數(shù)列極限是整個(gè)數(shù)學(xué)分析最重要的基礎(chǔ)(參考版)
2025-07-20 13:21本頁(yè)面
【正文】 ( ?aU項(xiàng) . 注 { an }無(wú)極限（即發(fā)散）的等價(jià)定義為 : { an } 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 2定 義 l i m 0 , { } .nnn aa?? ?若 則 為 無(wú) 窮 小 數(shù) 列稱(chēng)? ?21! .1 nnn qqnn例 和 是 無(wú) 窮 小 數(shù) 列 當(dāng) 時(shí) ,如 ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?{}2 . 1 }{nna a a a數(shù) 列 收 斂 于 的 充 要 條 件 是 :定 理 ?以下定理顯然成立 ,請(qǐng)讀者自證 . 是 無(wú) 窮 小 數(shù) 列 .是 無(wú) 窮 小 數(shù) 列 .返回 后頁(yè) 前頁(yè) ,大 數(shù) 列 記 作li m .nn a?? ??,窮 大 數(shù) 列 負(fù) 無(wú) 窮 大 數(shù) 列或 分 別 記 作l i m l i m .nnnnaa? ? ? ?? ? ? ? ? ?或3定 義 { } 0 ,naG設(shè) 是 一 數(shù) 列 , 若 對(duì) 任 意 總 存 在 正?, , , { }nnN n N a G a整 數(shù) 使 無(wú)則 稱(chēng) 窮得 任 意 是??, , { }n n n na G a G a G a若 改 為 或 則 稱(chēng) 正 無(wú)是? ? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 六、一些例子 為了更好地理解 定義 , 再舉一些例題 . ”“ N??例 5 證明 發(fā)散 . })1({ n?又因 a 是任意的 , 所以 發(fā)散 . a 為極限 . }{ na證 對(duì)于任意實(shí)數(shù) a, 取 ,210 ?? :})1({}{ 滿(mǎn)足nna ??之外有無(wú)限多 )21,21(,)0(0 ???? aaaa 在時(shí)當(dāng)所以由定義 139。( ?aU多只有有限項(xiàng) , 設(shè)這些項(xiàng)的最大下標(biāo)為 N, 這就表 返回 后頁(yè) 前頁(yè) { an } 的有限多項(xiàng) , 則稱(chēng)數(shù)列 { an } 收斂于 a . 這樣 , { an } 不以 a 為極限的定義也可陳述為 :存在 ,00 ??之外含有 { an } 中的無(wú)限多 00()aa??使 得 在 ，??不以任何實(shí)數(shù) a 為極限 . 以上是定義 1 的等價(jià)說(shuō)法 , 寫(xiě)成定義就是 : 定義 139。( ?aU而在 之外 , { an } 至多只有有限項(xiàng) ( N 項(xiàng) ). )。 天下篇 》 引用了 一句話 : “一尺之棰 , 日取其半 , 萬(wàn)世不竭” . 它的 意思是 : 一根長(zhǎng)為一尺的木棒 ,
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