【正文】 義直接寫出方程； （ 5）參數(shù)法：當動點 P（ x,y）坐標之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將 x、 y 均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程。 錯解：設(shè)所求直線方程為 1??byax 。故所求直線方程為 x + 2 y = 4 。上述解法中，由于對截距概念模糊不清，誤將直線在 x 軸和 y 軸上的截距作距離使用而掉入“陷阱”。 故所求直線方程應(yīng)為： x + 2 y = 4，或（ 2 +1） x 2（ 2 1） y – 4 = 0，或（ 2 1） x 2（ 2 +1） y +4 = 0。 錯解：設(shè)直線斜率為 k，其方程為 y – 2 = k（ x + 4），則與 x 軸的交點為（ 4k2 ， 0）， ∴ 5124 ???? k，解得 k = 51 。 剖析：題中僅考慮了斜率存在的情況，忽視了斜率不存在的情況，即經(jīng)過 A 且垂直于 x 軸的直線，落入“陷阱”。 例題 3 求過點（ 1， 1）且橫、縱截距相等的直線方程。 剖析：上述錯解所設(shè)方程為 1??ayax ，其中不含橫、縱截距為 0 的特殊情形，事實上，橫、縱截距為 0且過點（ 1， 1）的直線 y = x 也符合條件。 錯解：將圓的方程配方得： ( x + 2a )2 + ( y + 1 )2 = 4342a?。 當點 A 在圓外時，過點 A 可作圓的兩條切線，則 AC ＞ r 。即 a2 + a + 9 ＞ 0，解得 a∈ R。 事實上，由 a2 + a + 9 ＞ 0 及 4 – 3 a2 ＞ 0 可得 a 的取值范圍是（ 332,332? ）。 錯解：由 ?????21,xybxy????消去 x 得： 2y2 2by + b2 – 1 = 0。 事實上，曲線 C 和直線 L 有兩個公共點等價于方程（ *）有兩個不等的非負實根。 例題 6 等腰三角形頂點是 A（ 4， 2），底邊的一個端點是 B（ 3， 5），求另一個端點 C 的軌跡方程。 這是以 A（ 4， 2）為圓心、以為半徑的圓。 事實上， C 點的坐標須滿足 ??? ??53yx，且?????????225423yx， 故端點 C 的軌跡方程應(yīng)為（ x 4） 2 + ( y2 )2 = 10 ( x? 3,y? 5； x? 5,y? － 1)。 例題 7 求 z = 3 x + 5 y 的最大值和最小值，使式中的 x ， y 滿足約束條件： ???????????351y153y5x yxx 錯解：作出可行域如圖 1 所 示，過原點作直線 L0： 3 x + 5 y = 0 。解方程組 ?????????153535yxyx，得 B 點坐標為（ 3， 0），∴ z 最?。?3? 3＋5? 0=9。 解方程組 ??? ?? ?? 1535 1yx xy，得 A 點坐標為（ 23 ， 25 ）。 剖析：上述解法中，受課本例題的影響，誤 認為在對過原點的直線 L0 的平行移動中，與原點距 離最大的直線所經(jīng)過的可行域上的點，即為目標函 數(shù) Z 取得最大值的點。 事實上，過原點作直線 L0： 3x + 5y = 0，由 于使 z = 3x + 5y ＞ 0 的區(qū)域為直線 L0 的 右上方，而使 z = 3x + 5y ＜ 0 的區(qū)域為 L0 的 左下方。 解方程組 ??? ?? ?? 35 1yx xy，得 C（－ 2，－ 1）。 例題 8 已知正方形 ABCD 對角線 AC 所在直線方程為 xy? .拋物線 cbxxxf ??? 2)( 過 B， D 兩點 （ 1）若正方形中心 M 為（ 2， 2）時，求點 N(b,c)的軌跡方程。 （ 2）設(shè) ( , ) , ( , ) 0B t s t s D t s t s s? ? ? ? ? 同上22( ) ( ) (1 )( ) ( ) ( 2 )t s t s b t s ct s t s b t s c? