【正文】 21 ??????? ??xy ? 切線方程為 ( 1) [ ( 1)]yx? ? ? ? ? ? 即 20xy? ? ? (2)切線 20xy? ? ? 在 x 軸、 y 軸上的截距都是 2? ，故切線與 x 軸、 y 軸所圍成的平面圖形為直角三角形，其面積為 2|2||2|21 ??????S. 17. 解： 23 1。 （ 2）點(diǎn) P 處的切線與 x 軸、 y 軸所圍成的平面圖形的面積 . 17．已知 2|3 11|: ??? xP , )0(012: 22 ????? mmxxq , 若 qp ??是 的必要不 充分條件，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 . 18．設(shè) P：關(guān)于 x 的不等式 1?xa 的解集是 ? ?0| ?xx Q：函數(shù) )lg( 2 axaxy ??? 的定義域?yàn)?R. 如果 P 和 Q 有且僅有一個(gè)正確，求 a 的取值范圍 . 19．設(shè) 0p? 是一個(gè)常數(shù) ,過(guò) 點(diǎn) (2 ,0)Qp 的直線與拋物線 2 2y px? 交于相異兩點(diǎn) A, B, 以線段 AB 為直徑作圓 H (H 為圓心 ). (1)試證拋物線頂點(diǎn)在圓 H 的圓周上 。 高中數(shù)學(xué)系列 11 綜合測(cè)試題 學(xué)校：中山市龍山中學(xué) 命題：曹 毓 一、選擇題 1．下列語(yǔ)句中是假命題的是 （ ） A．二次函數(shù)的圖象是一條拋物線 B．對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？ C．兩個(gè)內(nèi)角等于 45176。當(dāng) x=1 時(shí) ,y 此時(shí)取不到最大值 2, 故 x+y 的最大值不為 3 。 3設(shè)點(diǎn) P(x,y)在橢圓 44 22 ?? yx 上，求 yx? 的最大、最小值。 錯(cuò)解：易知直線恒過(guò)定點(diǎn) P（ 5,0），再由 APOM? ，得： 222 MPOMOP ?? ∴ 25)5( 2222 ????? yxyx ，整理得： 42525 22 ???????? ? yx 剖析：求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)應(yīng)注意它的完備性與純粹性。 解題反思：使用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系必需要注意檢驗(yàn)根的判別式 0?? 是否成立。 （ 2）設(shè)過(guò) P 的直線方程為 )1(1 ??? xky ，代入 1222 ?? yx并整理得： 02)1()1(2)2( 222 ??????? kxkkxk ∴ 221 2 )1(2 k kkxx ???? ，又∵ 221 ??xx ∴ 22 )1(2 2 ???kkk 解之得： k=2，故直線方程為： y=2x1,即直線是存在的。 3已知雙曲線 1222 ?? yx，過(guò) P(1,1)能否作一條直線 L 與雙曲線交于 A、 B 兩點(diǎn)，且 P 為 AB 中點(diǎn)。 設(shè)雙曲線的漸近線為： xy 23?? ，求其離心率。（如圖），結(jié)合圖形易求得 m 的范圍為52525 ???? mm 或 。 分析：方程（ 1）與原方程并不等價(jià)，應(yīng)加上 ? ???? ,0y 。 2已知曲線 C： 2202xy ??與直線 L： mxy ??? 僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求 m 的范圍。 2過(guò)點(diǎn) (0,1)作直線，使它與拋物線 xy 42 ? 僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有 條 條 C. 3 條 D. 0 條 錯(cuò)解：設(shè)直線的方程為 1??kxy ，聯(lián)立 ??? ??? 142 kxy xy，得 ? ? xkx 41 2 ?? ， 即： 01)42(22 ???? xkxk ，再由Δ＝ 0,得 k=1,得答案 A. 剖析：本題的解法有兩個(gè)問(wèn)題，一是將斜率不存在的情況考慮漏掉了，另外又將斜率 k=0 的情形丟掉了，故本題應(yīng)有三解，即直線有三條。正確的做法是利用雙曲線的第二定義來(lái)求出方程（下略）。 點(diǎn)評(píng)：看起來(lái)問(wèn)題已經(jīng)解決，然而離心率這個(gè)條件似乎多余，而根據(jù)求得的方程又得不到離心率為 32 。 2已知雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為 x=2,其相應(yīng)的焦點(diǎn)為 (8,0)，離心率為 32 ，求雙曲線的方程。 而事實(shí)上 P 若在右支上，則其到 F1 的最短距離應(yīng)為右頂點(diǎn) A2 到 F1 的距離 | A2 F1|＝ a+c＝ 8，而 8316? ，故點(diǎn) P 只能在左支，于是 |PF2|= 3343166 ?? 