【正文】 內(nèi)部 2 2 ( 0)x py p? ? ?. 點 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)x py p??的外部 2 2 ( 0)x py p? ? ?. 點 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)x py p??的內(nèi)部 2 2 ( 0)x py p? ? ?. 點 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)x py p? ? ?的外部 2 2 ( 0)x py p? ? ? ?. 7. 拋物線的切線方程 拋物線 pxy 22 ? 上一點 00( , )Px y 處的切線方程是 00()y y p x x??. （ 2）過拋物線 pxy 22 ? 外一點 00( , )Px y 所引兩條切線的切點弦方程是 00()y y p x x??.（ 3）拋 物線2 2 ( 0)y px p??與直線 0Ax By C? ? ? 相切的條件是 2 2pB AC? . (六 ).兩個常見的曲線系方程 過曲線 1( , ) 0f x y ? , 2( , ) 0f x y ? 的交點的曲線系方程是 12( , ) ( , ) 0f x y f x y???(? 為參數(shù) ). 共焦點的有心圓錐曲線系方程221xya k b k????,其中 22max{ , }k a b? .當(dāng) 22min{ , }k a b? 時 ,表示橢圓 。 2 :ppy px P F x y px P F xx py P F y x py P F y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? （ 7）焦點弦長公式：對于過拋物線焦點的弦長，可以用焦半徑公式推導(dǎo)出弦長公式。 事實上，直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為 21 ba ，而不是 21 ab。 剖析：本題的“陷阱”是方程 x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0 表示圓的充要條件，上述解法僅由條件得出 AC ＞ r ，即 a2 + a + 9 ＞ 0，卻忽視了 a 的另一制約條件 4 – 3 a2 ＞ 0。 由于經(jīng)過 A 點且與 L0 平行的直線與原點的距離最大， 故 z = 3x + 5y 在 A 點取得最大值。 例題 10 已知圓 1: 221 ?? yxO ，圓 :2O 091022 ???? xyx 都內(nèi)切于動圓，試求動圓圓心的軌跡方程。 剖析 上述錯解過程忽視了過原點斜率不存在的直線，當(dāng) l 的斜率不存在時， 有 |||| FBFA ? 4252525 ??? 所以 FBFA?|| 有最小值為 3，最大值為 25/4 課后練習(xí)題 圓 x2 + 2x + y2 + 4y –3 = 0 上到直線 x + y + 1 = 0 的距離等于 2 的點共有（ ） A、 1 個 B、 2 個 C、 3 個 D、 4 個 分析：這里 直線和圓相交，很多同學(xué)受思維定勢的影響，錯誤地認(rèn)為圓在此直線的兩側(cè)各有兩點到直線的距離為 2 ，導(dǎo)致錯選（ D ）。 1設(shè) 1F 和 2F 為雙曲線 14 22 ??yx的兩個焦點，點在雙曲線上且滿足 ?9021 ?? PFF ，則 21PFF? 的面積是（ ）。錯解： 2 錯因：設(shè) )3( ?? xky 代入橢圓的方程算出有兩條，當(dāng) k 不存在，即直線 AB x? 軸時，｜ AB｜＝ 4，忽視此種情況。正確的做法是利用雙曲線的第二定義來求出方程（下略）。 解題反思：使用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系必需要注意檢驗根的判別式 0?? 是否成立。 （ 2）點 P 處的切線與 x 軸、 y 軸所圍成的平面圖形的面積 . 17．已知 2|3 11|: ??? xP , )0(012: 22 ????? mmxxq , 若 qp ??是 的必要不 充分條件，求實數(shù) m 的取值范圍 . 18．設(shè) P：關(guān)于 x 的不等式 1?xa 的解集是 ? ?0| ?xx Q：函數(shù) )lg( 2 axaxy ??? 的定義域為 R. 如果 P 和 Q 有且僅有一個正確，求 a 的取值范圍 . 19．設(shè) 0p? 是一個常數(shù) ,過 點 (2 ,0)Qp 的直線與拋物線 2 2y px? 交于相異兩點 A, B, 以線段 AB 為直徑作圓 H (H 為圓心 ). (1)試證拋物線頂點在圓 H 的圓周上 。 設(shè)雙曲線的漸近線為： xy 23?? ，求其離心率。 而事實上 P 若在右支上，則其到 F1 的最短距離應(yīng)為右頂點 A2 到 F1 的距離 | A2 F1|＝ a+c＝ 8，而 8316? ，故點 P 只能在左支，于是 |PF2|= 3343166 ?? 