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? （ 1） （ 2）得 12bt ??? (3) （ 1） +（ 2）得 22( 1 ) 0 ( 4 )s b t t c? ? ? ? ? （ 3）代入（ 4）消去 t 得222 1 ( 1 ) 024bbsc??? ? ? ? 得 2( 1) 4 4bc? ? ? 又 ()f x x? 即 2 ( 1) 0x b x c? ? ? ?的兩根 12,xx滿足 121x x b? ? ? 12x x c?? 2 2 21 2 1 2 1 2| | ( ) 4 ( 1 ) 4 4x x x x x x b c? ? ? ? ? ? ? ? ? 故 12| | 2xx??。 例題 9 已知雙曲線兩焦點 12,FF，其中 1F 為 21 ( 1) 14yx? ? ? ?的焦點，兩點 A (3,2) B (1,2)都在雙曲線上，（ 1）求點 1F 的坐標；（ 2）求點 2F 的軌跡方程，并畫出軌跡的草圖；（ 3）若直線 y x t??與 2F 的軌跡方程 有且只有一個公共點，求實數(shù) t 的取值范圍。 （ 3）聯(lián)列：2( 1) ( 2) 184y x txy????? ?????? 消去 y 得 22( 1 ) 2( 2) 8x x t? ? ? ? ? 整理得： 223 ( 4 6 ) 2 8 1 0x t x t t? ? ? ? ? ? 當 0? 時 得 3 2 3t?? 從圖可知： ( , 3 2 3 ) ( 3 2 3 , )t ? ? ? ? ? ? ? ?， 又因為軌跡除去點 ( 1,0),( 1,4)?? 所以當直線過點 ( 1,0),( 1,4)??時也只有一個交點，即 1t? 或 5 ( , 3 2 3 ) ( 3 2 3 , ) { 1 , 5 }t? ? ?? ? ? ? ?? ? 易錯原因：（ 1）非標準方程求焦點坐標時計算易錯；（ 2）求點 2F 的軌跡時易少一種情況；（ 3）對有且僅有一個交點誤認為方程只有一解。 錯解：圓 O2： 091022 ???? xyx ，即為 16)5( 22 ??? yx 所以圓 O2 的圓心為 )0,5(2O ,半徑 42?r , 而圓 1: 221 ?? yxO 的圓心為 )0,0(1O ,半徑 11?r , 設(shè)所求動圓圓心 M 的坐標為 (x,y),半徑為 r 則 1|| 1 ?? MOr 且 4|| 2 ?? MOr ，所以 3|||| 21 ?? MOMO 即 3)5( 2222 ????? yxyx ，化簡得 06498016 22 ???? yxx 即1449)25( 22??? yx為所求動圓圓心的軌跡方程。 事實上， | 3||| 21 ?? MOMO 表示動點 M 到定點 1O 及 2O 的距離差為一常數(shù) 3。 錯解：設(shè)動點 P(x,y)到直線 x=8 的距離為 d，則 ,31|| ?dPF 即 31|8| )2( 22 ?? ??x yx 兩邊平方、整理得 29)49()45( 222 yx??=1 （ 1） 由此式可得： 222 )49()921()45( ???? yx 因為 221 )3()45(|| ???? yxPP 222 )3()49()921( ????? yy 161377)24(81 2 ???? y 所以 || 1PP 1534316137 7m a x ?? 剖析 由上述解題過程知 ,動點 P(x,y)在一橢圓上，由橢圓性質(zhì)知，橢圓上點的橫縱坐標都是有限制的，上述錯解在于忽視了 223223 ??? y 這一取值范圍，由以上解題過程知， || 1PP 的最值可由二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性給予解決 即：當 223??y 時， 2233|| m ax1 ??PP 例題 12 已知雙曲線 )0,0(12222 ???? babyax的離心率 e= 332 , 過點 A（ b?,0 ）和 B(a,0)的直線與原點的距離為 23 ,直線 y=kx+m )0,0( ?? mk 與該雙曲線交于不同兩點 C、 D，且 C、 D 兩點都在以 A 為圓心的同一圓上，求 m 的取值范圍。 因為 02?k 所以 41??m 故所求 m 的范圍應(yīng)為 m4 或 041 ??? m 例題 13 橢圓中心是坐標原點，長軸在 x 軸上，離心率 23?e ,已知點 P（ 23,0 ）到橢圓上的點最遠距 離是 7 ，求這個橢圓的方程。 