【正文】 題： ① 考查圓錐曲線的概念與性質(zhì) ； ② 求曲線方程和軌跡； ③ 關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題 . 三．基礎(chǔ)知識 : 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動點(diǎn)與兩定點(diǎn) 1F 、 2F 的距離的和大于 | 1F 2F |這個條件不可忽視 .若這個距離之和小于 | 1F 2F |，則這樣的點(diǎn)不存在；若距離之和等于 | 1F 2F |，則動點(diǎn)的軌跡是線段 1F 2F . ： 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0）， 12222 ??bxay（ a ＞ b ＞ 0） . ：判別焦點(diǎn)在哪個軸只要看分母的大?。喝绻?2x 項的分母大于 2y 項的分母，則橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上，反之，焦點(diǎn)在 y 軸上 . ：⑴ 正確判斷焦點(diǎn)的位置；⑵ 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解 . 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程為 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0） . ⑴ 范圍： a≤ x≤ a， b≤ x≤ b，所以橢圓位于直線 x= a? 和 y= b? 所圍成的矩形里 . ⑵ 對稱性：分別關(guān)于 x 軸、 y 軸成軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱 .橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心 . ⑶ 頂點(diǎn)：有四個 1A （ a， 0）、 2A （ a， 0） 1B （ 0， b）、 2B （ 0， b） . 線段 1A 2A 、 1B 2B 分別叫做橢圓的長軸和短軸 .它們的長分別等于 2a 和 2b， a 和 b 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長 . 所以橢圓和它的對稱軸有四個交點(diǎn)，稱為橢圓的頂點(diǎn) . ⑷ 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比 ace? 叫做橢圓的離心率 .它的值表示橢圓的扁平程度 .0＜ e＜ 越接近 于 1 時，橢圓越扁；反之， e 越接近于 0 時，橢圓就越接近于圓 . ⑴ 定義：平面內(nèi)動點(diǎn) M 與一個頂點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù) ace? （ e＜ 1＝時，這個動點(diǎn)的軌跡是橢圓 . ⑵ 準(zhǔn)線：根據(jù)橢圓的對稱性， 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0）的準(zhǔn)線有兩條，它們的方程為 cax2??.對于橢圓 12222 ??bxay（ a ＞ b ＞ 0）的準(zhǔn)線方程，只要把 x 換成 y 就可以了，即 cay2??. ：由橢圓上任意一點(diǎn)與其焦點(diǎn)所連的線段叫做這點(diǎn)的焦半徑 . 設(shè) 1F （ c， 0）， 2F （ c， 0）分別為橢圓 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0）的左、右兩焦點(diǎn)， M（ x， y）是橢圓上任一點(diǎn)，則兩條焦半徑長分別為 exaMF ??1 ， exaMF ??2 . 橢圓中涉及焦半徑時運(yùn)用焦半徑知識解題往往比較簡便 . 橢圓的四個主要元素 a、 b、 c、 e 中有 2a = 2b + 2c 、 ace? 兩個關(guān)系，因此確定橢 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需兩個獨(dú)立條件 . 橢圓 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0）的參數(shù)方程為cossinxayb????? ??（θ為參數(shù)） . 說明 ⑴ 這里參數(shù)θ叫做橢圓的離心角 . 橢圓上點(diǎn) P 的離心角θ與直線 OP 的傾斜角α不同：?? tantan ab? ； ⑵ 橢圓的參數(shù)方程可以由方程 12222 ??byax與三角恒等式 1sincos 22 ?? ?? 相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實質(zhì)是三角代換 . 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的參數(shù)方程是cossinxayb????? ??. 的內(nèi)外部 （ 1）點(diǎn) 00( , )Px y 在 橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的內(nèi)部22020xyab? ? ?. （ 2）點(diǎn) 00( , )Px y 在 橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的外部22020xyab? ? ?. 6. 橢圓 的切線方程 橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?上一點(diǎn) 00( , )Px y 處的切線方程是 00221x x y yab??. （ 2）過橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?外一點(diǎn) 00( , )Px y 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 00221x x y yab??. （ 3）橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?