【正文】 圍內。已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在時刻剛好從磁場邊界上點離開磁場。求：(1)粒子在磁場中做圓周運動的半徑R及粒子的比荷；(2)此時刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與軸正方向夾角的取值范圍； (3)從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時間?！窘馕觥?1)具體思路是做出從P點離開磁場的帶電粒子的運動軌跡，如圖2所示，由幾何關系求出半徑，對應的圓心角為，周期，在由周期得，也容易得弦OP與y軸正方向夾角為60176。 (2)下面重點分析此問，由于帶電粒子的初速度大小相同，可見半徑R相同，做出從不同方向射出的粒子的運動軌跡，其動態(tài)圓如圖3所示的。結合帶電粒子在磁場中做勻速圓周速度的特點，可知同一時刻仍在磁場內的粒子到O點距離相同。在時刻仍在磁場內的粒子應位于以O點為圓心、OP為半徑的圓弧上，如圖4所示。設此時位于P、M、N三點的粒子初速度分別為、。由幾何關系可知，與OP、與OM、與ON的夾角均為60176。，故所求答案為60176?！?20176。(3)由上面的分析也易得在磁場中飛行時間最長的粒子的運動軌跡應與磁場右邊界相切，如圖5所示，由幾何關系可知OP=OM=MF，運動軌跡對應的圓心角為240176。，故所求答案為。需要說明的是求R還要其他數(shù)學方法，本文不做一一分析。例2（全國新課標卷第25題）如圖6所示，在0≤≤、0≤≤范圍內有垂直于xy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B。坐標原點O處有一個粒子源，在某時刻發(fā)射大量質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內，與y軸正方向的夾角分布在0～90176。范圍內。己知粒子在磁場中做圓周運動的半徑介于到之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運動周期的四分之一。求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的(1)速度大??；(2)速度方向與y軸正方向夾角正弦?！窘馕觥颗c上題分析類似，做出從不同方向射出的粒子的運動軌跡，動態(tài)圓如圖7所示的。設初速度與y軸正向的夾角為θ，當θ較小時，粒子從磁場上邊界離開，θ越大，粒子在磁場中的運動時間越長；當θ較大時，粒子從磁場右邊界或x軸正向離開，θ越大，粒子在磁場中的運動時間越短。可見最后離開磁場的粒子即在磁場中運動時間最長的粒子，其軌跡圓應與磁場的上邊界相切，如圖8所示。具體的求解是設粒子的發(fā)射速度大小為，則做圓周運動的半徑，由該粒子在磁場運動的時間為T/4得：∠OCA=90176。 由幾何關系可得：又　聯(lián)立解得：、。 帶電粒子速度方向相同，大小不同——膨脹的動態(tài)圓例3（全國II卷第26題）如圖9所示左邊有一對平行金屬板，兩板相距為d，電壓為U；兩板之間有勻強磁場，磁感應強度大小為B0，方向平行于板面并垂直于紙面朝里。圖中右邊有一邊長為a的正三角形區(qū)域EFG（EF邊與金屬板垂直），在此區(qū)域內及其邊界上也有勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面朝里。假設一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點H射入磁場區(qū)域。不計重力。(1)已知這些離子中的離子甲到達磁場邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲的質量；(2)已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點(圖中未畫出)穿出磁場，且GI長為3a/4，求離子乙的質量；(3)若這些離子中的最輕離子的質量等于離子甲質量的一半，而離子乙的質量是最大的，問磁場邊界上什么區(qū)域內可能有離子到達？【解析】由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運動，則有，解得粒子速度（為一定數(shù)值）本題雖然速度大小不變，但質量m變，結合帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑公式分析，等價此類問題，可做出不同質量的帶電粒子在磁場中的運動軌跡，其動態(tài)圓如圖10所示的。(1)由題意知，離子甲的運動軌跡如圖11所示半圓，半圓與EG邊相切與A點，與EF邊垂直相交與B點，由幾何關系可得半徑，從而求到甲離子的質量。(2)離子乙的運動軌跡如圖12所示，在△EIO2中，由余弦定理得解到，從而求到乙離子的質量(3)由半徑公式可知，結合(1) (2)問分析可得：，則所有離子都垂直EH邊離開磁場，離開磁場的位置到H的距離界于R甲到2R甲之間，即～；，則所有離子都從EG邊離開磁場，離開磁場的位置界于A到I之間，其中AE距離，IE距離。ks5u通過以上三道例題分析不難發(fā)現(xiàn)，對于帶電粒子在有界勻強磁場的運動的兩類問題，解題的關鍵在于畫出帶電粒子在勻強磁場的運動的動態(tài)圓，問題就迎刃而解，剩余的問題應該說不難了。帶電粒子在環(huán)形或有孔磁場中的運動圖10例核聚變反應需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件下高速運動的離子約束在小范圍內（否則不可能發(fā)生核反應），通常采用磁約束的方法（托卡馬克裝置）。如圖５所示，環(huán)狀勻強磁場圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在該區(qū)域內。設環(huán)狀磁場的內半徑為R1=，外半徑R2=，磁場的磁感強度B=，若被束縛帶電粒子的荷質比為q/m=4C/㎏，中空區(qū)域內帶電粒子具有各個方向的速度．試計算（1）粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度． （2）所有粒子不能穿越磁場的最大速度．解析：（1）要粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場，則粒子的臨界軌跡必須要與外圓相切,軌跡如圖６所示．由圖中知，解得由得所以粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度為．圖７OO2（2）當粒子以V2的速度沿與內圓相切方向射入磁場且軌道與外圓相切時，則以V1速度沿各方向射入磁場區(qū)的粒子都不能穿出磁場邊界，如圖７所示．由圖中知由得所以所有粒子不能穿越磁場的最大速度abcdSo圖11例1如圖８所示，兩個共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的外半徑為r，在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場，磁感強度的大小為B．在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內有沿半徑向外的電場．一質量為ｍ、帶電量為＋q的粒子，從緊靠內筒且正對狹縫a的S點出發(fā)，初速為零。如果該粒子經(jīng)過一段時間的運動之后恰好又回到出發(fā)點S，則兩電極之間的電壓U應是多少？（不計重力，整個裝置在真空中）abcdSo圖９解析：如圖９所示，帶電粒子從S點出發(fā)，在兩筒之間的電場作用下加速，沿徑向穿過狹縫a而進入磁場區(qū)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動．，粒子就會在電場力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)d重新進入磁場區(qū)，然后粒子以同樣方式經(jīng)過c、b，再回到S點。設粒子進入磁場區(qū)的速度大小為V，根據(jù)動能定理，有設粒子做勻速圓周運動的半徑為R，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律，有由前面分析可知，要回到S點，粒子從a到d必經(jīng)過圓周，所以半徑R必定等于筒的外半徑r，即R=。 32