綜上所述，所求橢圓方程為 14 22 ??yx 例題 15 已知雙曲線 1222 ?? yx,問過點 A（ 1， 1）能否作直線 l ,使 l 與雙曲線交于 P、 Q 兩點，并且 A為線段 PQ 的中點？若存在，求出直線 l 的方程，若不存在，說明理由。其方程為 012 ??? yx 剖析 在（ 3）式成立的前提下，由 (4)、（ 5）兩式可推出 (6)式，但由 (6)式不能推出 (4)(5)兩式，故應(yīng)對所求直線進行檢驗，上述錯解沒有做到這一點，故是錯誤的。 例題 15 已知橢圓 134 )1(:22 ??? yxC， F 為它的右焦點，直線 l 過原點交橢圓 C 于 A、 B 兩點。 錯解 設(shè) A、 B 兩點坐標分別為 ),( AA yx 、 ),( BB yx 因為 3,4 22 ?? ba ， 所以 122 ??? bac ， 4,212 ??? caace 又橢圓中心為（ 1， 0） ,右準線方程為 x=5， 所以 215 || ??AxFA 即 )5(21|| AxFA ?? ，同理 )5(21|| BxFB ?? 所以 |||| FBFA ? )1(])(525[41 BABA xxxx ???? Y X A B C O x+ y= 1 設(shè)直線 l 的方程為 y=kx，代入橢圓方程得 096)43( 22 ???? xxk 所以 ?? BA xx 22 43 9,43 6 kxxk BA ???? 代入 (1)式得 |||| FBFA ? )43 3925(41 2k??? 所以 425||||3 ??? FBFA ，所以 FBFA?|| |有最小值 3,無最大值。 事實上，已知圓的方程為： （ x +1） 2 + (y+2) 2 = 8，這是一個 以（ 1， 2）為圓心，以 2 2 為 半徑的圓，圓的圓心到直線 x + y + 1 = 0 的距離 為 d= 2121 ???= 2 ， 這樣只需畫出（ x +1） 2 + (y+2) 2 = 8 和直線 x + y + 1 = 0 以及和 x + y + 1 = 0 的距離為 2 的平行直線即可。 過定點（ 1， 2）作兩直線與圓 2 2 22 15 0x y k x y k? ? ? ? ? ?相切，則 k 的取值范圍是 A k2 B 3k2 C k3 或 k2 D 以上皆不對 解 答： D 易錯原因：忽略題中方程必須是圓的方程，有些學(xué)生不考慮 2240D E F? ? ? 設(shè)雙曲線22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的半焦距為 C，直線 L 過 ( ,0),(0, )ab兩點，已知原點到直線 L 的距離為 34C ，則雙曲線的離心率為 A 2 B 2 或 233 C 2 D 233 解 答： D 易錯原因：忽略條件 0ab?? 對離心率范圍的限制。 若曲線 2 4yx??與直線 ( 2)y k x??+3 有兩個不同的公共點，則實數(shù) k 的取值范圍是 A 01k?? B 30 4k?? C 31 4k? ? ? D 10k? ? ? 解 答： C 易錯原因：將曲線 2 4yx??轉(zhuǎn)化為 224xy??時不考慮縱坐標的范圍；另外沒有看清過點 (2,3)且與漸近線 yx? 平行的直線與雙曲線的位置關(guān)系。︱ OQ︱ =( ) A 1+m2 B 215m? C 5 D 10 正確答案： C 錯因：學(xué)生不能結(jié)合初中學(xué)過的切割線定︱ OP︱ 雙曲線 92x－ 42y＝ 1 中，被點 P(2,1)平分的弦所在直線方程是（ ） A 8x9y=7 B 8x+9y=25 C 4x9y=16 D 不存在 正確答案： D 錯因：學(xué)生用“點差法” 求出直線方程沒有用“△”驗證直線的存在性。 過拋物線的焦點 F 作互相垂直的兩條直線，分別交準線于 P、 Q 兩點，又過 P、 Q 分別作拋物線對稱軸OF 的平行線交拋 物線于 M﹑ N 兩點 ,則 M﹑ N﹑ F 三點 A 共圓 B 共線 C 在另一條拋物線上 D 分布無規(guī)律