【正文】 (2)求圓 H 的面積最小時(shí)直線 AB 的方程 . 20. 設(shè)橢圓方程為 1422 ?? yx,過(guò)點(diǎn) (0,1)M 的直線 t 交橢圓于點(diǎn) A、 B， O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) P 滿 足1 ()2OP OA OB??，點(diǎn) N 的坐標(biāo)為（ 21,21 ） .當(dāng) t 繞點(diǎn) M 旋轉(zhuǎn)時(shí)，求： （ 1）動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程； （ 2） | NP |的最小值與最大值 . 高中數(shù)學(xué)系列 11 綜合測(cè)試題參考答案 一、選擇題 BCBCC DACAA 二、填空題 11. 149 22 ?? yx 12. 04, 2 ????? xxRx 13. 62 14. 3226? 三、 解答題 15. 解：橢圓方程可化為 2211 14xy??，所以焦點(diǎn)在 y 軸上，且 131, ,22a b c? ? ?，長(zhǎng)軸長(zhǎng) 12| | 2 2A A a?? 所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F1（ 0，23?）， )23,0(2F 頂點(diǎn)為 )0,21(),1,0( ?? 離心率23?e 準(zhǔn)線方程為 332??y 16. 解： (1) 223yx??? 1)1(32|39。 其 實(shí) 本 題 只 需 令 ?? sin2,co s ?? yx ，則)s i n (5s i n2c o s ???? ????? yx ，故其最大值為 5 ，最小值為 5? 。本題中注意到點(diǎn) M 應(yīng)在圓內(nèi)，故易求得軌跡為圓內(nèi)的部分，此時(shí) 5160 ??x 。 剖析：本題的問(wèn)題在于沒(méi)有考慮隱含條件“Δ 0”，當(dāng) k=2 時(shí)代入方程可知Δ 0，故這樣的直線不存在。 錯(cuò)解：由雙曲線的漸近線為： xy 23?? ，可得： 23?ab ，從而 2131 22 ???? abace 剖析：由雙曲線的漸近線為 xy 23?? 是不能確定焦點(diǎn)的位置在 x 軸上的，當(dāng)焦點(diǎn)的位置在 y 軸上時(shí)，32?ab ，故本題應(yīng)有兩解，即： 2131 22 ????abace 或 313 。 故原方程的對(duì)應(yīng)曲線應(yīng)為橢圓的上半部分。 小 結(jié)：直線與拋物線只有一解時(shí)，并不一定相切，當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，也只有一解。錯(cuò)誤是顯然的，那么問(wèn)題在哪里呢？其實(shí)問(wèn)題就在于此方程并不是標(biāo)準(zhǔn)方程，而我們把它當(dāng)作了標(biāo)準(zhǔn)方程。 小結(jié)：一般地，若 |PF1| ≥ a+c,則 P 可能在兩支上， 若 |PF1| a+c,則 P 只能在一支上。 2雙曲線 x29 y216 =1上有一點(diǎn) P 到 左準(zhǔn)線的距離為 165 ,則 P 到右焦點(diǎn)的距離為 。 2經(jīng)過(guò)雙曲線 1322 ?? yx的右焦點(diǎn) F2 作傾斜角為 ?30 的弦 AB，則 ABF1? 的周長(zhǎng)為 。 2過(guò)雙曲線 x2－ 122?y 的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于 A、 B 兩點(diǎn)，且 4?AB ，則這樣的直線有 ___________條。 雙曲線 191622 ?? yx上的點(diǎn) P 到點(diǎn) (5,0)的距離為 ，則點(diǎn) P 到點(diǎn) ( 0,5? )的距離 _______。這個(gè)方法沒(méi)錯(cuò)，但 ? 確定有誤，應(yīng) 0?? ， ?焦點(diǎn)在 y 軸上。 在 x 軸上 y 軸上 ba? 時(shí)在 x 軸上 ba? 時(shí)在 y 軸上 正解： B。 1在直角坐標(biāo)系中，方程 ? ?? ? 0231 2 ?????? yxxyx 所表示的曲線為（ ） A．一條直線和一個(gè)圓 B．一條線段和一個(gè)圓 C．一條直線和半 個(gè)圓 D．一條線段和半個(gè)圓 正確答案： D 錯(cuò)因：忽視定義取值。 過(guò)拋物線的焦點(diǎn) F 作互相垂直的兩條直線，分別交準(zhǔn)線于 P、 Q 兩點(diǎn)，又過(guò) P、 Q 分別作拋物線對(duì)稱軸OF 的平行線交拋 物線于 M﹑ N 兩點(diǎn) ,則 M﹑ N﹑ F 三點(diǎn) A 共圓 B 共線 C 在另一條拋物線上 D 分布無(wú)規(guī)律 正確答案： B 錯(cuò)因：學(xué)生不能結(jié)合圖形靈活應(yīng)用圓錐曲線的第二定義分析問(wèn)題。