【正文】 六 ).兩個常見的曲線系方程 過曲線 1( , ) 0f x y ? , 2( , ) 0f x y ? 的交點(diǎn)的曲線系方程是 12( , ) ( , ) 0f x y f x y???(? 為參數(shù) ). 共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程221xya k b k????,其中 22max{ , }k a b? .當(dāng) 22min{ , }k a b? 時(shí) ,表示橢圓 。 2 :222 : 。這個定點(diǎn) F叫拋物線的焦點(diǎn)，這條定直線 l 叫拋物線的準(zhǔn)線。 需強(qiáng)調(diào)的是，點(diǎn) F 不在直線 l 上，否則軌跡是過點(diǎn) F 且與 l 垂直的直線，而不是拋物線。 2 :ppy px P F x y px P F xx py P F y x py P F y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? （ 7）焦點(diǎn)弦長公式：對于過拋物線焦點(diǎn)的弦長，可以用焦半徑公式推導(dǎo)出弦長公式。 當(dāng) 2 2 2 2m in{ , } m a x { , }a b k a b??時(shí) ,表示雙曲線 . 直線與圓錐曲線相交的弦長公式 221 2 1 2( ) ( )A B x x y y? ? ? ?或 2 2 2 22 1 1 2 1 2( 1 ) ( ) | | 1 ta n | | 1 tA B k x x x x y y c o??? ? ? ? ? ? ? ? ?（弦端點(diǎn) A ),(),( 2211 yxByx ，由方程 ??? ??? 0)y,x(F bkxy 消去 y 得到 02 ??? cbxax ， 0?? ,? 為直線 AB 的傾斜角， k 為直線的斜率） . (八 ).圓錐曲線的兩類對稱問題 （ 1）曲線 ( , ) 0F x y ? 關(guān)于點(diǎn) 00( , )Px y 成中心對稱的曲線是 00( 2 , 2 ) 0F x x y y??. （ 2）曲線 ( , ) 0F x y ? 關(guān)于直線 0Ax By C? ? ? 成軸對稱的曲線是 2 2 2 22 ( ) 2 ( )( , ) 0A A x B y C B A x B y CF x yA B A B? ? ? ?? ? ???. 四．基本方法和數(shù)學(xué)思想 橢圓焦半徑公式：設(shè) P（ x0,y0）為橢圓 12222 ??byax（ ab0）上任一點(diǎn)，焦點(diǎn)為 F1(c,0),F2(c,0),則0201 , exaPFexaPF ???? （ e 為離心率）； 雙曲線焦半徑公式：設(shè) P（ x0,y0）為雙曲線 12222 ??byax（ a0,b0）上任一點(diǎn)，焦點(diǎn)為 F1(c,0),F2(c,0),則 : （ 1）當(dāng) P 點(diǎn)在右支上時(shí)， 0201 , exaPFexaPF ????? ； （ 2）當(dāng) P 點(diǎn)在左支上時(shí)， 0201 , exaPFexaPF ????? ；（ e 為離心率）； 另：雙曲線 12222 ??byax（ a0,b0）的漸進(jìn)線方程為 02222 ??byax； 拋物線焦半徑公式：設(shè) P（ x0,y0）為拋物線 y2=2px(p0)上任意一點(diǎn)， F 為焦點(diǎn)，則 20 pxPF ?? ； y2=2px(p＜ 0)上任意一點(diǎn)， F 為焦點(diǎn)， 20 pxPF ??? ； 涉及圓錐曲線的問題勿忘用定義解題； 共漸進(jìn)線 xaby ?? 的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 ??(2222 ??byax為參數(shù)， ? ≠ 0）； 計(jì)算焦點(diǎn)弦長可利用上面的焦半徑公式， 一般地，若斜率為 k 的直線被圓錐曲線所截得的弦為 AB， A、 B 兩點(diǎn)分別為 A(x1， y1)、 B(x2,y2)，則弦長 ]4))[(1(1 212212122 xxxxkxxkAB ???????? ]4)[()11(11 212212122 yyyykyyk ????????? ,這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想； 橢圓、雙曲線的通徑（最短弦）為 ab22 ，焦準(zhǔn)距為 p=cb2 ，拋物線的通徑為 2p，焦準(zhǔn)距為 p。 過橢圓 12222 ??byax（ ab0） 左焦 點(diǎn)的 焦點(diǎn) 弦為 AB，則 )(2 21 xxeaAB ??? ，過右 焦點(diǎn) 的弦)(2 21 xxeaAB ??? ； 對于 y2=2px(p≠ 0)拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（ py220， y0） ,以 簡化計(jì)算 。 ∵（ 2， 1）在直線上，∴ 112 ??ba ， ① 又 4ab21 ＝ ，即 ab = 8 ， ② 由 ① 、 ② 得 a = 4， b = 2。 事實(shí)上，直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為 21 ba ，而不是 21 ab。故所求直線的方程為 x + 5y – 6 = 0 。 錯解：設(shè)所求方程為 1??ayax ，將（ 1， 1）代入得 a = 2， 從而得所求直線方程為 x + y – 2 = 0。 ∵其圓心坐標(biāo)為 C（－ 2a ，－ 1），半徑 r ＝ 434 2a?。 剖析：本題的“陷阱”是方程 x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0 表示圓的充要條件，上述解法僅由條件得出 AC ＞ r ，即 a2 + a + 9 ＞ 0，卻忽視了 a 的另一制約條件 4 – 3 a2 ＞ 0。 （ * ） ∵ L 與曲線 C 有兩個公共點(diǎn)， ∴ ? = 4b2 – 8 ( b2 － 1 ) 0，解得－ 2 ＜ b＜ 2 剖析：上述解法忽視了方程 y = 21 x? 中 y ≥ 0 ，－ 1 ≤ x ≤ 1 這一限制條件，得出了錯誤 的結(jié)論。 錯解：設(shè)另一個端點(diǎn)的坐標(biāo)為（ x ， y ），依題意有： AC = AB ，即： 22 )2()4( ??? yx = 22 )52()34( ??? ∴ （ x 4） 2 + (y 2) 2 = 10 即為 C 點(diǎn)的軌跡方程。 它表示以（ 4， 2）為圓心，以 10 為半徑的圓，除去（ 3， 5）（ 5， 1）兩點(diǎn)。 由于經(jīng)過 A 點(diǎn)且與 L0 平行的直線與原點(diǎn)的距離最大， 故 z = 3x + 5y 在 A 點(diǎn)取得最大值。反之， 即為 Z 取得最小值的 點(diǎn)，并把這一認(rèn)識移到不同情況中加以應(yīng)用，由此造 成了解題失誤。 ∴ z 最小＝ 3? （－ 2）＋ 5? （－ 1） = － 11。 易錯原因：審題不清，忽略所求軌跡方程的范圍。 例題 10 已知圓 1: 221 ?? yxO ，圓 :2O 091022 ???? xyx 都內(nèi)切于動圓，試求動圓圓心的軌跡方程。 且 35|| 21 ??OO ,點(diǎn) M 的軌跡為雙曲線右支，方程為)4(1449)25( 22????xyx 例題 11 點(diǎn) P 與定點(diǎn) F（ 2， 0）的距離和它到直線 x=8 的距離比是 1： 3,求動點(diǎn) P 與定點(diǎn) )3,45(1P 距離的最值。 錯解 設(shè)所求橢圓方程為 )0(12222 ???? babyax 因?yàn)?222a caab ?? 211 2 ??? e ，所以 a=2b 于是橢圓方程為 14 2222 ?? bybx 設(shè)橢圓上點(diǎn) M（ x,y）到點(diǎn) P )23,0( 的距離為 d, 則： 222 )23( ??? yxd 493)1(4 2222 ????? yybyb 34)21(3 22 ????? by 所以當(dāng) 21??y 時(shí)，有 1,734 2m a x2 ???? bbd 所以所求橢圓方程為 14 22 ??yx 剖析 由橢圓方程 )0(12222 ???? babyax得 byb ??? 由 (1)式知 2d 是 y 的二次函數(shù)，其對稱軸為 21??y 上述錯解在于沒有就對稱軸在區(qū)間 ],[ bb? 內(nèi)或外進(jìn)行分類， 其正解應(yīng)對 f(y)= 34)21(3 22 ???? by 的最值情況進(jìn)行討論： （ 1）當(dāng) 21???b ，即 21?b 時(shí) 34)21( 2m a x2 ???? bfd =7 1??b ,方程為 14 22 ??yx （ 2）當(dāng) b???21 , 即 21?b 時(shí)， 7)(m ax2 ??? bfd ? 7?b 2123?? ，與 21?b 矛盾。 應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ) 上，再由 ?????????121222 yxxy 得 0342 2 ??? xx 根據(jù) 08???? ,說明所求直線不存在。 剖析 上述錯解過程忽視了過原點(diǎn)斜率不存在的直線，當(dāng) l 的斜率不存在時(shí)， 有 |||| FBFA ? 4252525 ??? 所以 FBFA?