【正文】 ……… 7 分 （Ⅱ）∵ M、 N 兩點在橢圓內部， ∴ 12 2F M F M a?? ……………………… 9 分 即 222 2 2 2a? ? ? ， ∴ 21a??， ……………………… 11 分 ∴ 11 2121a ? ? ??， ……………………… 12 分 ∵ c ＝ 1，∴離心率 1ea? 21??， ……………………… 13 分 又 0e? ，∴橢圓離心率的取值范圍為 ? ?0, 2 1? ………………… …… 14 分 8. (20xx 東莞市一模理科 19)（本小題滿分 l4 分） 28 廣州新東方優(yōu)能中學教育 郭可（ GK） 已知橢圓 C 的兩個焦點為 )0,22(1 ?F ， )0,22(2F ， P 為橢圓上一點，滿足021 60?? PFF . （ 1）當直線 l 過 1F 與橢圓 C 交于 M 、 N 兩點，且 NMF2? 的周長為 12 時，求 C 的方程； (2)求 21PFF? 的面積 . 解： (1)因為 aMFMF 221 ?? , aNFNF 221 ?? , 所以 ?? )( 21 MFMF aNFNF 4)( 21 ?? ,……… ..… ..2 分 所以 ?? 2MFMN 1242 ?? aNF ,得出 3?a ……… ..… ..3 分 又 22?c ,所以 1?b ,…… ..… ..5 分 所以 ,橢圓 C 的方程為 19 22 ??yx……… …… 6 分 (2)在 21FPF? 中 ,根據(jù)余弦定理 , ?221FF 21PF 02122 60c o s2 ????? PFPFPF ?2)2( c 221 )( PFPF ? 213 PFPF ??? 2)2( a? 213 PFPF ??? ……… ..10 分 所以3421 ?? PFPF,………… 12 分 3 32 3342160s i n21 02121 ????????? PFPFS FPF …………… .14 分 9.(20xx 東莞市一模文科 20) (本小題滿分 14 分 )如圖， F 是橢圓的右焦點，以 F 為圓心的圓過原點 O 和橢圓的右頂點，設 P 是橢圓的動點， P 到兩焦點距離之和等于 4. （Ⅰ）求橢圓和圓的標準方程； （Ⅱ）設直線 l 的方程為 4,x PM l??，垂足為 M ，是否存在點 P ，使得 FPM? 為等腰三角形？若存在，求出點 P 的坐標 ；若不存在，說明理由 . 解：（Ⅰ）由已知可得 2 4,a? 2ac? ? 2 2 22 , 1 , 3a c b a c? ? ? ? ? 2 分 ∴橢圓的標準方程為 22143xy??，圓的標準方程為 22( 1) 1xy??? 4 分 29 廣州新東方優(yōu)能中學教育 郭可（ GK） （Ⅱ）設 ( , )Pxy ，則 (4, ), (1, 0)M y F ∵ ( , )Pxy 在橢圓上，∴ 22143xy?? 2233 4yx? ? ? 5 分 2 2 2 2 2 231| | ( 1 ) ( 1 ) 3 ( 4 )44P F x y x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 分 22| | | 4 |PM x??, 2||FM? 2239 12 4yx? ? ? ∴ 1| | | |, | | | |,2P F P M P F P M?? 7 分 （ 1）若 | | | |PF FM? 則 2213( 4 ) 1 244xx? ? ?，解 得 2x?? 或 4 ，∵ | | 2x? ，∴2x?? | | | | |PF FM PM??這與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾 ∴ | | | |PF FM? 9 分 （ 2）若 | | | |PM FM? ,則 223( 4) 124xx? ? ?，解得 4x? 或 47x? 11 分 ∵ | | 2x? ∴ 47x? ∴ 3 157y?? ∴ 43( , 15)77P ? 13 分 綜上可得存在兩點 4 3 15( 。 …………… 14 分 5.（ 20xx 深圳市第一次調研理科 19） (本小題滿分 14 分 ) 已知點 F 是橢圓 )0(11 222 ???? ayax 的右焦點，點 ( ,0)Mm 、 (0, )Nn分別是 x 軸、 y 軸上的動點，且滿足 0??NFMN ．若點 P 滿足 POONOM ?? 2 ． （ 1）求點 P 的軌跡 C 的方程； （ 2）設過點 F 任作一直線與點 P 的軌跡交于 A 、 B 兩點，直線 OA 、 OB 與直線 ax ?? 分別交于點 S 、 T （ O 為坐標原點），試判斷 FSFT? 是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由． 解：（ 1） ?橢圓 )0(11 222 ???? ayax 右焦點 F 的坐標為 (,0)a ，……… 1 分 25 廣州新東方優(yōu)能中學教育 郭可（ GK） ( , )NF a n? ? ? ． ( , )MN m n?? ， ?由 0??NFMN ，得 02 ??amn ． ……………… 3 分 設點 P 的坐標為 ),( yx ，由 POONOM ?? 2 ，有 ( , 0) 2( 0 , ) ( , )m n x y? ? ? ?， ????????.2,ynxm 代入 02 ??amn ，得 axy 42? ． ………………… 5 分 （ 2） (法一 )設直線 AB 的方程為 x ty a??， 211( , )4yAya、 222( , )4yBya， 則 xyaylOA 14: ?， xyaylOB 24: ?． …………………… 6 分 由????????axxyay ,41，得 214( , )aSa y?? ， 同理得 224( , )aTa y?? ．………………… 8 分 214( 2 , )aFS a y? ? ? ?