。 F 1 F 2xyP 錯(cuò)解：設(shè) F F2 分別為由雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則由雙曲線的方程為 x29 y216 =1，易求得 a=3,c=5,從而離心率 e＝ 53 ,再由第二定義，易求 |PF1|=ed1＝ 31651635 ?? ，于是又由第一定義 6212 ??? aPFPF ，得|PF2|= 3166? 。 答案： )22,22(? 錯(cuò)解： ]22,22[? 錯(cuò)因：沒(méi)考慮 b=0 時(shí)，直線不能與漸近線平行。 答案：設(shè) ),(),( 2211 yxByxA 其中 )12(,12,2,1,0,0 2111121 ??????????? xBFxaexAFeaxx 則， 所以 )(2 2111 xxBFAF ??? ，將弦 AB 的方程 )2(33 ?? xy 代入雙曲線方程， 整理得 3,813,21,01348 21212 ????????? ABxxxxxx 則所以， 可求得 23321 ?? xx ，故答案為 333? 錯(cuò)解： 10 錯(cuò)因：作圖錯(cuò)誤，沒(méi)有考慮傾斜角為 ?30 的直線與漸近線的關(guān)系，而誤將直線作成與右支有兩交點(diǎn)。 答案：13494)38( 22??? yx 錯(cuò)解：由題意有動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，又 F（ 4， 0），所以 c=4，又準(zhǔn)線 x=3, 所以 4,12,3 222 ??? baca，故雙曲線方程為 141222 ?? yx 錯(cuò)因：沒(méi)有明確曲線的中心位置，而套用標(biāo)準(zhǔn)方程。錯(cuò)解： 2 錯(cuò)因：設(shè) )3( ?? xky 代入橢圓的方程算出有兩條，當(dāng) k 不存在，即直線 AB x? 軸時(shí)，｜ AB｜＝ 4，忽視此種情況。 正解： 44522 ?? yx，設(shè)雙曲線的方程為 1362722 ????? kyk x （ 27 36??k ） 又由題意知 15136427 222 ???? xx 136427152 ?????? kk 32??k 故所求雙曲線方程為 14522 ??? yx 誤解：不注意焦點(diǎn)在 y 軸上，出現(xiàn)錯(cuò)誤。 錯(cuò)解 設(shè)雙曲線的兩 個(gè)焦點(diǎn)分別為 )0,5(1 ?F , )0,5(2F , 由雙曲線定義知 8|||||| 21 ?? PFPF 所以 || 1 ?PF 或 || 1 ?PF 剖析 由題意知，雙曲線左支上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最短距離為 1, 所以 1 ? 不合題意，事實(shí)上，在求解此類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)靈活運(yùn)用雙曲線定義，分析出點(diǎn) P 的存在情況，然后再求解。 1過(guò)函數(shù) y= 294??xx 的圖象的對(duì)稱中心，且和拋物線 y2=8x 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)共有（ ） A、 1 條 B、 2 條 C、 3 條 D、不存在 正確答案：（ B） 錯(cuò)誤原因 ：解本題時(shí)極易忽視中心（ 2， 4）在拋物線上，切線只有 1 條，又易忽視平行于拋物線對(duì)稱軸的直線和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)。 誤解：選 B，沒(méi)有分組。 誤解：設(shè)雙曲線方程為22xyab???，化簡(jiǎn)得： 2 2 2 2 2 2b x a y a b???， 代入 00( , )xy ， 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0b x a b a y b x?? ? ?， 0???， ?焦點(diǎn)在 x 軸上。 由 00a y b x? 得00y bxa?，可設(shè) 000, 0xy??，此時(shí) OM 的斜率大于漸近線的斜率，由圖像的性質(zhì)，可知焦點(diǎn)在 y 軸上。 1已知對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的漸近線方程為 )0,0(, ???? baxaby ，若雙曲線上有一點(diǎn) M（ 00,yx ），使 |||| 00 xbya ? ，那雙曲線的交點(diǎn)（ ）。 1設(shè) 1F 和 2F 為雙曲線 14 22 ??yx的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上且滿足 ?9021 ?? PFF ，則 21PFF? 的面積是（ ）。 