【文章內(nèi)容簡介】 求 22 截面的剪力和彎矩時，取 22 截面右側(cè)段梁為研究對象更加方便，假想用紙把截面左側(cè)段梁遮住。直接寫出 2 2 kNQBFF? ? ? 2 0 .2 2 k N 0 .2 m 0 .4 k N mBMF? ? ? ? ? ? ? ? 課程名稱 工程力學(xué) 教學(xué)單元名稱 第 7 章 梁的彎曲 剪力圖和彎矩圖 22 【教學(xué)內(nèi)容】 第 7 章 梁的彎曲 剪力 圖和彎矩圖 單元能力培養(yǎng)目標(biāo) 理解 方程與彎矩方程的概念、由剪力方程和彎矩方程作剪力圖與彎矩圖的方法。理解剪力、彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系。 掌握由剪力、彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系作彎矩圖的方法。 知識點 技能點 剪力方程、彎矩方程的概念，剪力方程和彎矩方程及剪力圖和 彎矩圖都是梁強(qiáng)度計算和剛度計算的重要依據(jù)，是工程力學(xué)主要基礎(chǔ)知識之一，也是學(xué)習(xí)工程力學(xué)時應(yīng)該掌握的基本技能。 單元教學(xué)設(shè)計 以懸臂梁、簡支梁為例，分析梁上受集中載荷、均布載荷、集中力偶拒作用時的剪力圖、彎矩圖的繪制方法。由剪力方程和彎矩方程得出 剪力、彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系，并利用此關(guān)系掌握作彎矩圖的方法。 單元教學(xué)方式 理論授課＋多媒體 作業(yè) 教材 P218 151(b)、 152(a)(f)、 155 23 剪力方程和彎矩方程 剪力方程 和 彎矩方程。 坐標(biāo) x 的原點一般取在梁的左端面處，設(shè)橫截面沿梁軸線的位置用坐標(biāo) x 表示，則梁各個橫截面上的剪力和彎矩可以表示為坐標(biāo) x 的函數(shù)，即 ()F F x? （ 71） zz()M M x? （ 72） 剪力圖和彎矩圖 以橫截面上的剪力或彎矩值為縱坐標(biāo)，以橫截面沿梁軸線的位置為橫坐標(biāo) x 分別繪出表示Q()Fx或 z()Mx的函數(shù)圖形，稱為 剪力圖 和 彎矩圖 。正值的剪力和彎矩畫在 x 軸上側(cè)，負(fù)值的剪力和彎矩畫在 x 軸下側(cè)。 例 72 懸臂梁長 l ，在自由端受集中力 F 作用，如圖 710 所示。試?yán)L制梁的剪力圖和彎矩圖。 解 （ 1）建立剪力方程和彎矩方程 以 A 為坐標(biāo)原點，在距原點 x 的截面處假想截開，取左側(cè)段為研究對象，并設(shè)截面上的剪力和彎矩為正，如圖 b 示。 Q()F x F?? （ 1） z()M x Fx?? （ 0 ≤ x l ） （ 2） （ 2）繪制剪力圖和彎矩圖如圖 d 所示。 從剪力圖和彎矩圖可見，在梁的各橫截面上，剪力都相同；在固定端的左側(cè)橫截面上，彎矩的絕對值最大，為 z max BM M Fl??。 例 73 簡支梁 AB 受均布載荷 q 作用，梁長 l （ 圖 711 a）。試?yán)L制梁的剪力圖和彎矩圖。 解 （ 1）畫梁的受力圖和求支座反力 畫出梁的受力圖（圖 a 所示）。求得 A、 B 兩處的支座反力是梁上總載荷 ql 的一半，為 2ABqlFF?? 圖 710 24 （ 2）建立剪力方程和彎矩方程 以 A 為坐標(biāo)原點，在距原點 x 的截面處假想截開后取左側(cè)段為研究對象， 圖 711b示。直接寫出 AB 段內(nèi)的剪力方程和彎矩方程分別為 ? ?Q 2A qlF x F q x q x? ? ? ? （ 0xl ） （ 1） ? ? 2Z 12 2 2A x q lM x F x q x x q x? ? ? ?（ 0≤ x≤ l ） （ 2） （ 3）畫剪力圖和彎矩圖 式（ 1）表示的剪力 Q()Fx為 x 的一次函數(shù)，剪力圖是一條斜直線，在 AB 區(qū)段內(nèi)分別選 0x? 和xl? 兩點 坐標(biāo)代入剪力方程（ 1），繪出的剪力圖是一條斜直線，見 圖 711c 示。