|| 有最小值為 3，最大值為 25/4 課后練習(xí)題 圓 x2 + 2x + y2 + 4y –3 = 0 上到直線 x + y + 1 = 0 的距離等于 2 的點(diǎn)共有（ ） A、 1 個 B、 2 個 C、 3 個 D、 4 個 分析：這里 直線和圓相交，很多同學(xué)受思維定勢的影響，錯誤地認(rèn)為圓在此直線的兩側(cè)各有兩點(diǎn)到直線的距離為 2 ，導(dǎo)致錯選（ D ）。 已知二面角 ?? ??l 的平面角為 ? ， PA ?? ， PB ?? ， A， B 為垂足，且 PA=4， PB=5，設(shè) A、 B 到二面角的棱 l 的距離為別為 yx, ，當(dāng) ? 變化時(shí)，點(diǎn) ),( yx 的軌跡是下列圖形中的 A B C D 解 答： D 易錯原因：只注意尋找 ,xy的關(guān)系式，而未考慮實(shí)際問題中 ,xy的范圍。︱ OQ︱等于切線長的平方來解題。 已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 3x2+2y2=6x，則 x2+y2 的最大值是 ( ) A、 29 B、 4 C、 5 D、 2 正確答案： B 錯誤原因：忽視了條件中 x 的取值范圍而導(dǎo)致出錯。 1設(shè) 1F 和 2F 為雙曲線 14 22 ??yx的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上且滿足 ?9021 ?? PFF ，則 21PFF? 的面積是（ ）。 由 00a y b x? 得00y bxa?，可設(shè) 000, 0xy??，此時(shí) OM 的斜率大于漸近線的斜率，由圖像的性質(zhì)，可知焦點(diǎn)在 y 軸上。 誤解：選 B，沒有分組。 錯解 設(shè)雙曲線的兩 個焦點(diǎn)分別為 )0,5(1 ?F , )0,5(2F , 由雙曲線定義知 8|||||| 21 ?? PFPF 所以 || 1 ?PF 或 || 1 ?PF 剖析 由題意知，雙曲線左支上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最短距離為 1, 所以 1 ? 不合題意，事實(shí)上，在求解此類問題時(shí)，應(yīng)靈活運(yùn)用雙曲線定義，分析出點(diǎn) P 的存在情況，然后再求解。錯解： 2 錯因：設(shè) )3( ?? xky 代入橢圓的方程算出有兩條，當(dāng) k 不存在，即直線 AB x? 軸時(shí)，｜ AB｜＝ 4，忽視此種情況。 答案：設(shè) ),(),( 2211 yxByxA 其中 )12(,12,2,1,0,0 2111121 ??????????? xBFxaexAFeaxx 則， 所以 )(2 2111 xxBFAF ??? ，將弦 AB 的方程 )2(33 ?? xy 代入雙曲線方程， 整理得 3,813,21,01348 21212 ????????? ABxxxxxx 則所以， 可求得 23321 ?? xx ，故答案為 333? 錯解： 10 錯因：作圖錯誤，沒有考慮傾斜角為 ?30 的直線與漸近線的關(guān)系，而誤將直線作成與右支有兩交點(diǎn)。 F 1 F 2xyP 錯解：設(shè) F F2 分別為由雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則由雙曲線的方程為 x29 y216 =1，易求得 a=3,c=5,從而離心率 e＝ 53 ,再由第二定義，易求 |PF1|=ed1＝ 31651635 ?? ，于是又由第一定義 6212 ??? aPFPF ，得|PF2|= 3166? 。 2已知雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為 x=2,其相應(yīng)的焦點(diǎn)為 (8,0)，離心率為 32 ，求雙曲線的方程。正確的做法是利用雙曲線的第二定義來求出方程（下略）。 2已知曲線 C： 2202xy ??與直線 L： mxy ??? 僅有一個公共點(diǎn)，求 m 的范圍。（如圖），結(jié)合圖形易求得 m 的范圍為52525 ???? mm 或 。 3已知雙曲線 1222 ?? yx，過 P(1,1)能否作一條直線 L 與雙曲線交于 A、 B 兩點(diǎn)，且 P 為 AB 中點(diǎn)。 解題反思：使用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系必需要注意檢驗(yàn)根的判別式 0?? 是否成立。 3設(shè)點(diǎn) P(x,y)在橢圓 44 22 ?? yx 上，求 yx? 的最大、最小值。 高中數(shù)學(xué)系列 11 綜合測試題 學(xué)校：中山市龍山中學(xué) 命題：曹 毓 一、選擇題 1．下列語句中是假命題的是 （ ） A．二次函數(shù)的圖象是一條拋物線 B．對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？ C．兩個內(nèi)角等于 45176。 21 ??????? ??xy