【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 圖 22 22 ??????????????? ??iynyyyyixnxxxx FFFFF FFFFF ??21R21R （ 24） 合力在某軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和 。 —— 合力投影定理 2．平面匯交力系合成的解析法 應(yīng)用 合力投影定理 即可求得合力 FR 的大小及方向 ? ? ? ??????????????????ixiyxyiyixyxFFFFFFFFFRR222R2RRt a n ? （ 25） 式中 ? 為合力 FR與 x 軸之間所夾的銳角。合力 FR的指向由 ixF? 、 iyF? 的正負(fù)號(hào)確定。 例 21 用解析法求圖 27a 所示平面匯交力系 的合力的大小和方向。已知 F1 =100 N， F2 = 100 N , F3 = 150 N , F4 = 200 N 。 解 由式（ 25）計(jì)算合力 FR 在 x、 y 軸上的投影 R 1 2 3 41 2 3 4c os 50 c os 60 c os 20100 N 64. 28 N 75 N 187 .94 N 98. 62 Nx ix x x x xF F F F F FF F F F? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? R 1 2 3 42340 sin 50 sin 60 sin 200 76. 60 N 129 .90 N 68. 40 N 138 .1 Ny iy y y y yF F F F F FF F F? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? 故合力 FR的大小和方向?yàn)椋? ? ? ? ? 222R2RR ?????? yx FFF 3 8ta n RR ???? xyFF? ??? 由于 xFR 為負(fù)值， yFR 為正值，所以合力 RF 指向第二象限，如圖 27b 所示，合力的 圖 27 23 作用線通過力系的匯交點(diǎn) O 課程名稱 工程力學(xué) 教學(xué)單元名稱 2． 2 力矩和力偶 單元能力培養(yǎng)目標(biāo) 掌握力對(duì)點(diǎn) 之矩、 力偶的概念、性質(zhì) ；會(huì)應(yīng)用 合力矩定理； 掌握平面力偶系合成的結(jié)果和平衡方程的應(yīng)用；理解掌握力的平移定理 。 知識(shí)點(diǎn) 技能點(diǎn) 力對(duì)點(diǎn) 之矩、 力偶的概念和性質(zhì)； 合力矩定理、 力的平移定理；平面力偶系合成的結(jié)果和平衡方程的應(yīng)用。 單元教學(xué)設(shè)計(jì) 以生活、工程實(shí)例幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn) 技能點(diǎn)的理解來完成培養(yǎng)目標(biāo)。 單元教學(xué)方式 理論教學(xué) 作業(yè) 教材 P19 習(xí)題 1 1 24 【教學(xué)內(nèi)容】 2． 2 力矩和 力偶 2． 2． 1 力對(duì)點(diǎn)之矩 1．力矩的概念 ： 力使物體產(chǎn)生繞某一點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)和量。 力的大小 與力臂的乘積，是 度量力 ?F?使物體繞 ?O?點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效果的物理量，稱為力 ?F?對(duì) ?O?點(diǎn)的矩，用 MO（ F）表示。 （ 1）將轉(zhuǎn)動(dòng)中心稱為矩心。 （ 2）矩心到力作用線的垂直距離稱為力臂，用符號(hào) d 表示。 （ 3）通常規(guī)定： 力使物體繞矩心逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)力矩為正，反之為負(fù)。 力矩的表達(dá)式為 dFM O ??）（ F 力矩的國(guó)際單位是：牛 米（ Nm）或千牛 米（ kNm）。 2．力矩的特性 ： （ 1） 力對(duì)已知點(diǎn)的矩不會(huì)由于力沿作用線移動(dòng)而改變（這符合力的可傳性原理）。 （ 2）力的作用線如通過矩心，則 力矩為零。如果一個(gè)力的大小不為零，而它對(duì)某點(diǎn)的矩為零，則該力的作用線必過該點(diǎn)。 （ 3）相互平衡的兩力，對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和為零（符合二力平衡原理）。 例 ?22 如下頁圖 ?所示，已知皮帶緊邊的拉力 ?FT1＝ 2?000?N，松邊的拉力 ?FT2＝1?000?N，輪子的直徑 D＝ 500?mm。試分別求皮帶兩邊拉力對(duì)輪心 ?O?的矩。 