式（ 2）彎矩方程z()Mx為 x 的二次函數(shù)，彎矩圖是一條拋物線，在AB 區(qū)段內(nèi)分別選數(shù)個特征點坐標(biāo)代入彎矩方程（ 2），特征點坐標(biāo)中至少應(yīng)有 0x? 、 xl? 和/2xl? 三點，得到特征值 (0) 0zM ? 、 ( ) 0zMl?和 2( / 2) / 8zM l ql? ，見 圖 711d 示。 從繪制的剪力圖和彎矩圖可知，在兩支座附近的橫截面上剪力的絕對值最大，為 Q Q Q 2m a x A B qlF F F? ? ? 在梁的中點截面處，剪力為零；彎矩的絕對值最大 2m ax 8z qlMM??中 點 例 74 簡支梁受集中力 F 作用（圖 712a），圖中尺寸 a、 b、 l 均已知，試畫該梁的剪力圖和彎矩圖。 解 （ 1）畫受力圖和求支座反力 由梁的受力圖（圖 712a）建立平衡方程 坐標(biāo) x 0 4l 2l 43l l 剪力 QF 2ql 0 2ql? 彎矩 ZM 0 323 2ql 82ql 323 2ql 0 圖 711 25 ? ?? ?0FMA 0BFa F l? ? ? ? ?? ? 0FM B 0AFb F l?? 求得支反力為 A FbF l? B FaF l? （ 2）建立剪力方程和彎矩方程 AC 段： 取距原點為 x 的任意截面，以截面左側(cè)段為研究對象（受力分析圖省略），其上的剪力和彎矩方程分別為 ? ?Q A FbF x F l?? （ 1） ? ?ZA FbM x F x xl?? （ 0 ≤ x ≤ a） （ 2） CB段：取距原點為 x的任意截面，以截面左側(cè)段為研究對象，其上的剪力和彎矩方程分別為 ? ?Q A F b F aF x F F Fll? ? ? ? ? ? （ 3） ? ? ? ? ? ? ? ?zA F b F bM x F x F x a x F x a l xll? ? ? ? ? ? ? ? （ a ≤ x ≤ l） （ 4） 【 討論 】 ：取梁的右端端面為坐標(biāo)原點，以距該原點為 x 的任意截面右側(cè)段為研究對象，計算更為方便簡練（圖 712b 所示）。其剪 力方程和彎矩方程為 CB 段： ? ?Q1 B FaF x F l? ? ? ? （ 5） ? ? 11ZB FaM x F x xl?? （ 0 ≤ x ≤ b） （ 6） （ 3）畫剪力圖和彎矩圖 【分析 討論 】 ： （ 1）式， AC 段內(nèi)梁的任意橫截面上的剪力 ? ?QFx為一不變的常數(shù)，各截面的剪力相同，為 QF Fb l? ，剪力圖是一條在 x 軸上方的水平直線。 （ 2）式，彎矩方程 ()zMx為 x 的一次函數(shù)，需在 AC 區(qū)段內(nèi)選兩個特征點坐標(biāo)代入 26 彎矩方程（ 2），即 0x? 和 xa? ，求出特征值 (0) 0zM ? 、 ()zM a F ab l? ，繪制的 AC段彎矩圖是一條左低右高的斜直線。 （ 3）式， 在 BC 段內(nèi)梁的任意橫截面上的剪力Q()Fx為一不變的常數(shù)，各截面的剪力相同，為 QF Fa l?? ，剪力圖是一條在 x 軸下方的水平直線。 （ 4）式，彎矩方程 z()Mx為 x 的一次函數(shù)，在 CB 區(qū)段內(nèi)選兩個特征點坐標(biāo)代入彎矩方程（ 4），即 xa? 和 xl? ，得到特征值 ()zM a Fa b l? 、 ( ) 0zMl? ，繪出 CB 段彎矩圖是一條左高右低的斜直線。 通過以上分析后，繪出的梁的剪力圖和彎矩圖，見圖 712c 和 d 所示。 從圖 712c 和 d 看出，當(dāng) a ＞ b 時， CB 段的剪力的絕對值最大，為 Qmax FaF l? 在梁的集中力作用截面處，彎矩的絕對值最大，為 m a xzcF abMM l?? 當(dāng) 2a b l?? 時，集中力作用在梁的中點截面處，則有 Qmax 2FF ? m a x 4zcFlMM?? 例 75 一簡支梁受集中力偶 M 作用（圖 713a），圖中尺寸 a 、 b 、 l 均已知，試?yán)L制梁的剪力圖和彎矩圖。 