1已知?jiǎng)狱c(diǎn) P（ x,y）滿足 225 ( 1 ) ( 2 ) | 3 4 1 1 |x y x y? ? ? ? ? ?，則 P 點(diǎn)的軌跡是 （ ） A、直線 B、拋物線 C、雙曲線 D、橢圓 正確答案： A 錯(cuò)因：利用圓錐曲線的定義解題，忽視了（ 1， 2）點(diǎn)就在直線 3x+4y11=0 上。 已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 3x2+2y2=6x，則 x2+y2 的最大值是 ( ) A、 29 B、 4 C、 5 D、 2 正確答案： B 錯(cuò)誤原因：忽視了條件中 x 的取值范圍而導(dǎo)致出錯(cuò)。 已知 ? 是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且 sin? +cos? =51 則方程 x2 sin? － y2 cos? =1 表示（ ） A 焦 點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線 B 焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線 C 焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓 D 焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓 正確答案： D 錯(cuò)因：學(xué)生不能由 sin? +cos? =51 判斷角 ? 為鈍角。︱ OQ︱等于切線長(zhǎng)的平方來(lái)解題。 已知圓 ? ?3?x 2 +y2 =4 和 直線 y=mx 的交點(diǎn)分別為 P、 Q 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 則︱ OP︱ 已知二面角 ?? ??l 的平面角為 ? ， PA ?? ， PB ?? ， A， B 為垂足，且 PA=4， PB=5，設(shè) A、 B 到二面角的棱 l 的距離為別為 yx, ，當(dāng) ? 變化時(shí)，點(diǎn) ),( yx 的軌跡是下列圖形中的 A B C D 解 答： D 易錯(cuò)原因：只注意尋找 ,xy的關(guān)系式，而未考慮實(shí)際問(wèn)題中 ,xy的范圍。 如圖 2 所示，圖中三個(gè)點(diǎn) A、 B、 C 為所求，故應(yīng)選（ C）。 剖析 上述錯(cuò)解過(guò)程忽視了過(guò)原點(diǎn)斜率不存在的直線，當(dāng) l 的斜率不存在時(shí)， 有 |||| FBFA ? 4252525 ??? 所以 FBFA?|| 有最小值為 3，最大值為 25/4 課后練習(xí)題 圓 x2 + 2x + y2 + 4y –3 = 0 上到直線 x + y + 1 = 0 的距離等于 2 的點(diǎn)共有（ ） A、 1 個(gè) B、 2 個(gè) C、 3 個(gè) D、 4 個(gè) 分析：這里 直線和圓相交，很多同學(xué)受思維定勢(shì)的影響，錯(cuò)誤地認(rèn)為圓在此直線的兩側(cè)各有兩點(diǎn)到直線的距離為 2 ，導(dǎo)致錯(cuò)選（ D ）。求|||| FBFA ? 是否存在最大值或最小值？若不存在，說(shuō)明理由。 應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ) 上，再由 ?????????121222 yxxy 得 0342 2 ??? xx 根據(jù) 08???? ,說(shuō)明所求直線不存在。 錯(cuò)解 設(shè)符合題意的直線 l 存在，并設(shè) ),( 21 xxP 、 ),( 22 yxQ 則 ???????????)2(12)1(1222222121yxyx （ 1） )2(? 得 ))(( 2121 xxxx ?? )3())((21 2121 yyyy ??? 因?yàn)?A（ 1， 1）為線段 PQ 的中點(diǎn)，所以 ??? ?? ?? )5(2 )4(22121 yy xx 將 (4)、 (5)代入（ 3）得 )(21 2121 yyxx ??? 若 21 xx? ，則直線 l 的斜率 22121 ???? xx yyk 所以符合題設(shè)條件的直線 l 存在。 錯(cuò)解 設(shè)所求橢圓方程為 )0(12222 ???? babyax 因?yàn)?222a caab ?? 211 2 ??? e ，所以 a=2b 于是橢圓方程為 14 2222 ?? bybx 設(shè)橢圓上點(diǎn) M（ x,y）到點(diǎn) P )23,0( 的距離為 d, 則： 222 )23( ??? yxd 493)1(4 2222 ????? yybyb 34)21(3 22 ????? by 所以當(dāng) 21??y 時(shí)，有 1,734 2m a x2 ???? bbd 所以所求橢圓方程為 14 22 ??yx 剖析 由橢