【正文】 。0 h0(x) +y1h 1(x) 因?yàn)? l0(x)=(ax+b)(x1)2 利用 l0(0)=1和 l0 39。(0)=1/2 , f(1)=2, f 39。i(xj)=0 h39。 仿照 Lagrange 插值余項的證明方法 , 對? ?t?反復(fù)應(yīng)用羅爾定理 ,可得? ?,x ab? ?, 使 ? ?? ?220nx???? 因?yàn)? ? ?? ?? ?? ? ? ?2 2 2 20 2 2 !nnt f t n a???? ? ? ? 從而 ? ?? ?? ?? ? ? ?2 2 2 22 2 ! 0nnxxf n a? ? ???? ? ? ? 因此： ? ?? ?? ?222 2 !nxfan???? 所以有： ? ?? ?? ?? ?? ?2222 1 12 2 !nxnnfR x xn??????? ? ?,xab? ? 設(shè) Hermite插值函數(shù) n n H2n+1(x) = ? Li(x) yi + ? hi(x) y39。 定理二 :f(x)在區(qū)間 [a,b]存在 2n+2階導(dǎo)數(shù) ,則其 Hermite插值余項為 : 2 1 2 1( 2 2 ) 21( ) ( ) ( )( ) [ ( ) ]( , )( 2 2) !nnnnR x f x H xfxabn????????????? ? ? ? ? ? ? ?1 0 1nnx x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?證明：對于固定的 x 選 a 使 ? ? ? ?22 1 1nnR x a x???? 不妨設(shè)01,nx x x x?。(xi)=0, i=0,1,2,.....n 故 F(x)有 2n+2個根。(xi)=y39。 證明 :令 p(x)和 q(x)是兩個次數(shù)不高于2n+1的多項式且在插值基點(diǎn)都滿足以上插值條件 ,即 : p(xi)=q(xi)=yi , p39。(xi)= y39。 i i=0,1,2……n 若 H(x)存在，則稱為函數(shù) f(x) 的 Hermite插值多項式。 i i=0,1,2……n 求一個次數(shù)不高于 2n+1次的插值多項式 H(x)滿足 2n+2個條件 H(xi) = yi H 39。 1 …… y 39。 y 39。如何來構(gòu)造插值函數(shù)呢 ? Hermite插值 也叫帶指定微商值的插值，它要構(gòu)造一個插值函數(shù)，不但在給定節(jié)點(diǎn)上取函數(shù)值，而且取已知微商值，使插值函數(shù)和被插函數(shù)的密和程度更好 。 插值型求導(dǎo)公式 1( 1 ) ()( 1 ) !( ) ( ) ( )nnfnf x p x x a bn? ?????? ? ? ? 設(shè) pn(x)是 f(x)的 過點(diǎn) {x0 ， x1 ， x2 ， …x n }? [a，b]的 n 次插值多項式，由 Laglange插值余項知對任意給定的 x?[a， b]， 總存在 如下關(guān)系式 : 若取數(shù)值微分公式 ( ) ( )nf x p x?? ?( 1 ) ( 1 )11( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( 1 ) ! ( 1 ) !nnnnnnR x f x p xdxxn dx nff????????? ?????????誤差為 : ( 1 )1()( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nn i i n i n iR x f x p x xnf ????? ???? ? ??( 1 )1( 1 )1()( ) , ,( 1 ) !()( ) 0 ,( 1 ) !nnnnidxdx ndxdx nff????????????中 是 未 知 的 其 誤 差 不 能 估 計 注 意 到 在 插 值節(jié) 點(diǎn) 處 此 時 的 余 項 為 :( ) ( ) 0 , 1 , .. .,i n if x p x i n?? ?? 因此插值型求導(dǎo)公式常用 于求節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值。 在實(shí)際問題中，往往會遇到某函數(shù)f(x) 是 用表格表示的，用通常的導(dǎo)數(shù)定義無法求導(dǎo)，因此要尋求其他方法近似求導(dǎo)。 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?0002001200 1 12!!nnnnyN x f x x xhyx x x xhyx x x x x xnh??? ? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?01111!nnnnR x R x t hft t t n hn?????? ? ??? ?0 , nxx? ?余項為： 注意： 一般來說，當(dāng)插值點(diǎn)位于插值區(qū)間前部 (0x附近 ) 時，使用 New to n 向前差分公式，當(dāng)插值點(diǎn)位于插值區(qū)間后部(nx附近 ) 時，使用 Newto n 向后差分公式。 假設(shè) 1km ?? 時命題成立，則有 ? ?? ?111 1,1!mii i m myf x xmh???? ????? ?? ?11 1,1!mii i m myf x xmh??? ????所以有 ： ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?1 2 1 111111111, , , ,1 ! 1 !1!!i i mi i i m i i i mi m immiimmmmiimmimf x xf x x x f x x xxxyymhm h m hyymhymh?? ? ? ? ? ?????????????????????????? ? ? ??? 結(jié)論成立 。 差分具有下列性質(zhì)： 性質(zhì) 1 各階差分可用函數(shù)值表示。 ? ：步長為 h 的向后差分算子 ? ? ? ? ? ?f x f x f x h? ? ? ? ? ：步長為 h 的中心差分算子 ? ? ? ? ? ?22hhf x f x f x? ? ? ? ? 為了便于我們從形式上推導(dǎo)和記憶許多有用的公式，我們引進(jìn)位移算子 E 和單位算子 I 。 ? 稱為步長為 h 的向前差分算子。 111n n ni i iy y y???? ? ? ? ?稱為? ?fx在ix點(diǎn)的 n階向前差分。 記 ? ?iiy f x?，? ?0 ,1 , ,in?。當(dāng)結(jié)點(diǎn)等距時，引入差分的概念可以簡化 N ewto n 插值公式。 現(xiàn)設(shè) x 是? ?,ab上異于01,nx x x的任一點(diǎn)，以01, , ,nx x x x為結(jié)點(diǎn)的 1n ? 次Ne wton 插值多項式為 ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 1 1, , ,n n n nN t N t f x x x x t????? 令 tx? ，因 x 是 結(jié) 點(diǎn) ， 故 有? ? ? ?1nN x f x??。 必須注意， n次代數(shù)插值問題的解是存在且唯一的，因此， Newton插值與 Lagrange 插值只是形式上不同，若將它們按 x的冪展開，所得的多項式是完全一樣的。? ?!)(, . . . ,)(10nxxxffnn??為了使 Newton 插值多項式具有承襲性，選擇如下一組函數(shù)作為基函數(shù)： ? ? ? ? ? ? ? ?? ?0 1 11,1i i ix x x x xin? ? ???? ? ??? 稱01, , ,n? ? ????為 Ne wt on 插 值 以01, , ,nx x x???為結(jié)點(diǎn)的基函數(shù)。關(guān)于稱為 ixxf )(]f [ x i的一階差商定義為關(guān)于 x iixxf ,)( 1?ii xff??????1i1i1ii x][x]f [ x]x,[xi i 1 i ki 1 i 2 i k i i 1 i k 1k[ x ,x , .. . , x ]f [ x ,x , .. . , x ] [ x ,x , .. . , x ]xiiffx??? ? ? ? ????? 定理 :差商具有如下性質(zhì) (1)差商與函數(shù)值的關(guān)系為 (2)差商的值與結(jié)點(diǎn)排列順序無關(guān) ? ?010 1(), , . . . ,39。