解 （ 1）畫受力圖和求支座反力 由于梁受一個集中力偶作用下處于平衡，滿足力偶的平衡條件，由此得出 A、 B 兩處的支座反力必大小相等、指向相反，即 z 0M ?? 0AM F l?? ABMFF l?? （ 2）建立剪力方程和彎矩方程 即 AB 段（ 0 xl ）的剪力方程： 圖 713 27 ? ?Q A MF x F l?? （ 1） AC 段的彎矩方程： ? ?z A MM x F x xl??（ 0 ≤ xa ） （ 2） CB 的彎矩方程段： ? ?z 1 1 1B MM x F x xl? ? ? ?（ 0 ≤ x1 b ） （ 3） （ 3）畫剪力圖和彎矩圖 【分析】 由 （ 1）式，全梁的任意橫截面上的剪力 Q()Fx為一不變的常數(shù) ，大小為QF M l? ，繪 出的剪力圖是在 x 軸上方的水平直線。（ 2）式， AC 段內(nèi)彎矩方程 z()Mx為x 的一次函數(shù)，取特征坐標(biāo)點 0x? 和 xa? 代入 彎矩方程（ 2），得到 AC 段彎矩圖是一條左低右高的斜直線。 將 1 0x? 和 1xb? 代入 式（ 3）， CB 區(qū)段內(nèi)的彎矩圖是一條左高右低的斜直線。從圖713c 和 d 看出，全梁 的剪力 QF 為一不變的常數(shù) ，為 Qmax MF l? 當(dāng) a ＞ b 時，最大的彎矩發(fā)生在 C 截面的左側(cè)附近，其絕對值為 m a xz c MaMM l??左 側(cè) 剪力 彎矩和載荷集度間的關(guān)系 梁上各截面的剪力和彎矩不同，剪力圖和彎矩圖的形狀也不同，梁的剪力圖、彎矩圖與梁上載荷之間存在一定的微分關(guān)系，剪力方程的一階導(dǎo)數(shù)等于載荷集度，彎矩方程的一階導(dǎo)數(shù)等于剪力方程。 ? ? ? ?d dQFx qxx ? ? ? ? ?d d QMx Fxx ? ? ?2 2d dMx qx ?? 上述三式的幾何意義分別是： 剪力圖上任一點切線的斜率等于梁上對應(yīng)點處的載荷集度；彎矩圖上任一點切線的斜率等于梁上對應(yīng)點處橫截面上的剪力；彎矩圖的凹凸形狀可由載荷集度 q 的正、負(fù)確定 。利用這些微分關(guān)系，可以對梁的剪力、彎矩圖進(jìn)行繪制和檢查。 【分析歸納】 總結(jié)梁的剪力圖、彎矩圖與梁上載荷之間的一些規(guī)律如下： 1．若梁上某段無分布載荷作用，則剪力 Q()Fx為一不變的常數(shù)，剪力圖為一水平直線。而彎矩 z()Mx是 x 的一次函數(shù)，彎矩圖為一斜直線。當(dāng) QF ＞ 0 時，彎矩圖從左到右 28 向上傾斜（斜率為正）；當(dāng)QF＜ 0 時，彎矩圖從 左到右向下傾斜（斜率為負(fù)）；當(dāng)QF＝ 0時，彎矩圖為一水平直線。 2．若梁上某段有均布載荷 q 作用，則剪力Q()Fx是 x 的一次函數(shù)，段內(nèi)剪力圖為一斜直線；對應(yīng)的彎矩 z()Mx為 x 的二次函數(shù)，段內(nèi)彎矩圖為二次拋物線，且拋物線的開口方向與均布載荷 q 的指向一致。若 q 的指向向下（ q ＜ 0），則該段剪力圖為左高右底的斜直線，彎矩圖為開口向下的拋物線；若 q 的指向向上（ q ＞ 0），則該段剪力圖為左底右高的斜直線，彎矩圖為開口向上的拋物線；在 QF ＝ 0 的截面上，彎矩為級值，即為拋物線的頂點。 3．在集中力作用的界點上，剪力圖有突變，突變值等于該集中力；從左向右繪圖時，突變方向與集中力指向一致，若從右向左繪圖時，則突變方向與集中力指向相反。而彎矩圖在此界點處存在折角現(xiàn)象。 4．在集中力偶作用的界點，剪力圖無變化。彎矩圖有突變，突變值等于該集中力偶矩；從左向右繪圖時，當(dāng)力偶順時針轉(zhuǎn)向，彎矩圖向上突變；反之，若力偶為逆時針轉(zhuǎn)向，則彎矩圖向下突變。反之，當(dāng)從右向左繪圖時，則突變方向與之相反。 表 71 剪力圖和彎矩圖的圖形規(guī)律 q = 0 q ≠ 0 圖形 規(guī)律 斜率規(guī)律 圖形規(guī)律 斜率規(guī)律 q 指向 向下 q指向 向上 剪力圖 直線 水平 斜直線 左高右低 左低右高 彎矩圖 斜直線 QF＞ O 左低右高QF ＜ 0 左高右低 拋物線 開 口向下 開口向上 表 72 剪力