【正文】 如果這些解是正確的，應(yīng)能滿足這些方程。由左半拱的受力圖，如圖 239a 所示，這時(shí)應(yīng)注意 FCx 與 F′Cx、 FCy與 F ′Cy 互為作用力 與反作用力。 至此 A、 B、 C 三個(gè)鉸鏈處的約束反力已全部求出。 （ 2）考察右半拱 CB的平衡，作其受力圖，如圖 239d 所示。 RR( ) 0 16 2 14 5 0( ) 0 14 2 16 5 01( 12 kN 5 m 45 kN 2 m 45 kN 14 m ) kN161( 12 kN 5 m 45 kN 2 m 45 kN 14 m ) kN16A i B yB i A yByAyM F G G FM G G F FFF? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???解 得 ：FF R00i x A x B xF F F F? ? ? ?? ① 尚有兩個(gè)未知力 FAx 和 FBx 不能從方程 ① 中解出。 （ 1）考察整體的平衡，作其受力圖，如圖 240b 所示。經(jīng)分析題中的未知量也是 6 個(gè) （ 圖 240c、 d），故此題是靜定問題。 解 本題是求解由兩個(gè)半拱組成的物體系統(tǒng)的平衡問題。 例 215 三鉸拱廠房屋架如圖 240a 所示，每一半拱架重 G=45 kN，風(fēng)壓力的合力 R 12kNF ? ，各力的作用線位置如圖，長度單位為 m。所以，計(jì)算獨(dú)立平衡方程總數(shù)時(shí)，只對(duì)每個(gè)物體的平衡方程數(shù)計(jì)算后相加，而不應(yīng)將整體的平衡方程數(shù)目包括在內(nèi)。 （ 2）考察組合梁整體的平衡（圖 d） ，列出平衡方程： 圖 239 43 0 s i n 0i x A x CF F F ?? ? ? ?? (2) 0 c o s 2 0i y A y CF F F q F?? ? ? ? ? ? ?? (3) ( ) 0 c o s 4 2 3 0A i A CM M F q l F?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? F (4) 將（ 1）代入（ 2）、（ 3）、（ 4）式分別解得： 10kN20kN30kNmAxAyAFFM??? 考察梁 AB、 BC 和組合梁整體的平衡 （ 圖 b、 c、 d），總共可列出 9 個(gè)平衡方程，但其中只有 6 個(gè)是獨(dú)立的。我們可以從未知力數(shù)目較少的圖 c 著手，求出 FC后，再由圖 d 求出其余的三個(gè)未知量 FAx、 FAy、 MA。這時(shí)， FBx、 FBy、 BxF? 、 ByF? 屬于內(nèi)力，不必畫出。因此， 本題是靜定的 問題 ?？梢?，梁 AB 和 BC 均受平面任意力系的作用，對(duì)兩部分總可以列出 23=6 個(gè)獨(dú)立的平衡方程。試求支座 A、 C 的約束反力。 例 214 如圖 239a 所示的組合梁由梁 AB 和 BC 用中間鉸 B 連接而成，支承和載荷情況如圖所示。 ② 系統(tǒng)外力： 物體 系統(tǒng)所受的 主動(dòng)力和 外部約束反力 。靜不定問題的解法將在第二篇材料力學(xué)中介紹。 3． 靜不定問題 的次數(shù) =所有 未知量的數(shù)目 — 獨(dú)立平衡方程數(shù)目 如下圖所示， a圖為靜定問題， b圖為靜不定問題。 1． 靜定問題 ：所有 未知量的數(shù)目少于或等于獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目的問題 。 單元教學(xué)設(shè)計(jì) 以工程實(shí)例 、動(dòng)畫 幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn) 技能點(diǎn)的理解來完成培養(yǎng)目標(biāo)。 （ 3）列平衡方程如下： P( ) 0 2 0A i B qaaM F a M F a? ? ? ? ?? 2F ① P00y A BF F F q a F? ? ? ? ?? ② 解方程 ① 、 ② 得： P 2 0 k N /m 0 .8 m 1 6 k N m2 2 2 0 k N 1 2 k N2 0 .8 mB q a MFF a ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 P 2 0 k N 2 0 k N / m 0 . 