帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的分析方法(參考版)
2025-07-02 11:52本頁(yè)面
【正文】 32。如果該粒子經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)S，則兩電極之間的電壓U應(yīng)是多少？（不計(jì)重力，整個(gè)裝置在真空中）abcdSo圖９解析：如圖９所示，帶電粒子從S點(diǎn)出發(fā)，在兩筒之間的電場(chǎng)作用下加速，沿徑向穿過(guò)狹縫a而進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．，粒子就會(huì)在電場(chǎng)力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)d重新進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，然后粒子以同樣方式經(jīng)過(guò)c、b，再回到S點(diǎn)。如圖５所示，環(huán)狀勻強(qiáng)磁場(chǎng)圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會(huì)穿出磁場(chǎng)的外邊緣而被約束在該區(qū)域內(nèi)。ks5u通過(guò)以上三道例題分析不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)的兩類問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于畫出帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)圓，問(wèn)題就迎刃而解，剩余的問(wèn)題應(yīng)該說(shuō)不難了。(1)由題意知，離子甲的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖11所示半圓，半圓與EG邊相切與A點(diǎn)，與EF邊垂直相交與B點(diǎn)，由幾何關(guān)系可得半徑，從而求到甲離子的質(zhì)量。不計(jì)重力。圖中右邊有一邊長(zhǎng)為a的正三角形區(qū)域EFG（EF邊與金屬板垂直），在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面朝里。 由幾何關(guān)系可得：又 聯(lián)立解得：、?？梢?jiàn)最后離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子即在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其軌跡圓應(yīng)與磁場(chǎng)的上邊界相切，如圖8所示?！窘馕觥颗c上題分析類似，做出從不同方向射出的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，動(dòng)態(tài)圓如圖7所示的。己知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于到之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開(kāi)磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～90176。需要說(shuō)明的是求R還要其他數(shù)學(xué)方法，本文不做一一分析。(3)由上面的分析也易得在磁場(chǎng)中飛行時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)與磁場(chǎng)右邊界相切，如圖5所示，由幾何關(guān)系可知OP=OM=MF，運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為240176。故所求答案為60176。設(shè)此時(shí)位于P、M、N三點(diǎn)的粒子初速度分別為、。結(jié)合帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周速度的特點(diǎn)，可知同一時(shí)刻仍在磁場(chǎng)內(nèi)的粒子到O點(diǎn)距離相同。【解析】(1)具體思路是做出從P點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)的帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖2所示，由幾何關(guān)系求出半徑，對(duì)應(yīng)的圓心角為，周期，在由周期得，也容易得弦OP與y軸正方向夾角為60176。已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界上點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)。在時(shí)刻，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0～180176。如果能用動(dòng)態(tài)圓模型（紙板）直觀教學(xué)和練習(xí)，學(xué)生更是一目了然。在如圖8所示中，由SA方向順時(shí)針?lè)较蛑罶P方向發(fā)射的電子，其圓心在相應(yīng)的弧OQ上，打在板上的點(diǎn)b/在這個(gè)圓周上，只有以上半圓周上各點(diǎn)為圓心的動(dòng)態(tài)圓上的電子才能擊中擋板。擋板下面即電子源一側(cè)充滿垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，問(wèn)：（1） 若使電子源發(fā)射的電子有可能到達(dá)擋板，則發(fā)射的電子速率至少是多大？發(fā)射方向如何？（2） 若發(fā)射的電子的速率為（1）中所求的速率的2倍，則擋板被電子擊中的區(qū)域范圍有多大？發(fā)射方向的范圍如何？【分析與解答】（1）由：evB=mv2/r,得：MNObvb/PQaBACSB圖8因此，欲使電子能到達(dá)擋板，且速率最小的條件是r0=L/2，其電電子的最小速率為：，由左手定則，電子應(yīng)平行于MN板水平向左發(fā)射。如果能從動(dòng)態(tài)圓這一思維過(guò)程考慮，就能有效地避免錯(cuò)誤。因此?！纠?】如圖5，在邊界AA/、DD/狹長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向街紙面向里，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d。由幾何關(guān)系得：將代入上式求解，得臨界速率為：故當(dāng)時(shí)，電子俑從另一邊界DD/射出。當(dāng)rr0jf ,電子從AA/射出；當(dāng)rr0時(shí)，電子從DD/射出。圖中沿2軌跡運(yùn)動(dòng)的電子均從AA/射出，而沿5軌跡運(yùn)動(dòng)的電子均從DD/射出。為使電子能從另一邊界DD/射出，問(wèn)電子的速率應(yīng)滿中足什么條件？（重力不計(jì)）DD/ AA/SVθ【分析與解答】由，得：圖3圖4不同速率的電子以相同的方向射入磁場(chǎng)后，做半徑不同的圓周運(yùn)動(dòng)。【例2】如圖,在邊界為AA/、DD/狹長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，磁場(chǎng)區(qū)域?qū)挾葹閐。很顯然，沿Y軸入射以D為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)的離子將在X軸上有最大位移X，且X=OP=2；同理沿X軸負(fù)方向入射的離子，在Y軸上有最大的位移Y，且Y=OQ=2。yBO （重力不計(jì)）圖2圖1【分析與解答】x角，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小及粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（3）在圖19（b）中，若粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，速度大小為，方向不確定，要使粒子一定能夠從外圓射出，磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)小于多少？【解析】(1)根據(jù)動(dòng)能定理，qU＝mv－mv，所以v0＝ .(2)如圖所示，設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由幾何知識(shí)可知R2＋R2＝(R2－R1)2，解得R＝＝m，解得B＝＝.根據(jù)公式＝，2πR＝v2T，qv2B＝m，解得t＝＝＝＝.(3)考慮臨界情況，如圖所示①qv3B′1＝m，解得B′1＝，②qv3B′2＝m，解得B′2＝，綜合得：B′.【例1】如圖1所示，經(jīng)X軸的上方（）存在著垂直紙面向外的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在原點(diǎn)O處有一離子源向X軸上方任意方向發(fā)射質(zhì)量為m，電量為q的正離子，速率都為V。用此法可以使抽象問(wèn)題形象化，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和分析問(wèn)題的能力。最小磁場(chǎng)區(qū)域的面積即為圖中陰影部分面積，由幾何關(guān)系得：點(diǎn)評(píng)：解本類題的關(guān)鍵就是弄清楚題目設(shè)立的情景，而這種情景比較抽象，學(xué)生不易理解。（A為其上一點(diǎn)）。解析：設(shè)磁場(chǎng)B的方向垂直紙面向里，當(dāng)電子以與x軸成角從O點(diǎn)進(jìn)入B中做圓周運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)出磁場(chǎng)時(shí)其速度方向平行于x軸，也就是圓弧在y軸正向的最高點(diǎn)，如圖5所示，所有滿足題意的點(diǎn)可看作是過(guò)定點(diǎn)O，以半徑為的圓在紙面內(nèi)繞O轉(zhuǎn)動(dòng)90176。作SN⊥ab，由幾何知識(shí)得由圖中的幾何關(guān)系得：所求的寬度為：即ab上被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度為：例2.因向不同的方向發(fā)射粒子的圓軌跡都經(jīng)過(guò)了S，由此可知，將通過(guò)S點(diǎn)半徑為R的圓，繞S點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，此圓就會(huì)與ab直線相交，其相交部分就是題里要求的ab直線上粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度。解
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