與直線 0Ax By C? ? ? 相切的條件是 2 2 2 2 2A a B b c?? 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn) 1F 、 2F 的距離的差的絕對值等于常數(shù) 2a（小于 | 1F 2F |）的動點(diǎn) M 的軌跡叫做雙曲線 .在這個定義中，要注意條件 2a＜ | 1F 2F |，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解 .若 2a=| 1F 2F |，則動點(diǎn)的軌跡是兩條射線；若 2a＞ | 1F 2F |，則無軌跡 . 若 1MF ＜ 2MF 時，動點(diǎn) M 的軌跡僅為雙曲線的一個分支，又若 1MF ＞ 2MF 時，軌跡為雙曲線的另一支 .而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應(yīng)為“差的絕對值” . 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 12222 ??byax和 12222 ??bxay（ a＞ 0， b＞ 0） .這里 222 acb ?? ，其中 | 1F 2F |=注意這里的 a、 b、 c 及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同 . ：如果 2x 項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在 x 軸上；如果 2y 項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在 y 軸上 .對于雙曲線， a 不一定大于 b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上 . ，應(yīng)注意兩個問題：⑴ 正確判斷焦點(diǎn)的位置； ⑵ 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解 . 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 雙曲線 12222 ??byax的實軸長為 2a，虛軸長為 2b，離心率 ace? ＞ 1，離心率 e 越大，雙曲線的開口越大 . 雙曲線 12222 ??byax的漸近線方程為 xaby ?? 或表示為 02222 ??byax.若已知雙曲線的漸近線方程是xnmy ?? ，即 0??nymx ，那么雙曲線的方程具有以下形式： kynxm ?? 2222 ，其中 k 是一個不為零的常數(shù) . 雙曲線的第二定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）與到定直線（準(zhǔn)線）距離的比是一個大于 1 的常數(shù)（離心率）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線 .對于雙曲線 12222 ??byax，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ c， 0）和（ c， 0），與它們對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是 cax2??和 cax2?.雙曲線22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的焦半徑公式 21 | ( ) |aPF e x c??，22 | ( ) |aPF e xc??. 雙曲 線 的內(nèi)外部 點(diǎn) 00( , )Px y 在雙曲線22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的內(nèi)部22020xyab? ? ?. 點(diǎn) 00( , )Px y 在雙曲線22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的外部22020xyab? ? ?. 雙曲 線 的方程與 漸近線方程的關(guān)系 (1）若雙曲線方程為 12222 ??byax ?漸近線方程：220xyab? ? ? xaby ??. 若漸近線方程為 xaby ?? ? 0??byax ? 雙曲線可設(shè)為 ??? 2222 byax. 若雙曲線與 12222 ??byax有公共漸近線，可設(shè)為 ??? 2222 byax（ 0?? ，焦點(diǎn)在 x 軸上， 0?? ，焦點(diǎn)在 y軸上） . 雙曲線的切線方程 雙曲線22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?上一點(diǎn) 00( , )Px y 處的切線方程是 00221x x y yab??. （ 2）過雙曲線22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?外一點(diǎn) 00( , )Px y 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 00221x x y yab??. （ 3）雙曲線22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?與直線 0Ax By C? ? ? 相切的條件是 2 2 2 2 2A a B b c??. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 1．拋物線的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)（ F）和一條定直線（ l）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線。這個定點(diǎn) F叫拋物線的焦點(diǎn)，這條定直線 l 叫拋物線的準(zhǔn)線。 2．拋物線的方程有四種類型： pxy 22 ? 、 pxy 22 ?? 、 pyx 22 ? 、 pyx 22 ?? . 