8 m 1 2 k N 2 4 k NABF F q a F? ? ? ? ? ? ? ? 圖 235 40 【教學(xué)內(nèi)容】 課程名稱 工程力學(xué) 教學(xué)單元名稱 2． 5 物體系統(tǒng)的平衡問題 單元能力培養(yǎng)目標(biāo) 了解靜定與靜不定問題的概念及物體系統(tǒng)平衡問題的解法。這些力組成一平衡的平面平行力系，如圖 235b 所示。 解 （ 1）取 AB 梁為研究對(duì)象，畫受力圖。 P 2 0 k N , 1 6 k N m , 2 0 k N / m , = 0 . 8 mF M q a? ? ?。 T 1 T 20 c o s 6 0 c o s 3 0 0i x B AF F F F? ? ? ? ? ? ?? T 1 T 20 c o s 3 0 c o s 6 0 0i y B CF F F F? ? ? ? ? ?? 圖 233 39 T 1 T 21 3 1 3 7. 32 kN2 2 2 2BAF F F G G? ? ? ? ? ? T 1 T 23 1 3 1 2 7 .3 2 k N2 2 2 2BCF F F G G? ? ? ? ? FAB 為負(fù)值，表示此力的實(shí)際指向與圖示相反，即 AB 桿受壓力。 （ 2）由于兩未知力 FBA 和 FBC相互垂直，故選取坐標(biāo)軸 x， y 如圖 234d 所示?；喪茕摻z繩拉力 FT1 與 FT2 作用，且 T1 T2F F G??。設(shè)兩桿和滑輪的自重不計(jì) ,并略去摩擦和滑輪的尺寸 ,求平衡時(shí)桿 AB 和 BC 所受的力。 例 211 如圖所示 ,物重 20kNG? ,用鋼絲繩經(jīng)過滑輪 B 再纏繞在絞車 D 上。載荷集度的單位是 N/m或 kN/m。 故此 只能求解兩個(gè)未知量。因此平面平行力系獨(dú)立的平衡方程為 0( ) 0iyOiFM???? F 二矩式為 ( ) 0( ) 0AiBiMM????FF 其中， 矩心 A、 B 兩點(diǎn)的連線不能與各力的作用線平行。各力在 x 軸上的投影均為零。即 00xyFF????????? （ 2）平面平行力系 若取 x 軸與各力的作用線垂直。 平面特殊力系的平衡方程 （ 1）平面匯交力系 顯然，平面匯交力系平衡時(shí)，亦應(yīng)滿足平面力系的平衡方程式。 ② 選取坐標(biāo)軸和矩心； 由于坐標(biāo)軸和矩心的選擇是任意的 ,在選擇時(shí)應(yīng)遵循以下原則 : a、坐標(biāo)軸應(yīng)與盡可能多的未知力垂直 (或平行 )； b、矩心應(yīng)選在較多未知力的匯交點(diǎn)處 . ③ 將各個(gè)力向兩坐標(biāo)軸投影 ,對(duì)矩心取力矩建立平衡方程求解； ④ 校核。任何第四個(gè)方程只是前三個(gè)的線性組合，因而都不是獨(dú)立的，我們可以利用這個(gè)方程來校核計(jì)算的結(jié)果。 以上討論了平面力系的三種不同形式的平衡方程，在解決實(shí)際問題時(shí)，可根據(jù)具體條件選擇其中某一種形式。如果力系又滿足 0iyF ?? ，而投影軸 x 不垂直于 AB連線，顯然力系不可能有合力，因此，力系必為平衡力系。 這是因?yàn)槠矫嫒我饬ο禎M足( ) 0AiM ?? F ，則表明該力系不可能簡化為一力偶，只可能是作用線通過 A 點(diǎn)的一合力或平衡。 （ 2）選取坐標(biāo)系 Axy，如圖 b 所示，列平衡方程并求解： 00ix A x BF F F? ? ?? 36 P00i y A xF F F W? ? ? ?? P( ) 0 5 m 1 . 5 m 3 . 5 m 0A i BM F F W? ? ? ? ? ? ? ?? F 解得： 31kNBF ?? 3 1 k N5 0 k NA x BAyFFF ? ? ?? FB 為負(fù)值，說明它的方向與受力圖中假設(shè)的方向相反，即正確的指向應(yīng)向左。 解 （ 1） 以起重機(jī)為研究對(duì)象，畫出受力圖。起重機(jī)的重心 C 到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為 m，其他尺寸（均以 m計(jì)）如圖所示。 例 29 起重機(jī)重 10kNW? ，可繞鉛垂軸 AB 轉(zhuǎn)動(dòng)。 討論： 計(jì)算結(jié)果正確與否，可任意列一個(gè)上邊未用過的平衡方程進(jìn)行校核。 35 （ 3）各個(gè)力向 x,y 軸投影 ,并對(duì) A 點(diǎn)取力矩建立平衡方程。