︱ OQ︱ =( ) A 1+m2 B 215m? C 5 D 10 正確答案： C 錯(cuò)因：學(xué)生不能結(jié)合初中學(xué)過(guò)的切割線定︱ OP︱ 過(guò)定點(diǎn)（ 1， 2）作兩直線與圓 2 2 22 15 0x y k x y k? ? ? ? ? ?相切，則 k 的取值范圍是 A k2 B 3k2 C k3 或 k2 D 以上皆不對(duì) 解 答： D 易錯(cuò)原因：忽略題中方程必須是圓的方程，有些學(xué)生不考慮 2240D E F? ? ? 設(shè)雙曲線22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的半焦距為 C，直線 L 過(guò) ( ,0),(0, )ab兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線 L 的距離為 34C ，則雙曲線的離心率為 A 2 B 2 或 233 C 2 D 233 解 答： D 易錯(cuò)原因：忽略條件 0ab?? 對(duì)離心率范圍的限制。 錯(cuò)解 設(shè) A、 B 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為 ),( AA yx 、 ),( BB yx 因?yàn)?3,4 22 ?? ba ， 所以 122 ??? bac ， 4,212 ??? caace 又橢圓中心為（ 1， 0） ,右準(zhǔn)線方程為 x=5， 所以 215 || ??AxFA 即 )5(21|| AxFA ?? ，同理 )5(21|| BxFB ?? 所以 |||| FBFA ? )1(])(525[41 BABA xxxx ???? Y X A B C O x+ y= 1 設(shè)直線 l 的方程為 y=kx，代入橢圓方程得 096)43( 22 ???? xxk 所以 ?? BA xx 22 43 9,43 6 kxxk BA ???? 代入 (1)式得 |||| FBFA ? )43 3925(41 2k??? 所以 425||||3 ??? FBFA ，所以 FBFA?|| |有最小值 3,無(wú)最大值。其方程為 012 ??? yx 剖析 在（ 3）式成立的前提下，由 (4)、（ 5）兩式可推出 (6)式，但由 (6)式不能推出 (4)(5)兩式，故應(yīng)對(duì)所求直線進(jìn)行檢驗(yàn)，上述錯(cuò)解沒(méi)有做到這一點(diǎn)，故是錯(cuò)誤的。 因?yàn)?02?k 所以 41??m 故所求 m 的范圍應(yīng)為 m4 或 041 ??? m 例題 13 橢圓中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在 x 軸上，離心率 23?e ,已知點(diǎn) P（ 23,0 ）到橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距 離是 7 ，求這個(gè)橢圓的方程。 事實(shí)上， | 3||| 21 ?? MOMO 表示動(dòng)點(diǎn) M 到定點(diǎn) 1O 及 2O 的距離差為一常數(shù) 3。 （ 3）聯(lián)列：2( 1) ( 2) 184y x txy????? ?????? 消去 y 得 22( 1 ) 2( 2) 8x x t? ? ? ? ? 整理得： 223 ( 4 6 ) 2 8 1 0x t x t t? ? ? ? ? ? 當(dāng) 0? 時(shí) 得 3 2 3t?? 從圖可知： ( , 3 2 3 ) ( 3 2 3 , )t ? ? ? ? ? ? ? ?， 又因?yàn)檐壽E除去點(diǎn) ( 1,0),( 1,4)?? 所以當(dāng)直線過(guò)點(diǎn) ( 1,0),( 1,4)??時(shí)也只有一個(gè)交點(diǎn)，即 1t? 或 5 ( , 3 2 3 ) ( 3 2 3 , ) { 1 , 5 }t? ? ?? ? ? ? ?? ? 易錯(cuò)原因：（ 1）非標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)計(jì)算易錯(cuò)；（ 2）求點(diǎn) 2F 的軌跡時(shí)易少一種情況；（ 3）對(duì)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)誤認(rèn)為方程只有一解。 （ 2）設(shè) ( , ) , ( , ) 0B t s t s D t s t s s? ? ? ? ? 同上22( ) ( ) (1 )( ) ( ) ( 2 )t s t s b t s ct s t s b t s c? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? （ 1） （ 2）得 12bt ??? (3) （ 1） +（ 2）得 22( 1 ) 0 ( 4 )s b t t c? ? ? ? ? （ 3）代入（ 4）消去 t 得222 1 ( 1 ) 024bbsc??? ? ? ? 得 2( 1) 4 4bc? ? ? 又 ()f x x? 即 2 ( 1) 0x b x c? ? ? ?的兩根 12,xx滿足 121x x b? ? ? 12x x c?? 2 2 21 2 1 2 1 2| | ( ) 4 ( 1 ) 4 4x x x x x x b c? ? ? ? ? ? ? ? ? 