【正文】 橢圓的簡單幾何性質(zhì) .橢圓的參數(shù)方程 . 雙曲線及其標準方程 .雙曲線的簡單幾何性質(zhì) . 拋物線及其標準方程 .拋物線的簡單幾何性質(zhì) . 二．考試要求： 掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程 . 掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì) . 掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì) . 了解圓錐曲線的初步應(yīng)用 . 【注意】圓錐曲線是解析幾何的重點，也是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，高考中主要出現(xiàn)三種類型的試題： ① 考查圓錐曲線的概念與性質(zhì) ； ② 求曲線方程和軌跡； ③ 關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題 . 三．基礎(chǔ)知識 : 橢圓及其標準方程 橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動點與兩定點 1F 、 2F 的距離的和大于 | 1F 2F |這個條件不可忽視 .若這個距離之和小于 | 1F 2F |，則這樣的點不存在；若距離之和等于 | 1F 2F |，則動點的軌跡是線段 1F 2F . ： 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0）， 12222 ??bxay（ a ＞ b ＞ 0） . ：判別焦點在哪個軸只要看分母的大小：如果 2x 項的分母大于 2y 項的分母，則橢圓的焦點在 x 軸上，反之，焦點在 y 軸上 . ：⑴ 正確判斷焦點的位置；⑵ 設(shè)出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解 . 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程為 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0） . ⑴ 范圍： a≤ x≤ a， b≤ x≤ b，所以橢圓位于直線 x= a? 和 y= b? 所圍成的矩形里 . ⑵ 對稱性：分別關(guān)于 x 軸、 y 軸成軸對稱，關(guān)于原點中心對稱 .橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心 . ⑶ 頂點：有四個 1A （ a， 0）、 2A （ a， 0） 1B （ 0， b）、 2B （ 0， b） . 線段 1A 2A 、 1B 2B 分別叫做橢圓的長軸和短軸 .它們的長分別等于 2a 和 2b， a 和 b 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長 . 所以橢圓和它的對稱軸有四個交點，稱為橢圓的頂點 . ⑷ 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比 ace? 叫做橢圓的離心率 .它的值表示橢圓的扁平程度 .0＜ e＜ 越接近 于 1 時，橢圓越扁；反之， e 越接近于 0 時，橢圓就越接近于圓 . ⑴ 定義：平面內(nèi)動點 M 與一個頂點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù) ace? （ e＜ 1＝時，這個動點的軌跡是橢圓 . ⑵ 準線：根據(jù)橢圓的對稱性， 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0）的準線有兩條，它們的方程為 cax2??.對于橢圓 12222 ??bxay（ a ＞ b ＞ 0）的準線方程，只要把 x 換成 y 就可以了，即 cay2??. ：由橢圓上任意一點與其焦點所連的線段叫做這點的焦半徑 . 設(shè) 1F （ c， 0）， 2F （ c， 0）分別為橢圓 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0）的左、右兩焦點， M（ x， y）是橢圓上任一點，則兩條焦半徑長分別為 exaMF ??1 ， exaMF ??2 . 橢圓中涉及焦半徑時運用焦半徑知識解題往往比較簡便 . 橢圓的四個主要元素 a、 b、 c、 e 中有 2a = 2b + 2c 、 ace? 兩個關(guān)系，因此確定橢 圓的標準方程只需兩個獨立條件 . 橢圓 12222 ??byax（ a ＞ b ＞ 0）的參數(shù)方程為cossinxayb????? ??（θ為參數(shù)） . 說明 ⑴ 這里參數(shù)θ叫做橢圓的離心角 . 橢圓上點 P 的離心角θ與直線 OP 的傾斜角α不同：?? tantan ab? ； ⑵ 橢圓的參數(shù)方程可以由方程 12222 ??byax與三角恒等式 1sincos 22 ?? ?? 相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實質(zhì)是三角代換 . 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的參數(shù)方程是cossinxayb????? ??. 