【正文】 解 （ 1）畫梁的受力圖和求支座反力 43 由圖 1025a 所示梁的受力情況看到，梁的形狀和載荷具有對(duì)稱性，根據(jù)對(duì)稱性可得 6 2 6 8 kN 2 24 kNABF F F? ? ? ? ? （ 2）畫梁的彎矩圖 由圖 1025b 所示梁的彎矩圖中求出、最大彎矩值為 m a x 8kN m kN mM Fa? ? ? ? ? （ 3）校核梁的強(qiáng)度 矩形截面具有對(duì)中性軸的上下對(duì)稱性，故強(qiáng)度公式應(yīng)選用式（ 719）為 ? ?6m a xm a x 2Z 10 N m m MP a100 m m 200 m m6MW??? ? ?? ＜ ??? 由計(jì)算結(jié)果可知，梁的強(qiáng)度夠用。 例 711 圖 725a 所示一木制外伸梁，矩形截面，已知 F = 8 kN， a = m，截面尺寸 h = 200 mm， b = 100 mm，木料的許用應(yīng)力 ??? = 10 MPa。 若需考慮彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度時(shí)，對(duì)等截面梁，最大切應(yīng)力發(fā)生在最大剪力所在的截面上，其彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件為 Qmax maxzzFSIb? ? ≤ ??? （ 721） 式中 QmaxF 為梁的最大剪力； maxzS 為中性軸一側(cè)截面對(duì)中性軸的截面靜矩； b 為橫截面在中性軸處的寬度； ??? 材料的許用切應(yīng)力。 對(duì)于等截面直梁，最大彎矩所在的截面稱為危險(xiǎn)截面，危險(xiǎn)截面上距離中性軸最遠(yuǎn)處的點(diǎn)稱為危險(xiǎn)點(diǎn)，要使梁具有足夠的強(qiáng)度，必須使危險(xiǎn)截 面上的最大工作應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力，其強(qiáng)度條件為 ? ??? ??zIyM m a xm a xm a x （ 718） 式中 ??? 為材料許用彎曲應(yīng)力。 單元教學(xué)方式 理論授課＋多媒體 作業(yè) 教材 P235 16 167 1610 42 對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，應(yīng)同時(shí)滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和切應(yīng)力強(qiáng)度條件。 單元教學(xué)設(shè)計(jì) 以簡(jiǎn)支梁為例，分析確定梁危險(xiǎn)截面上最大工作應(yīng)力，運(yùn)用強(qiáng)度條件解決強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面尺寸和確定許用載荷的方法。 理解提高梁彎曲強(qiáng)度的主要措施。即切應(yīng)力相對(duì)很小，彎曲正應(yīng)力是主要因素，進(jìn)一步分析表明，對(duì)于圓形、矩形等實(shí)心截面梁，只要 lh比值較大，且材料的抗剪能力不差，則切應(yīng)力都可略去不計(jì)。由于應(yīng)力分布規(guī)律（如圖 724b、 c）可知，最大正應(yīng)力發(fā)生在 B 截面的上、下邊緣處，最大切應(yīng)力發(fā)生在各橫截面中性軸處。 例 710 一矩形截面懸臂梁，在自由端承受集中載荷 F ，如圖 724a 所示， l ＞ 5h ，試求最大切應(yīng)力 max? 和最大彎曲正應(yīng)力 max? 的比值。上式表明圓截面梁的最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力的 倍。計(jì)算結(jié)果顯示，工字形截面上、下翼緣主要承擔(dān)彎矩，而腹板主要承擔(dān)剪力。 對(duì)矩形截面來(lái)說(shuō)，由于 QF 、 b 、 zI 均為常量，故切應(yīng)力 ? 隨 zS 而變 化，代入公式（ 713），得 2Q 224zF h yI? ???????? 切應(yīng)力 ? 沿橫截面高度呈二次拋物線規(guī)律變化，其指向與剪力 QF 的指向一致，在離中性軸最遠(yuǎn)的上、下邊緣處 ( 2hy?? )， 0?? ，而在中性軸上各點(diǎn)處 ( 0y? )有切應(yīng)力的 最 圖 722 39 大值 22 Q Qm a x 0 3z340 1 .522 4 212yhFF F FhbhI b h A?? ???? ? ? ? ? ????? （ 714） 矩形截面梁切應(yīng)力的最大值是整個(gè)截面上切應(yīng)力平均值 倍。 