。 1過函數(shù) y= 294??xx 的圖象的對稱中心，且和拋物線 y2=8x 有且只有一個公共點的直線的條數(shù)共有（ ） A、 1 條 B、 2 條 C、 3 條 D、不存在 正確答案：（ B） 錯誤原因 ：解本題時極易忽視中心（ 2， 4）在拋物線上，切線只有 1 條，又易忽視平行于拋物線對稱軸的直線和拋物線只有一個公共點。 已知 ? 是三角形的一個內(nèi)角，且 sin? +cos? =51 則方程 x2 sin? － y2 cos? =1 表示（ ） A 焦 點在 x 軸上的雙曲線 B 焦點在 y 軸上的雙曲線 C 焦點在 x 軸上的橢圓 D 焦點在 y 軸上的橢圓 正確答案： D 錯因：學(xué)生不能由 sin? +cos? =51 判斷角 ? 為鈍角。 錯解 設(shè)符合題意的直線 l 存在，并設(shè) ),( 21 xxP 、 ),( 22 yxQ 則 ???????????)2(12)1(1222222121yxyx （ 1） )2(? 得 ))(( 2121 xxxx ?? )3())((21 2121 yyyy ??? 因為 A（ 1， 1）為線段 PQ 的中點，所以 ??? ?? ?? )5(2 )4(22121 yy xx 將 (4)、 (5)代入（ 3）得 )(21 2121 yyxx ??? 若 21 xx? ，則直線 l 的斜率 22121 ???? xx yyk 所以符合題設(shè)條件的直線 l 存在。 （ 2）求證方程 xxf ?)( 的兩實根 1x ， 2x 滿足 2|| 21 ??xx 解答：（ 1）設(shè) ( 2 , 2 ) , ( 2 , 2 ) , 0B s s D s s s? ? ? ? ? 因為 B,D 在拋物線上 所以222 ( 2 ) ( 2 )2 ( 2 ) ( 2 )s S b S cS S b S c? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 兩式相減得 2 8 2s s sb?? ? 則 5b?? 代入（ 1） 得 22 4 4 10 5s s s s c? ? ? ? ? ? ? 288cs? ? ? ? 故點 ( , )Nbc 的方程 5( 8)xy?? ? 是一條射 線。 剖析：因為 A、 B、 C 三點為三角形三個頂點，所以 A、 B、 C 三點不共線，即 B、 C 不能重合，且不能為圓 A 一直徑的兩個端點，這正是解題后沒有對軌跡進(jìn)行檢驗，出現(xiàn)增解，造成的解題錯誤。 例題 4 已知圓的方程為 x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定點為 A（ 1， 2），要使過 A 點作圓的切線有兩條，求 a 的取值范圍。 例題 1 求過點（ 2， 1）且與兩坐標(biāo)所圍成的三角形面積為 4 的直線方程。解析幾何單元易錯題練習(xí) 一．考試內(nèi)容： 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 .橢圓的簡單幾何性質(zhì) .橢圓的參數(shù)方程 . 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 .雙曲線的簡單幾何性質(zhì) . 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 .拋物線的簡單幾何性質(zhì) . 二．考試要求： 掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程 . 掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì) . 掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì) . 了解圓錐曲線的初步應(yīng)用 . 【注意】圓錐曲線是解析幾何的重點，也是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，高考中主要出現(xiàn)三種類型的試題： ① 考查圓錐曲線的概念與性質(zhì) ； ② 求曲線方程和軌跡； ③ 關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題 . 三．基礎(chǔ)知識 : 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動點與兩定點 1F 、 2F 的距離的和大于 | 1F 2F |這個條件不可忽視 .若這個距離之和小于 | 1F 2F |，則這樣的點不存在；若距離之和等于 | 1F 2F |，則動點的軌跡是線段 1F 2F . ： 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0）， 12222 ??bxay（ a ＞ b ＞ 0） . ：判別焦點在哪個軸只要看分母的大小：如果 2x 項的分母大于 2y 項的分母，則橢圓的焦點在 x 軸上，反之，焦點在 y 軸上 . ：⑴ 正確判斷焦點的位置；⑵ 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解 . 