線性代數(shù)總結(jié)匯總經(jīng)典例題(參考版)
2025-03-28 07:09本頁面
【正文】 的充要條件是a + b + c =0.證明: 考察范德蒙行列式:n元二次型xTAx正定充要條件：（1）A的正慣性指數(shù)為n（2）A與E合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CTC或CTAC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的順序主子式均大于0（k階順序主子式為前k行前k列的行列式）n元二次型xTAx正定必要條件：（1）aii＞0（2）|A|＞01總結(jié)：二次型xTAx正定判定（大題）（1）A為數(shù)字：順序主子式均大于0（2）A為抽象：①證A為實對稱矩陣：AT=A；②再由定義或特征值判定1重要結(jié)論：（1）若A是正定矩陣，則kA（k＞0），Ak，AT，A1，A*正定（2）若A、B均為正定矩陣，則A+B正定 線性代數(shù)行列式經(jīng)典例題例1計算元素為aij = | i－j|的n階行列式.解 方法1 由題設(shè)知，=0，故其中第一步用的是從最后一行起，逐行減前一行．第二步用的每列加第列．方法2 =例2. 設(shè)a, b, c是互異的實數(shù), 證明:注：（1）由于正負(fù)慣性指數(shù)不變，所以規(guī)范形唯一。（二）慣性定理及規(guī)范形定義：正慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項的個數(shù)稱為正慣性指數(shù)，記為p；負(fù)慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形中負(fù)平方項的個數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù)，記為q；規(guī)范形：f=z12+…zp2zp+12…zp+q2稱為二次型的規(guī)范形。其中，可逆線性變換及標(biāo)準(zhǔn)形通過先配方再換元得到?！骺偨Y(jié)：特征值與特征向量的求法（1）A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊（2）A為數(shù)字的：由特征方程法求解特征方程法：（1）解特征方程|λEA|=0，得矩陣A的n個特征值λ1，λ2，…，λn注：n次方程必須有n個根(可有多重根，寫作λ1=λ2=…=λs=實數(shù)，不能省略)（2）解齊次方程（λiEA）=0，得屬于特征值λi的線性無關(guān)的特征向量，即其基礎(chǔ)解系（共nr（λiEA）個解）性質(zhì)：（1）不同特征值的特征向量線性無關(guān)（2）k重特征值最多k個線性無關(guān)的特征向量 1≤nr（λiEA）≤ki（3）設(shè)A的特征值為λ1，λ2，…，λn，則|A|=Πλi，Σλi=Σaii（4）當(dāng)r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均為n維非零列向量，則A的特征值為λ1=Σaii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0（5）設(shè)α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量，則Af（A）ATA1A*P1AP（相似）λf（λ）λλ1|A|λ1λαα/ααP1α（二）相似矩陣相似矩陣的定義：設(shè)A、B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P使得B=P1AP，稱A與B相似，記作A~B相似矩陣的性質(zhì)（1）若A與B相似，則f（A）與f（B）相似（2）若A與B相似，B與C相似，則A與C相似（3）相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項式、特征方程、特征值、跡（即主對角線元素之和）【推廣】（4）若A與B相似，則AB與BA相似，AT與BT相似，A1與B1相似，A*與B*也相似（三）矩陣的相似對角化相似對角化定義：如果A與對角矩陣相似，即存在可逆矩陣P，使得P1AP=Λ= ，稱A可相似對角化。α，即α為矩陣A特征值λ=0的特征向量（2）A的各行元素和為k，則(1，1，…，1)T為特征值為k的特征向量。|λEA |=0稱為矩陣A的特征方程（λ的n次方程）?！镏匾Y(jié)論：（證明也很重要）設(shè)A施mn階矩陣，B是ns階矩陣，AB=O（1）B的列向量均為方程Ax=0的解（2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）總結(jié)：基礎(chǔ)解系的求法（1）A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊nr（A）個線性無關(guān)的解（2）A為數(shù)字的：A→初等行變換→階梯型自由未知量分別取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基礎(chǔ)解系（四）解的結(jié)構(gòu)（通解）齊次線性方程組的通解（所有解）設(shè)r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξnr 為Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=0的通解為k1η1+k2η2+…+knrηnr （其中k1，k2，…，knr為任意常數(shù)）非齊次線性方程組的通解設(shè)r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξnr 為Ax=0的基礎(chǔ)解系，η為Ax=b的特解，則Ax=b的通解為
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1