解 由于皮帶拉力沿著輪緣的切線，所以輪的半徑就是拉力對(duì)輪心 O 的力臂，即 25 2502/ ??? Dd （ m） 于是 2 1T1T ???? dFFM O ）（ （ Nm） 1 2T2T ??????? dFFM O ）（ （ Nm） 拉力 FT1 使輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，故其力矩為正； FT2 使輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，故其力矩為負(fù)。 2． 2． 2 合力矩定理 力系有一合力時(shí)，合力對(duì)某點(diǎn)之矩，等于各分力對(duì)同點(diǎn)之矩的代數(shù)和 。即 ?? ）（）（ iOO MM FF （ 17） 在計(jì)算力矩時(shí)，有時(shí)欲求一個(gè)力對(duì)于某一矩心的矩而力臂不易計(jì)算，就可應(yīng)用合力矩定理，將原力分解為兩個(gè)適當(dāng)?shù)姆至?，分別求兩分力對(duì)于該矩心的矩，再求其代數(shù) 和。 例 ?23 如圖所示，在 ?ABO?折桿上 ?A?點(diǎn)作用一力 ?F，已知 ?a＝ 180?mm， b＝ 400?mm， ??＝ 60?， F＝ 100?N。求力 F 對(duì) O 點(diǎn)之矩。 解 由力矩的定義式（ 16）可得 dFM O ??）（ F 因?yàn)榱Ρ??d?值計(jì)算較繁，應(yīng)用合力矩定理式（ 17），則可以較方便地計(jì)算出結(jié)果： bFaFbFaFMMM yxyOxOO ?????????? 60s i n60c o s ）（）（）（ FFF 6 0 060c o s60s i n ????????????? ）（）（ abF （ Nm） 例 24 如圖所示圓柱齒輪，受到與它相嚙合的另一齒輪的作用力 980NnF ? ，壓力角 α＝ 20?，齒輪節(jié)圓直徑 ? ，試求力 Fn 對(duì)齒輪軸心 O 之矩。 解 (1)應(yīng)用 力 矩公 式計(jì) 算 如圖 212a， 齒輪 軸心 O 為矩 心， 力臂?cos2Dd ? ，則力 Fn 對(duì) O 點(diǎn)之矩為 O ( ) c o s 9 8 0 N 0 .0 8 m c o s 2 0 7 3 .7 N m2n n n DM F d F ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?F （ 2）應(yīng)用合力矩定理計(jì)算 如圖 212b 所示 將力 Fn 分解為圓周力 Ft 和徑向力 Fr： cossintnrnFFFF ?????? 由合力矩定理可得 ( ) ( ) ( )O n O t O rM M M??F F F 因?yàn)閺较蛄?Fr 通過矩心 O，故 ( ) 0OrM ?F ，于是 t( ) ( ) c o s 7 3 .7 N m22O n O t nDDM M F F ?? ? ? ? ? ? ?FF 26 2． 2． 3 力偶及其性質(zhì) 1. 力偶的概念 ① 由兩個(gè)大小相等、方向相反的平行力組成的力系，稱為力偶。 ② 實(shí)踐證明， 力偶只對(duì)物體產(chǎn)生純轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng) ，因此，只改變物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。 2．力偶矩 力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng)，用力偶中的一力的大小 ?F?與力偶臂 ?d?的乘積 ?F?d 來度量 ，稱為 力偶矩 ，記作 M（ F， F??），簡(jiǎn)記為 M，即 dFM ???），（ FF 或 dFM ?? 力偶矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定： 逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為負(fù) 。 力偶矩的單位與力矩的單位相同，為 Nm或 kNm。 3. 力偶的三要素 力偶對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于 力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向和力偶作用平面的方位 ，這 三者稱為 力偶的三要素 。 三要素中的任何一個(gè)發(fā)生了改變，力偶對(duì)剛 體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)就會(huì)改 變。 若兩個(gè)力偶的三要素相同，則這兩個(gè)力偶彼此等效。 4．力偶的性質(zhì) 圖 2 － 12 27 性質(zhì) 1 力偶在任何坐標(biāo)軸上的投影為零 。 它表明 不能將力偶簡(jiǎn)化為一個(gè)力，或者說力偶沒有合力。即 力偶不能與一個(gè)力等效，也不能用一個(gè)力來平衡。 力偶只能與力偶等效。也只能與力偶相平衡。故 力偶對(duì)剛體只有轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，而無移動(dòng)效應(yīng) 。 