對于以上四種方程：應(yīng)注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對稱軸是哪個軸，方程中的該項即為一次項；一次項前面是正號則曲線的開口方向向 x 軸或 y 軸的正方向；一次項前面是負(fù)號則曲線的開口方向向 x 軸或 y 軸的負(fù)方向。 2 :222 : 。設(shè)過拋物線 y2=2px（ p＞ O）的焦點(diǎn) F 的弦為 AB， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， AB 的傾斜角為α，則有① |AB|=x1 +x2 +p 以上兩公式只適合過焦點(diǎn)的弦長的求法，對于其它的弦，只能用“弦長公式”來求。 pxy 22 ? 上的動點(diǎn)可設(shè)為 P ),2(2?? ypy 或 或)2,2( 2 ptptP P ( , )xy ，其中 2 2y px? . 5. 二次函數(shù)222 4()24b a c by a x b x c a x aa ?? ? ? ? ? ?( 0)a?的 圖 象 是 拋 物 線 ：（ 1 ） 頂 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為24( , )24b ac baa??；（ 2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為241( , )24b ac baa???；（ 3）準(zhǔn)線方程是2414ac by a???. 點(diǎn) 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)y px p??的內(nèi)部 2 2 ( 0)y px p? ? ?. 點(diǎn) 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)y px p??的外部 2 2 ( 0)y px p? ? ?. 點(diǎn) 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)y px p? ? ?的內(nèi)部 2 2 ( 0)y px p? ? ? ?. 點(diǎn) 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)y px p? ? ?的外部 2 2 ( 0)y px p? ? ? ?. 點(diǎn) 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)x py p??的內(nèi)部 2 2 ( 0)x py p? ? ?. 點(diǎn) 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)x py p??的外部 2 2 ( 0)x py p? ? ?. 點(diǎn) 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)x py p??的內(nèi)部 2 2 ( 0)x py p? ? ?. 點(diǎn) 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)x py p? ? ?的外部 2 2 ( 0)x py p? ? ? ?. 7. 拋物線的切線方程 拋物線 pxy 22 ? 上一點(diǎn) 00( , )Px y 處的切線方程是 00()y y p x x??. （ 2）過拋物線 pxy 22 ? 外一點(diǎn) 00( , )Px y 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 00()y y p x x??.（ 3）拋 物線2 2 ( 0)y px p??與直線 0Ax By C? ? ? 相切的條件是 2 2pB AC? . (六 ).兩個常見的曲線系方程 過曲線 1( , ) 0f x y ? , 2( , ) 0f x y ? 的交點(diǎn)的曲線系方程是 12( , ) ( , ) 0f x y f x y???(? 為參數(shù) ). 共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程221xya k b k????,其中 22max{ , }k a b? .當(dāng) 22min{ , }k a b? 時 ,表示橢圓 。 雙曲線 12222 ??byax（ a0， b0）的焦點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離為 b。（ 2） y1y2=－ p2， x1x2= 42p。 處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點(diǎn)問題常用代點(diǎn)相減法，設(shè) A(x1， y1)、 B(x2,y2)為橢圓 12222 ??byax（ ab0）上不同的兩點(diǎn)， M(x0,y0)是 AB 的中點(diǎn)，則 KABKOM= 22ab?；對于雙曲線 12222 ??byax（ a0， b0），類似可得： = 22ab；對于 y2=2px(p≠ 0)拋物線有 KAB＝ 212yy p? 求軌跡的常用方法： （ 1）直接法：直接通過建立 x、 y 之間的關(guān)系，構(gòu)成 F(x,y)＝ 0，是求軌跡的最基本的方法； （ 2）待定系數(shù)法：所求曲線是所學(xué)過的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據(jù)條件列出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的方程即可； （ 3）代入法（相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法）：若動點(diǎn) P(x,y)依賴于另一動點(diǎn) Q(x1,y1)的變化而變化，并且 Q(x1,y1)又在某已知曲線上，則可先用 x、 y 的代數(shù)式表示 x y1，再將 x y1 帶入已知曲線得要求的軌跡方程； （ 4）定義法：如果能夠確定動點(diǎn)的軌跡滿足 某已知曲線的定義，則可由曲線的定