ] 恒成立轉(zhuǎn)化為最值 ， 即用導(dǎo)數(shù)求最值 ． 函數(shù)的極值 、 最值常與單調(diào)性 ， 不等式結(jié)合出解答題 ，是歷年考試的重點(diǎn) ， 一般分為二至三問 ， 要注意它們之間的內(nèi)在聯(lián)系 ， 另外解此類問題要注意極值 ， 最值的注意事項(xiàng) ． 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 人教 A 版數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 人教 A 版數(shù)學(xué) [例 5] 已知 f(x)＝ x3＋ 3ax2＋ bx＋ a2在 x＝－ 1時(shí)有極值 0，求常數(shù) a、 b的值 ． [誤解 ] 因?yàn)?f(x)在 x＝－ 1時(shí)有極值 0， 且 f′(x)＝ 3x2＋6ax＋ b. 所以????? f ′ ( － 1 ) ＝ 0 ，f ( － 1 ) ＝ 0 ，即????? 3 － 6 a ＋ b ＝ 0 ，－ 1 ＋ 3 a － b ＋ a2＝ 0. 解得????? a ＝ 1 ，b ＝ 3 ，或????? a ＝ 2 ，b ＝ 9. 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 人教 A 版數(shù)學(xué) [辨析 ] 根據(jù)極值定義，函數(shù)先減后增為極小值，函數(shù)先增后減為極大值，此題未驗(yàn)證 x＝－ 1時(shí)函數(shù)兩側(cè)的單調(diào)性，故求錯(cuò)． [正解 ] (在上述解法之后繼續(xù) )當(dāng) a＝ 1， b＝ 3時(shí) ， f′ (x)＝ 3x2＋ 6x＋ 3＝ 3(x＋ 1)2≥ 0， 所以 f(x)在 R上為增函數(shù) ， 無極值 ， 故舍去； 當(dāng) a＝ 2， b＝ 9時(shí) ， f′ (x)＝ 3x2＋ 12x＋ 9＝ 3(x＋ 1)(x＋3)． 當(dāng) x∈ [－ 3， － 1]時(shí) ， f(x)為減函數(shù)； 當(dāng) x∈ [－ 1， ＋ ∞ )時(shí) ，
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