第九章直線平面與簡(jiǎn)單幾何體(參考版)
2025-07-03 04:35本頁(yè)面
【正文】 29．（12分）如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在上且，是的中點(diǎn)，四面體的體積為.（1）求異面直線與所成角的大小；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）（只理科做）若點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且，求的值.歡迎下載。AD=AA1，F(xiàn)為棱BB1的中點(diǎn)，M為線段AC1的中點(diǎn)（1）求證：直線MF∥平面ABCD；（2）求證：直線MF⊥平面ACC1A；（3）求平面AFC1與平面ABCD所成二面角的大小28．設(shè)ACBD=0，因?yàn)镸，O分別為C1A，CA的中點(diǎn)，所以MO∥C1C，又由直四棱柱知C1C⊥平面ABCD，所以，MO⊥平面ABCD，在菱形ABCD中，BD⊥AC，所以，OB，OC，OM兩兩垂直，故可以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OM所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，若設(shè)|OB|=1則：B（1，0，0），B1（1，0，2），A（0，－，0），C（0，0），C1（0，2），（1）由F，M分別為B1B，C 1A的中點(diǎn)可知：F（1，0，1），M（0，0，1）所以=（1，0，0）=，又與不共線，所以，∥∵M(jìn)F平面ABCD，OB平面ABCD ∴MF∥平面ABCD（2）∵=（1，0，0），而（1，0，0）為平面（即平面ACC1A1）的法向量，所以，MF⊥平面ACC1A1（3）=（0，0，1）為平面ABCD的法向量，則n⊥且n⊥，由=（1，1），=（1，0，0），得：令y=1，得z=－，此時(shí)，n=（0，1，－），設(shè)平面AFC 1與平面ABCD所成二面角的大小為，則，所以，=30176。評(píng)析：考察空間向量的應(yīng)用，逆向思維由平面與平面的位置關(guān)系確定點(diǎn)的位置，面與面所成的二面角的平面角的大小。（，－1，Z）=0∴Z = 1即E為BB1的中點(diǎn)（2）設(shè)所求銳二面角的平面角的大小為θ則cosθ=∵= |AC1| （2），試求平面AEC1與平面ABCD所成銳二面角的平面角的大小。= ∴tan∠A1EO=，∠A1EO = arc tan為所求. …………8分（Ⅲ）連AC1交A1C于點(diǎn)F，由于F為AC1中點(diǎn)，O為AC中點(diǎn)，所以點(diǎn)C1與A到平面A1BC的距離相等，并且等于O點(diǎn)平面A1BC的距離的兩倍. ……………10分過(guò)O點(diǎn)作OH⊥A1E于H，由（Ⅱ）知平面A1OE⊥平面A1BC，所以O(shè)H⊥平面A1BC.Rt△A1OE中，OH=故點(diǎn)C1到平面A1BC的距離為. ……………………………………12分解法二：（Ⅰ）同方法一. ………… 4分A1AOCC1B1zxyB（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)O–xyz，則A1 (0 , 0 , 1)、B (0,0)、C (1 , 0 , 0 )∴= (0,1)，= (1 , 0 , 1)設(shè)= (x , y , z)為平面A1BC的一個(gè)法向量，則，取z =得= (,1, ) …………………………… 6分又= (0 , 0 , 1)是平面ABC的一個(gè)法向量 ∴cos,=故截面A1BC與底面ABC所成二面角的大小為arccos. …………………… 8分（Ⅲ）C1 (2 , 0 , 1)，= (2 , 0 , 0 )故點(diǎn)C1到平面A1BC的距離d =. ………………………12分【命題分析】本題以斜三棱柱為載體，考查空間位置關(guān)系的論證、角和距離的計(jì)算，以及空間想象能力和邏輯推理能力.27．棱長(zhǎng)全相等的直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的面積為2，△ABC為正三角形，E、F均為BB1上的點(diǎn)。, …………12分2（12分）斜三棱柱ABC—A1B1C1中，已知側(cè)面A1C⊥底面ABC，底面△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，A1A = A1C，A1A⊥A1C.A1AOECC1B1HFB（Ⅰ）求直線A1A與底面ABC所成的角；（Ⅱ）求截面A1BC與底面ABC所成二面角的大??；（文科只需求一個(gè)三角函數(shù)值）（Ⅲ）求點(diǎn)C1到平面A1BC的距離.2【思路分析】解法一：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)O，連A1O，∵A1A= A1C ∴A1O⊥AC∵側(cè)面A1C⊥底面ABC，∴A1O⊥底面ABC，∴∠A1AO是直線A1A與底面ABC所成的角. … 2分∵A1A = A1C，A1A⊥A1C ∴∠A1AO = 45176。 ∴AE=ADcos
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