解析幾何試題及答案(參考版)
2025-08-08 16:39本頁(yè)面
【正文】 39。 再設(shè)A，B，D的橫坐標(biāo)分別為 過(guò)點(diǎn)的拋物線C1的切線方程為： （1） 當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P（1，1）與圓C2的切線PA為： 可得 當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P（—1，1）與圓C2的切線PA為： 可得 ，所以 設(shè)切線PA，PB的斜率為，則 （2） （3） 將分別代入（1），（2），（3）得 從而 又，即 同理， 所以是方程的兩個(gè)不相等的根，從而 因?yàn)?，所?從而，進(jìn)而得 綜上所述，存在點(diǎn)P滿足題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為29.（20）（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問(wèn)4分，(Ⅱ)小問(wèn)8分.） 如題（20）圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線的方程為. （Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，其中是橢圓上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為，問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.[來(lái)源:]20．（本題12分）解：（I）由解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （II）設(shè)，則由得因?yàn)辄c(diǎn)M，N在橢圓上，所以，故設(shè)分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知因此所以所以P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義|PF1|+|PF2|為定值，又因，因此兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（21）圖，橢圓的中心為原點(diǎn)0，離心率e=，一 條準(zhǔn)線的方程是 （Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：，其中M、N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為，問(wèn)：是否存在定點(diǎn)F，使得與點(diǎn)P到直線l：的距離之比為定值；若存在，求F的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由。滿分15分。（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使線段被拋物線在點(diǎn)處得切線平分，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。過(guò)點(diǎn)做圓的兩條切線，交直線：于兩點(diǎn)。滿分15分。(ⅱ)點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且．求的值．【解】（Ⅰ）由得，再由得．因?yàn)檫B接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為，所以，則，解方程組得．所以橢圓的方程．（Ⅱ）(ⅰ)由（Ⅰ），由題意直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為。設(shè)線段的中點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為．下面分情況討論：(1) 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線為軸．于是，由得．(2) 當(dāng)時(shí)，線段的垂直平分線方程為 ．令得，由，．整理得．．所以．綜上，或．解法2．若軸，則,。．（本小題共l2分）橢圓有兩頂點(diǎn)A(－1，0)、B(1，0)，過(guò)其焦點(diǎn)F(0，1)的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求直線l的方程；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí)，求證：為定值．本小題主要考查直線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及基本性質(zhì)等基本知識(shí)，考查平面解析幾何的思想方法及推理運(yùn)算能力．解：（Ⅰ）因橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，所以，則橢圓方程為．直線l垂直于x軸時(shí)與題意不符．設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，則，．由已知得，解得，所以直線l的方程為或．（Ⅱ）直線l垂直于x軸時(shí)與題意不符．設(shè)直線l的方程為（且），所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)，由（Ⅰ）知，直線AC的方程為：，直線BD的方程為：，方法一：聯(lián)立方程設(shè)，解得，不妨設(shè)，則，因此Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，∴．故為定值．方法二：聯(lián)立方程消去y得，因?yàn)?，所以與異號(hào)．又，∴與異號(hào)，與同號(hào)，∴，解得．因此Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，∴．故為定值．．（本小題共l2分）過(guò)點(diǎn)C(0，1)的橢圓的離心率為，橢圓與x軸交于兩點(diǎn)、過(guò)點(diǎn)C的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．（I）當(dāng)直線l過(guò)橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：為定值．本小題主要考查直線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及基本性質(zhì)等基本知識(shí)，考查 平面解析幾何的思想方法及推理運(yùn)算能力．解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以橢圓方程為 ．橢圓的右焦點(diǎn)為，此時(shí)直線的方程為 ，代入橢圓方程得，解得，代入直線的方程得 ，所以，故．（Ⅱ）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)與題意不符．設(shè)直線的方程為．代入橢圓方程得．解得，代入直線的方程得，所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為．又直線AC的方程為，又直線BD的方程為，聯(lián)立得因此，又．所以．故為定值．．（本小題滿分分）已知橢圓的離心率．連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且．求的值．【解】（Ⅰ）由得，再由得．因?yàn)檫B接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為，所以，則，解方程組得．所以橢圓的方程．（Ⅱ）解法1．由（Ⅰ），由題意直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為。⑵ ，橢圓方程為，設(shè)，則∴ 時(shí)； 時(shí)。③ 選擇。⑵ 設(shè)線段的端點(diǎn)分別為，以直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，點(diǎn)集由如下曲線圍成，其面積為。∴b=4,又 得，即， 又由（I）得所以A（0，1）。|PQ|的最大值為 （III）橢圓C上不存在三點(diǎn)D，E，G，使得證明：假設(shè)存在，由（I）得因此D，E，G只能在這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過(guò)原點(diǎn)，與矛盾，
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