在梁的橫截面上，切應(yīng)力的分布比較復(fù)雜，為導(dǎo)出切應(yīng)力的計(jì)算式，先作如下兩點(diǎn)假設(shè)： （ 1）截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力 ? 的方向和剪力 QF 的方向相同； （ 2）截面上切應(yīng)力沿寬度均勻分布，即距中性軸等距離各點(diǎn)的切應(yīng)力相等。由公式（ 78）算出 圖 721 38 ? ?6m a xm a x 31 1 0 N m m 3 0 m m 4 1 M P a4 0 m m 6 0 m m 1 2B zMy I? ??? ? ?? （ 3）求固定端截面上 A 點(diǎn)的正應(yīng)力 截面彎矩 BM 是負(fù)值，因此中性軸上方是拉伸區(qū)域、中性軸下方是壓縮區(qū)域，如圖721c 所示。 解 （ 1）確定截面形心 C 的坐標(biāo) 設(shè)參考坐標(biāo)軸 zy ，把截面看成由矩形面積 1A 和 2A 構(gòu)成的組合截面，根據(jù)靜力學(xué)中求截面形心公式知道矩形面積 1A 和形心 1C 的坐標(biāo)為 21 30 20 0 6 00 0 m mA ? ? ?； 1 175 my ? ； 01?z 矩形面積 A2形心 C2的坐標(biāo)為 22 20 16 0 3 20 0 m mA ? ? ?； 2 80 my ? ； 02?z 代入形心公式有 221 1 2 22212 6 0 0 0 m m 1 7 5 m m 3 2 0 0 m m 8 0 m m 1 4 2 m m6 0 0 0 m m 3 2 0 0 m mc A y A yy AA? ? ? ?? ? ??? 0?cz 圖 719 圖 720 37 （ 2）計(jì)算截面對(duì)通過(guò)其形心 C 的 Cz 軸的慣性矩 根據(jù)公式（ 711）得 12zC zC zCI I I?? 其中 ZCI 為截面對(duì) Cz 軸的慣性矩，就是對(duì)截面中性軸的慣性矩； C1zI 為矩形面積 1A部分對(duì)形心 C 的慣性矩； C2zI 為矩形面積 1A 部分對(duì)形心 C 的慣性矩；應(yīng)用平行移軸公式（ 712）分別代入后算出 ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?221 2 1 1 1 2 2 23223226420 0 m m 30 m m6 00 0 m m 17 5 m m 14 2 m m1220 m m 16 0 m m3 20 0 m m 14 2 m m 80 m m1226 .1 10 m mZ C Z C Z C Z ZI I I I A a I A a? ? ? ? ? ????? ? ? ? ??????? ? ????? 例 79 圖 721a 所示一懸臂梁，自由端受集中 力 F = 4 kN 作用，矩形截面的尺寸是 h = 60 mm、 b = 40 mm、 l = 250 mm，試求固定端截面上的最大正應(yīng)力及 A 點(diǎn)的正應(yīng)力。寫為 12 1nz z z z i z iiI I I I I?? ? ? ? ? ? （ 712） 其中， zI 為截面對(duì)某一軸 z 的慣性矩； ziI 為各個(gè)簡(jiǎn)單圖形對(duì)某一軸 z 的慣性矩 。 常用截面的慣性矩 zI 和抗彎截面系數(shù) zW 1．圓形和矩形截面的慣性矩和抗彎截面系數(shù) 圖 718 36 梁彎曲時(shí)截面對(duì)中性軸的慣性矩的計(jì)算公式為 2dZAI y A?? 2．組合截面的慣性矩 平行移軸公式 2z zcI I a A?? （ 711） 式（ 710）中 zI 為截面對(duì)某一軸 z 的慣性矩； zcI 為截面對(duì)平行 z 軸的形心軸 Cz 的慣性矩；A 為截面面積； a 為二軸之間距離，如圖 719 所示。 通常判定正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)方法： 一是由彎曲變形直接判定，即以截面中性軸為界，梁外凸側(cè)的正應(yīng)力為正（拉應(yīng)力），內(nèi)凹側(cè)的正應(yīng)力為負(fù)（壓應(yīng)力）；其次可以由截面上彎矩 zM 的正、負(fù)來(lái)判定，當(dāng)彎矩為正時(shí)，中性軸上方區(qū)域?yàn)閴簯?yīng)力，中性軸以下區(qū)域?yàn)槔瓚?yīng)力；當(dāng)彎矩為負(fù)時(shí)，則相反。因此，常將 zEI 稱為梁的 抗彎剛度 。 （ 2）純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力公式 1zMEI?? （ 76） 上式是梁彎曲變形的一個(gè)基本公式。中性軸必垂直于橫截面的對(duì) 稱軸。 （ 2）單向受力假設(shè) 梁從上表面到下表面，縱向纖維由縮短逐漸連續(xù)地過(guò)渡到伸長(zhǎng)，其間必有一層纖維即不伸長(zhǎng)也不縮短，這一縱向纖維層稱為 中性層 。 2．平面假設(shè) 取圖 7l6所示梁的純彎曲部分 CD段作為研究對(duì)象。 以簡(jiǎn)支梁為例，分析求解梁橫截面上剪力和彎矩分布規(guī)律及判定其正負(fù)的方法。 了解常見(jiàn)簡(jiǎn)單截面（矩形、圓、空心圓）的二次軸矩與彎曲截面系數(shù)的計(jì)算以及工字鋼等型鋼表的查法。 了解常見(jiàn)簡(jiǎn)單截面（矩形、圓、空心圓）的二次軸矩與彎曲截面系數(shù)的計(jì)算以及工字鋼等型鋼表的查法。各控制點(diǎn)彎矩為 P06 m 6 m 3 m 6 kN m6 m 6 m 3 m 4 kN m3 m = 12 kN m0zAz C Az B AzBzDMM F qM F q MMFM??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 確定 Q 0F? 的截面 E：令 AC 段距 A 點(diǎn)為 0x 處截面的剪力等于零，即 Q00AF F qx? ? ? 所以 0 4 k N 4m1 k N mAFx q? ? ? AC 段的極值彎矩為 000 8 k N m2z E A xM F x q x? ? ? ? 根據(jù)以上各控制點(diǎn)的 彎矩值繪出彎矩圖，如圖 715c 所示，圖中 zm ax 12 kN mM ??。 AC 的 zM 圖為二次拋物線（ ︵ ）， CB 段為斜直線（ ＼ ）， BD 段為斜直線（ ／ ）。圖中Q max 4kNF ?。 AC 段的 QF 圖為斜直線（ ＼ ）， CB、 BD 段的QF 圖為水平線。由梁的平衡方程得 ? ?? ?01 1 0 k N m 1 k N m 6 m 7 m 4 k N 3 m 4 k N10BiAMFF?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?01 1 0 k N m 1 k N m 6 m 3 m 4 k N 1 3 m 6 k N10AiBMFF?? ? ? ? ? ? ? ? ?? 校核 6 m 0iy A B PF F F q F? ? ? ? ? ?? （計(jì)算無(wú)誤） （ 2）作剪力圖。 從圖 714b 和 c 看出，梁上的最大剪力發(fā)生在截面 B 的左側(cè)附近 ，其絕對(duì)值為 Q m a x Q 8 .8 k NBFF??左 側(cè) 梁上的最大的彎矩發(fā)生在 C 截面的左側(cè)附近，其絕對(duì)值為 z m a x kN mcMM? ? ?左 側(cè) 例 77 外伸梁 AD 受力情況如圖 715a 所示，試根據(jù)彎矩、剪力與載荷集度之間的微分關(guān)系作此梁的剪力圖和彎矩圖。 BD 段：因 B 點(diǎn)有指向向上的集中力 BF , 在該界點(diǎn)的剪力圖有向上的突變，突變值為 ； D 點(diǎn)有指向向下的集中力 F , 在該界點(diǎn)的剪力圖有向下的突變，突 變值為2kN ；同時(shí)該段受向下均布載荷作用，故剪力圖為左高右低的斜直線；畫出的斜直線即是該段剪力圖。又因該段梁上受向下均布載荷作用，故 M 圖為開(kāi)口向下的拋物線。 因該段剪力圖上有 Q( ) 0Fx? 的點(diǎn)，與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的彎矩圖上要出現(xiàn)極值。彎矩方程的區(qū)段內(nèi)特征值是 ? ?z 00M ? 、 ? ?z 2 14 .4 kN mM ? ，彎矩圖是一條左低右高斜直線。列出 ? ? ? ? ? ?Q 2 m 7 .2 k N 2 k N m 2 mAF x F q x x? ? ? ? ? ? ? （ 5） ? ? ? ?? ? 22m2m22 k N m 2 m7 .2 1 6 k Nm2zAxM x F x M q xxx?? ? ? ???? ? ? ? ? 16 kN m 2 mxx? ? ? ? （ 2 m ≤ x ≤ 10 m） （ 6） BD 段： 以梁的右端截面為坐標(biāo)原點(diǎn)，取距原點(diǎn)為 1x 的任意截面右側(cè)段為研究對(duì)象，圖 714a 示。 解 （ 1）畫梁的受力圖的求支反力 根據(jù)受力圖（圖 714a 所示），建立平衡方程 ? ? 0zAMF?? 12 m 10