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程為 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0） . ⑴ 范圍： a≤ x≤ a， b≤ x≤ b，所以橢圓位于直線 x= a? 和 y= b? 所圍成的矩形里 . ⑵ 對稱性：分別關(guān)于 x 軸、 y 軸成軸對稱，關(guān)于原點中心對稱 .橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心 . ⑶ 頂點：有四個 1A （ a， 0）、 2A （ a， 0） 1B （ 0， b）、 2B （ 0， b） . 線段 1A 2A 、 1B 2B 分別叫做橢圓的長軸和短軸 .它們的長分別等于 2a 和 2b， a 和 b 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長 . 所以橢圓和它的對稱軸有四個交點，稱為橢圓的頂點 . ⑷ 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比 ace? 叫做橢圓的離心率 .它的值表示橢圓的扁平程度 .0＜ e＜ 越接近 于 1 時，橢圓越扁；反之， e 越接近于 0 時，橢圓就越接近于圓 . ⑴ 定義：平面內(nèi)動點 M 與一個頂點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù) ace? （ e＜ 1＝時，這個動點的軌跡是橢圓 . ⑵ 準(zhǔn)線：根據(jù)橢圓的對稱性， 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0）的準(zhǔn)線有兩條，它們的方程為 cax2??.對于橢圓 12222 ??bxay（ a ＞ b ＞ 0）的準(zhǔn)線方程，只要把 x 換成 y 就可以了，即 cay2??. ：由橢圓上任意一點與其焦點所連的線段叫做這點的焦半徑 . 設(shè) 1F （ c， 0）， 2F （ c， 0）分別為橢圓 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0）的左、右兩焦點， M（ x， y）是橢圓上任一點，則兩條焦半徑長分別為 exaMF ??1 ， exaMF ??2 . 橢圓中涉及焦半徑時運(yùn)用焦半徑知識解題往往比較簡便 . 橢圓的四個主要元素 a、 b、 c、 e 中有 2a = 2b + 2c 、 ace? 兩個關(guān)系，因此確定橢 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需兩個獨立條件 . 橢圓 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0）的參數(shù)方程為cossinxayb????? ??（θ為參數(shù)） . 說明 ⑴ 這里參數(shù)θ叫做橢圓的離心角 . 橢圓上點 P 的離心角θ與直線 OP 的傾斜角α不同：?? tantan ab? ； ⑵ 橢圓的參數(shù)方程可以由方程 12222 ??byax與三角恒等式 1sincos 22 ?? ?? 相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實質(zhì)是三角代換 . 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的參數(shù)方程是cossinxayb????? ??. 的內(nèi)外部 （ 1）點 00( , )Px y 在 橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的內(nèi)部22020xyab? ? ?. （ 2）點 00( , )Px y 在 橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的外部22020xyab? ? ?. 6. 橢圓 的切線方程 橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?上一點 00( , )Px y 處的切線方程是 00221x x y yab??. （ 2）過橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?外一點 00( , )Px y 所引兩條切線的切點弦方程是 00221x x y yab??. （ 3）橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?與直線 0Ax By C? ? ? 相切的條件是 2 2