的內(nèi)外部 （ 1）點 00( , )Px y 在 橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的內(nèi)部22020xyab? ? ?. （ 2）點 00( , )Px y 在 橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的外部22020xyab? ? ?. 6. 橢圓 的切線方程 橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?上一點 00( , )Px y 處的切線方程是 00221x x y yab??. （ 2）過橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?外一點 00( , )Px y 所引兩條切線的切點弦方程是 00221x x y yab??. （ 3）橢圓22 1( 0 )xy abab? ? ? ?與直線 0Ax By C? ? ? 相切的條件是 2 2 2 2 2A a B b c?? 雙曲線及其標準方程 雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點 1F 、 2F 的距離的差的絕對值等于常數(shù) 2a（小于 | 1F 2F |）的動點 M 的軌跡叫做雙曲線 .在這個定義中，要注意條件 2a＜ | 1F 2F |，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解 .若 2a=| 1F 2F |，則動點的軌跡是兩條射線；若 2a＞ | 1F 2F |，則無軌跡 . 若 1MF ＜ 2MF 時，動點 M 的軌跡僅為雙曲線的一個分支，又若 1MF ＞ 2MF 時，軌跡為雙曲線的另一支 .而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應(yīng)為“差的絕對值” . 雙曲線的標準方程： 12222 ??byax和 12222 ??bxay（ a＞ 0， b＞ 0） .這里 222 acb ?? ，其中 | 1F 2F |=注意這里的 a、 b、 c 及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同 . ：如果 2x 項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在 x 軸上；如果 2y 項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在 y 軸上 .對于雙曲線， a 不一定大于 b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上 . ，應(yīng)注意兩個問題：⑴ 正確判斷焦點的位置； ⑵ 設(shè)出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解 . 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 雙曲線 12222 ??byax的實軸長為 2a，虛軸長為 2b，離心率 ace? ＞ 1，離心率 e 越大，雙曲線的開口越大 . 雙曲線 12222 ??byax的漸近線方程為 xaby ?? 或表示為 02222 ??byax.若已知雙曲線的漸近線方程是xnmy ?? ，即 0??nymx ，那么雙曲線的方程具有以下形式： kynxm ?? 2222 ，其中 k 是一個不為零的常數(shù) . 雙曲線的第二定義：平面內(nèi)到定點（焦點）與到定直線（準線）距離的比是一個大于 1 的常數(shù)（離心率）的點的軌跡叫做雙曲線 .對于雙曲線 12222 ??byax，它的焦點坐標是（ c， 0）和（ c， 0），與它們對應(yīng)的準線方程分別是 cax2??和 cax2?.雙曲線22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的焦半徑公式 21 | ( ) |aPF e x c??，22 | ( ) |aPF e xc??. 雙曲 線 的內(nèi)外部 點 00( , )Px y 在雙曲線22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的內(nèi)部22020xyab? ? ?. 點 00( , )Px y 在雙曲線22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的外部22020xyab? ? ?. 雙曲 線 的方程與 漸近線方程的關(guān)系 (1）若雙曲線方程為 12222 ??byax ?漸近線方程：220xyab? ? ? xaby ??. 若漸近線方程為 xaby ?? ? 0??byax ? 雙曲線可設(shè)為 ??? 2222 byax. 若雙曲線與 12222 ??byax有公共漸近線，可設(shè)為 ??? 2222 byax（ 0?? ，焦點在 x 軸上， 0?? ，焦點在 y軸上） . 雙曲線的切線方程 雙曲線22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?