性質(zhì) 2 力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng)取決于力偶的三要素，而與作用位置無關(guān) 。 推論（ 1） 力偶可以在作用面及平行于作用面的平面內(nèi)任意搬移，而不會(huì)改變對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。 推論（ 2） 只要保持力偶矩不變，可以任意改變力的大 小和方向及力偶臂的長(zhǎng)短，而不會(huì)改變力偶對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng) 。 注意： 上述推論只適用于剛體，而不適用于變形體。 性質(zhì) 3 力偶對(duì)其作用面內(nèi)任意點(diǎn)的矩恒等于此力偶的力偶矩，而與矩心的位置無關(guān)。 2． 2． 4 平面力偶系的合成與平衡 1．合成 作用在剛體上同一平面內(nèi)的若干個(gè)力偶所組成的系統(tǒng)，稱為 平面力偶系 。 設(shè)在同平面內(nèi)有兩個(gè)力偶（ 1F ， 1F? ）和（ 2F ， 2F? ），它們的力偶臂分別為 d1和 d2，如 圖（ a）所示。則兩力偶的力偶矩分別為 111 dFM ?? ， 222 dFM ?? 分別將作用在 ?A?點(diǎn)的兩個(gè)力和 B 點(diǎn)的兩個(gè)力進(jìn)行合成（設(shè) F3＞ F4），可得 43R FFF ?? 43R FFF ????? FR?與 RF? 為一對(duì)等值、反向、不共線的平行力，它們組成的力偶就是原來兩個(gè)力偶的合力 偶，其合力偶矩為 214343R MMdFdFdFFdFM ??????? ）（ 合力偶矩為 28 ?????? in MMMMM ?21 即 平面力偶系合成的結(jié)果為一個(gè)合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代數(shù)和 。 2．平面力偶系的平衡 平面 力偶系平衡的充分與必要條件是所有各分力偶矩的代數(shù)和等于零。即 i 0M?? （ 210） 這就是平面力偶系的 平衡方程，應(yīng)用該方程可以求解一個(gè)未知量。 例 25 多頭鉆床在水平工件上鉆孔如圖所示，設(shè)每個(gè)鉆頭作用于工件 上的切削力在水平面上構(gòu)成一個(gè)力偶。 1 2 31 3 . 5 N m , 1 7 N mM M M? ? ? ? ?。求工件受到的合力偶矩。如果工件在 A、 B 兩處用螺栓固定， A 和 B 之間的距離 l=，試求兩螺栓在工件平面內(nèi)所受的力。 解 （ 1）求三個(gè)主動(dòng)力偶的合力偶矩 1 2 31 3 . 5 1 3 . 5 1 7 4 4 N miM M M M M? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 負(fù)號(hào)表示合力偶矩為順時(shí)針方向。 （ 2）求兩個(gè)螺栓所受的力 選工件為研究對(duì)象，工件受三個(gè)主動(dòng)力偶作用和兩個(gè)螺栓的反力作用而平衡，故兩個(gè)螺栓的反力作用而平衡，故兩個(gè)螺栓的反力 FA 與FB 必然組成為一力偶 ，設(shè)它們的方向如 218 圖所示，由平面力偶系的平衡條件，有 ? ?0iM 0321 ???? MMMlF A 解得 1 2 3 220 NA M M MF l???? 所以 220 NABFF?? ，方向如圖 218 所示。 2． 2． 5 力的平移定理 定理 作用在剛體上某點(diǎn)的力 ?F，可平移到剛體內(nèi)的任意一指定點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，其附加力偶矩等于原力對(duì)指定點(diǎn)之矩 。 證 如圖所示 29 ）（ FBMdFM ?? 證畢。 力的平移定理，可以看成為 一個(gè)力分解為一個(gè)與其等值的平行力和一個(gè)位于平移平面內(nèi)的力偶 。同樣，利用力的平移定理 也可將一個(gè)力偶和一個(gè)位于該力偶作用面內(nèi)的力，合成為一個(gè)該作用面內(nèi)的合力 。合力與原力矢量相等，其作用線平移的距離為 Md F? 合力的作用線在原力作用線的哪一側(cè)應(yīng)根據(jù)力偶的轉(zhuǎn)向確定 。 例如，用扳手和絲錐攻螺紋時(shí)，如果只在扳手的一端加力 ?F，如圖（ a）所示，由力的平移定理可知，力 ?F???卻使絲錐彎曲，從而影響攻絲精度，甚至使絲錐 折斷，因此這樣操作是不允許的。 再 例如打乒乓球 30 【教學(xué)內(nèi)容】 課程名稱 工程力學(xué) 教學(xué)單元名稱 2． 3 平面任意力系的簡(jiǎn)化 2． 4 平面力系的平衡方程及應(yīng)用 單元能力培養(yǎng)目標(biāo) 了解平面力系的簡(jiǎn)化方法及簡(jiǎn)化結(jié)果；會(huì)應(yīng)用解析法計(jì)算平面力系的合力；理解平面力系平衡方程基本形式的意義；了解平面力系平衡方程其它形式及使用條件；掌握應(yīng)用平面