故 12| | 2xx??。 解方程組 ??? ?? ?? 35 1yx xy，得 C（－ 2，－ 1）。 剖析：上述解法中，受課本例題的影響，誤 認(rèn)為在對(duì)過(guò)原點(diǎn)的直線 L0 的平行移動(dòng)中，與原點(diǎn)距 離最大的直線所經(jīng)過(guò)的可行域上的點(diǎn)，即為目標(biāo)函 數(shù) Z 取得最大值的點(diǎn)。解方程組 ?????????153535yxyx，得 B 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 3， 0），∴ z 最?。?3? 3＋5? 0=9。 事實(shí)上， C 點(diǎn)的坐標(biāo)須滿足 ??? ??53yx，且?????????225423yx， 故端點(diǎn) C 的軌跡方程應(yīng)為（ x 4） 2 + ( y2 )2 = 10 ( x? 3,y? 5； x? 5,y? － 1)。 例題 6 等腰三角形頂點(diǎn)是 A（ 4， 2），底邊的一個(gè)端點(diǎn)是 B（ 3， 5），求另一個(gè)端點(diǎn) C 的軌跡方程。 錯(cuò)解：由 ?????21,xybxy????消去 x 得： 2y2 2by + b2 – 1 = 0。即 a2 + a + 9 ＞ 0，解得 a∈ R。 錯(cuò)解：將圓的方程配方得： ( x + 2a )2 + ( y + 1 )2 = 4342a?。 例題 3 求過(guò)點(diǎn)（ 1， 1）且橫、縱截距相等的直線方程。 錯(cuò)解：設(shè)直線斜率為 k，其方程為 y – 2 = k（ x + 4），則與 x 軸的交點(diǎn)為（ 4k2 ， 0）， ∴ 5124 ???? k，解得 k = 51 。上述解法中，由于對(duì)截距概念模糊不清，誤將直線在 x 軸和 y 軸上的截距作距離使用而掉入“陷阱”。 錯(cuò)解：設(shè)所求直線方程為 1??byax 。（ 2） y1y2=－ p2， x1x2= 42p。 pxy 22 ? 上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為 P ),2(2?? ypy 或 或)2,2( 2 ptptP P ( , )xy ，其中 2 2y px? . 5. 二次函數(shù)222 4()24b a c by a x b x c a x aa ?? ? ? ? ? ?( 0)a?的 圖 象 是 拋 物 線 ：（ 1 ） 頂 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為24( , )24b ac baa??；（ 2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為241( , )24b ac baa???；（ 3）準(zhǔn)線方程是2414ac by a???. 點(diǎn) 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)y px p??的內(nèi)部 2 2 ( 0)y px p? ? ?. 點(diǎn) 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)y px p??的外部 2 2 ( 0)y px p? ? ?. 點(diǎn) 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)y px p? ? ?的內(nèi)部 2 2 ( 0)y px p? ? ? ?. 點(diǎn) 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)y px p? ? ?的外部 2 2 ( 0)y px p? ? ? ?. 點(diǎn) 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)x py p??的內(nèi)部 2 2 ( 0)x py p? ? ?. 點(diǎn) 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)x py p??的外部 2 2 ( 0)x py p? ? ?. 點(diǎn) 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)x py p??的內(nèi)部 2 2 ( 0)x py p? ? ?. 點(diǎn) 00( , )Px y 在拋物線 2 2 ( 0)x py p? ? ?的外部 2 2 ( 0)x py p? ? ? ?. 7. 拋物線的切線方程 拋物線 pxy 22 ? 上一點(diǎn) 00( , )Px y 處的切線方程是 00()y y p x x??. （ 2）過(guò)拋物線 pxy 22 ? 外一點(diǎn) 00( , )Px y 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 00()y y p x x??.（ 3）拋 物線2 2 ( 0)y px p??與直線 0Ax By C? ? ? 相切的條件是 2 2pB AC? . (