上一點 00( , )Px y 處的切線方程是 00221x x y yab??. （ 2）過雙曲線22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?外一點 00( , )Px y 所引兩條切線的切點弦方程是 00221x x y yab??. （ 3）雙曲線22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?與直線 0Ax By C? ? ? 相切的條件是 2 2 2 2 2A a B b c??. 拋物線的標準方程和幾何性質(zhì) 1．拋物線的定義：平面內(nèi)到一定點（ F）和一條定直線（ l）的距離相等的點的軌跡叫拋物線。 2．拋物線的方程有四種類型： pxy 22 ? 、 pxy 22 ?? 、 pyx 22 ? 、 pyx 22 ?? . 對于以上四種方程：應(yīng)注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對稱軸是哪個軸，方程中的該項即為一次項；一次項前面是正號則曲線的開口方向向 x 軸或 y 軸的正方向；一次項前面是負號則曲線的開口方向向 x 軸或 y 軸的負方向。設(shè)過拋物線 y2=2px（ p＞ O）的焦點 F 的弦為 AB， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， AB 的傾斜角為α，則有① |AB|=x1 +x2 +p 以上兩公式只適合過焦點的弦長的求法，對于其它的弦，只能用“弦長公式”來求。 雙曲線 12222 ??byax（ a0， b0）的焦點到漸進線的距離為 b。 處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題常用代點相減法，設(shè) A(x1， y1)、 B(x2,y2)為橢圓 12222 ??byax（ ab0）上不同的兩點， M(x0,y0)是 AB 的中點，則 KABKOM= 22ab?；對于雙曲線 12222 ??byax（ a0， b0），類似可得： = 22ab；對于 y2=2px(p≠ 0)拋物線有 KAB＝ 212yy p? 求軌跡的常用方法： （ 1）直接法：直接通過建立 x、 y 之間的關(guān)系，構(gòu)成 F(x,y)＝ 0，是求軌跡的最基本的方法； （ 2）待定系數(shù)法：所求曲線是所學過的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據(jù)條件列出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的方程即可； （ 3）代入法（相關(guān)點法或轉(zhuǎn)移法）：若動點 P(x,y)依賴于另一動點 Q(x1,y1)的變化而變化，并且 Q(x1,y1)又在某已知曲線上，則可先用 x、 y 的代數(shù)式表示 x y1，再將 x y1 帶入已知曲線得要求的軌跡方程； （ 4）定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足 某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出方程； （ 5）參數(shù)法：當動點 P（ x,y）坐標之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將 x、 y 均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程。故所求直線方程為 x + 2 y = 4 。 故所求直線方程應(yīng)為： x + 2 y = 4，或（ 2 +1） x 2（ 2 1） y – 4 = 0，或（ 2 1） x 2（ 2 +1） y +4 = 0。 剖析：題中僅考慮了斜率存在的情況，忽視了斜率不存在的情況，即經(jīng)過 A 且垂直于 x 軸的直線，落入“陷阱”。 剖析：上述錯解所設(shè)方程為 1??ayax ，其中不含橫、縱截距為 0 的特殊情形，事實上，橫、縱截距為 0且過點（ 1， 1）的直線 y = x 也符合條件。 當點 A 在圓外時，過點 A 可作圓的兩條切線，則 AC ＞ r 。 事實上，由 a2 + a + 9 ＞ 0 及 4 – 3 a2 ＞ 0 可得 a 的取值范圍是（ 332,332? ）。 事實上，曲線 C 和直線 L 有兩個公共點等價于方程（ *）有兩個不等的非負實根。 這是以 A（ 4， 2）為圓心、以為半徑的圓。 例題 7 求 z = 3 x + 5 y 的最大值和最小值，使式中的 x ， y 滿足約束條件： ???????????351y153y5x yxx 錯解：作出可行域如圖 1 所 示，過原點作直線 L0： 3 x + 5 y = 0 。 解方程組 ??? ?? ?? 1535 1yx xy，得 A 點坐標為（ 23 ， 25 ）。 事實上，過原點作直線 L0： 3x + 5y = 0，由 于使 z = 3x + 5y ＞ 0 的區(qū)域為直線 L0 的 右上方，而使 z = 3x + 5y ＜ 0 的區(qū)域為 L0 的 左下方。 例題 8 已知正方形 ABCD 對角線 AC 所在直線方程為 xy? .拋物線 cbxxxf ??? 2)( 過 B， D 兩點 （ 1）若正方形中心 M 為（ 2， 2）時，求點 N(b,c)的軌跡方程。 例題 9 已知雙曲線兩焦點 12,FF，其中 1F 為 21 ( 1)