， 224( 2 , )aFT a y? ? ? ，則 4212164 aFS FT a yy? ? ?． …… 9 分 由??? ? ?? axy atyx 4 ,2，得 044 22 ??? aatyy ， 212 4y y a? ?? ． ……………… 11 分 則 044)4( 164 22242 ??????? aaaaaFTFS． …… …………… 13 分 因此， FSFT? 的值是定值，且定值為 0 ． ……………………… 14 分 (法二 )①當 AB x? 時， ( ,2 )Aa a 、 ( , 2 )Ba a? ，則 :2OAl y x? ， :2OBl y x?? ． 由 2,yxxa??? ??? 得點 S 的坐標為 ( , 2 )S a a?? ，則 ( 2 , 2 )FS a a? ? ? ． 由 2,yxxa???? ??? 得點 T 的坐標為 ( ,2 )T a a? ，則 ( 2 , 2 )FT a a?? ． ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 0FS FT a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． …………………………… 7 分 ②當 AB 不垂直 x 軸時，設直線 AB 的方程為 ( )( 0)y k x a k? ? ?， ),4(121 yayA 、 26 廣州新東方優(yōu)能中學教育 郭可（ GK） ),4( 222 yayB ，同解法一，得 4212164 aFS FT a yy? ? ?． …………………… 10 分 由2( ),4y k x ay ax???? ??，得 224 4 0ky ay ka? ? ?， 212 4y y a? ?? ．…………… 11 分 則 044)4( 164 22242 ??????? aaaaaFTFS． ……………… 13 分 因此， FSFT? 的值是定值，且定值為 0 ． ……………………… 14 分 6. (20xx 江門市一模理科 19)（本小題滿分 14 分）已知圓錐曲線 C 上任意一點到兩定點)0 , 1(1 ?F 、 )0 , 1(2F 的距離之和為常數(shù)， 曲線 C 的離心率 21?e ． ⑴求圓錐曲線 C 的方程； ⑵設經過點 2F 的任意一條直線與 圓錐曲線 C 相交于 A 、 B ，試證明在 x 軸上存在一個定點 P ，使 PBPA? 的值是常數(shù) ． ⒚⑴依題意，設曲線 C 的方程為 12222 ??byax （ 0??ba ）…… 1 分， 1?c …… 2 分，21??ace， 2?a …… 3 分， 322 ??? cab ，所求方程為 134 22 ?? yx…… 4 分 ． ⑵當直線 AB 不與 x 軸垂直時，設其方程為 )1( ?? xky …… 5 分，由?????????)1(134 22xkyyx …… 6 分，得 0)3(48)43( 2222 ????? kxkxk …… 7 分，從而2243 8 kkxxBA ???，2243 )3(4 kkxxBA ? ???…… 8 分，設 )0 , (tP ，則 BABA yytxtxPBPA ????? ))(( 22222222 43 )485(123)())(()1( k kttttkxxktxxkBABA ? ?????????????…… 10 分，當 4 4853 123 22 ttt ????? ，811?t時…… 11 分，對 Rk?? ，64135???PBPA…… 12分；當 xAB? 軸時， 直線 AB 的方程為 1?x ， 1?? BA xx ，23)( ??BA yy…… 13 分，對811?t，6413549649))(( ????????? BABA yytxtxPBPA，即存在 x 軸上的點)0 , 811(P ，使 PBPA? 的值為常數(shù) 64135? …… 14 分 ． 27 廣州新東方優(yōu)能中學教育 郭可（ GK） 7.(20xx 廣雅金山佛一中聯(lián)考文科 20)（本小題滿分 14分） 已知橢圓 )(112 222 １　 ???? aa yax的左右焦點為 21,FF ，拋物線 C： pxy 22 ? 以 F2為焦點且與橢圓相交于點 M? ?11,xy 、 N? ?22,xy ，直線 1FM 與拋物線 C 相切。 （ 1） 設橢圓 C 上 點 3( 3, )2到兩點 1F 、 2F 距離和等于 4 ，寫出橢圓 C 的方程和焦點坐標 ； （ 2） 設 K 是（ 1）中所得橢圓上的動點，求線段 1KF 的中點 B 的軌跡方程 ； （ 3） 設點 P 是橢圓 C 上的任意一點，過原點的直線 L 與橢圓相交于 M ， N 兩點，當直線PM ， PN 的斜率都存在，并記為 PMk ， PNk ， 試探究 PM PNkK? 的值是否與點P 及直線 L 有關， 不必 證明你的結論。 （Ⅰ）求拋物線 C 的方程和點 M 的坐標； （Ⅱ）過 F2作拋物線 C 的兩條互相垂直的弦 AB、 DE，設弦 AB、 DE的中點分別為 F、 N，求證直線 FN 恒過定點； 解：（Ⅰ）由橢圓方程得半焦距 1)1(c 22 ??? aa＝ ………… 1 分 所以橢圓焦點為 ），（　　， 01F)01( 21 ?F ………… 2 分 又拋物線 C 的焦點為 )0,2(p ,2,12 ??? pp 　　　 xyC 42 ?? ： …… 3 分 設 ),( 11 yxM 則 121 4xy ? ，直線 MF1 的方程為 )1(11 1 ??? xx yy…… 4 分 代入拋物線 C 得 212121221 )1(4)1(4,)1(4)1( ?????? xxxxxxxy 即 MFxxxxx 112121 ,0)1( ?　　????? 與拋物線 C 相切， 04)1 21221 ????? xx＝（ ， )2,1(,11 ??? Mx 　 ………… 7 分 [來源 :學科網 ] （Ⅱ）設 AB 的方程為 1??tyx 代入 xy 42 ? ，得