這些力的作用線可近似認(rèn)為分布在同一平面內(nèi) ,如圖 227b 所示。梁 AB 除受到主動(dòng)力 G、FP 作用外，還有未知約束反力，包括拉桿的拉力 FT 和鉸鏈 A 的約束反力 FAx、 FAy。水平梁 AB 自重 =4 kNG ，載荷 P=10 kNF ，尺寸單位為 m， BC 桿自重不計(jì)，求拉桿 BC 所受的拉力和鉸鏈 A 的約束反力。前者說明力系對(duì)剛體無任何方向的移動(dòng)效應(yīng)；后者說明力系使剛體無繞任一點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。 2． 4 平面力系的平衡方程及其應(yīng)用 平面力系的平衡條件與平衡方程 平面力系平衡的充分與必要條件是力系的主矢和力系對(duì)任意點(diǎn)的主矩都等于 零 。 如圖 226a 所示， 坐標(biāo)位置如圖示，試將此力系向點(diǎn) O 簡化。Md F ?? ? ? 因?yàn)?AM 為逆時(shí)針，故最終合力的作用線在 A 點(diǎn)的右邊如圖 225d 所示。R39。 2 2 2 2R R R R( ) ( ) ( 5 0 N ) ( 7 3 . 2 1 N ) 8 8 . 6 5 N39。求這三個(gè)力的合成結(jié)果。已知 F1=200 N， F2=150 N， F3=100 N。 3．若主矢 Ｆ R′＝ 0，主矩 Ｍ o＝ 0，這說明原力系合成為零力系，則原力系平衡，這種情況將在下一章重點(diǎn)討論。 2．若主矢 Ｆ Rˊ＝ 0，主矩 Ｍ o≠0，則 原力系簡化的最后結(jié)果為一個(gè)力偶，此力偶稱為平面力系的合力偶 ， 其力偶矩等于主矩，即 M=Ｍ o=∑Ｍ o(Ｆ i)。 32 ② 當(dāng) Ｍ o≠0時(shí)，原力系簡化為作用線通過簡化中心的一個(gè)力 Ｆ Rˊ和一個(gè)矩為 Ｍ o的力偶，如圖 2－ 5a所示，根據(jù)力的平移定理的逆定理，可以把此力與力偶進(jìn)一步合成為一合力 Ｆ R 。 這時(shí)又可分為兩種情況 : ① 當(dāng) Ｍ o＝ 0時(shí)，則作用于簡化中心的力 Ｆ Rˊ就是原力系的合力 Ｆ R。 主矩一般隨簡化 中心的位置不同而改變 。 ? ? ? ? ? ? ? ??????? iOnOOOO MMMMM FFFF ?21 （ 22） 綜上所述可知， 平面力系向一點(diǎn)（簡化中心）簡化的一般結(jié)果是一個(gè)力和一個(gè)力偶：這個(gè)力作用于簡化中心，稱為原力系的主矢，它等于原力系中所有各力的矢量和；這個(gè)力偶的矩稱為原力系對(duì)簡化中心的主矩，它等于原力系中所有各力對(duì)于簡化中心力矩的代數(shù)和 。 主矢 —— 合矢量 Ｆ Rˊ，體現(xiàn)原力系對(duì)剛體的移動(dòng)效應(yīng)。 單元教學(xué)設(shè)計(jì) 以生活、工程實(shí)例 、動(dòng)畫 幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn) 技能點(diǎn)的理解來完成培養(yǎng)目標(biāo)。 再 例如打乒乓球 30 【教學(xué)內(nèi)容】 課程名稱 工程力學(xué) 教學(xué)單元名稱 2． 3 平面任意力系的簡化 2． 4 平面力系的平衡方程及應(yīng)用 單元能力培養(yǎng)目標(biāo) 了解平面力系的簡化方法及簡化結(jié)果；會(huì)應(yīng)用解析法計(jì)算平面力系的合力；理解平面力系平衡方程基本形式的意義；了解平面力系平衡方程其它形式及使用條件；掌握應(yīng)用平面力系平衡方程解決平衡問題 。合力與原力矢量相等，其作用線平移的距離為 Md F? 合力的作用線在原力作用線的哪一側(cè)應(yīng)根據(jù)力偶的轉(zhuǎn)向確定 。 力的平移定理，可以看成為 一個(gè)力分解為一個(gè)與其等值的平行力和一個(gè)位于平移平面內(nèi)的力偶 。 證 如圖所示 29 ）（ FBMdFM ?? （ 2）求兩個(gè)螺栓所受的力 選工件為研究對(duì)象，工件受三個(gè)主動(dòng)力偶作用和兩個(gè)螺栓的反力作用而平衡，故兩個(gè)螺栓的反力作用而平衡，故兩個(gè)螺栓的反力 FA 與FB 必然組成為一力偶 ，設(shè)它們的方向如 218 圖所示，由平面力偶系的平衡條件，有 ? ?0iM 0321 ???? MMMlF A 解得 1 2 3 220 NA M M MF l???? 所以 220 NABFF?? ，方向如圖 218 所示。如果工件在