線性代數(shù)總結(jié)匯總經(jīng)典例題-資料下載頁
2025-03-25 07:09本頁面
【正文】 其正負慣性指數(shù)不變。注：（1）由于正負慣性指數(shù)不變，所以規(guī)范形唯一。（2）p=正特征值的個數(shù)，q=負特征值的個數(shù)，p+q=非零特征值的個數(shù)=r（A）（三）合同矩陣定義：A、B均為n階實對稱矩陣，若存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，稱A與B合同△總結(jié)：n階實對稱矩陣A、B的關(guān)系（1）A、B相似（B=P1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正負慣性指數(shù)←→相同的正負特征值的個數(shù)（3）A、B等價（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：實對稱矩陣相似必合同，合同必等價（四）正定二次型與正定矩陣正定的定義二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，則稱二次型正定，并稱實對稱矩陣A是正定矩陣。n元二次型xTAx正定充要條件：（1）A的正慣性指數(shù)為n（2）A與E合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CTC或CTAC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的順序主子式均大于0（k階順序主子式為前k行前k列的行列式）n元二次型xTAx正定必要條件：（1）aii＞0（2）|A|＞01總結(jié)：二次型xTAx正定判定（大題）（1）A為數(shù)字：順序主子式均大于0（2）A為抽象：①證A為實對稱矩陣：AT=A；②再由定義或特征值判定1重要結(jié)論：（1）若A是正定矩陣，則kA（k＞0），Ak，AT，A1，A*正定（2）若A、B均為正定矩陣，則A+B正定 線性代數(shù)行列式經(jīng)典例題例1計算元素為aij = | i－j|的n階行列式.解 方法1 由題設(shè)知，=0，，故其中第一步用的是從最后一行起，逐行減前一行．第二步用的每列加第列．方法2 =例2. 設(shè)a, b, c是互異的實數(shù), 證明: 的充要條件是a + b + c =0.證明: 考察范德蒙行列式: = 行列式 即為y2前的系數(shù). 于是= 所以 的充要條件是a + b + c = 0.例3計算D= 解： 方法1 遞推法 按第1列展開，有D= x D+（－1）a = x D+ a由于D= x + a，于是D= x D+ a=x（x D+a）+ a=xD+ ax + a== xD+ ax++ ax + a=方法2 第2列的x倍，第3列的x倍，第n列的x倍分別加到第1列上 ===方法3 利用性質(zhì)，將行列式化為上三角行列式．D x k= x( + +++a+x)=方法4 + +++ =（－1）（－1）a+（－1）（－1） ax++（－1）（－1）ax +（－1）( a+x) x = 例4． 計算n階行列式： ()解 采用升階（或加邊）法．該行列式的各行含有共同的元素，可在保持原行列式值不變的情況下，增加一行一列，適當選擇所增行（或列）的元素，使得下一步化簡后出現(xiàn)大量的零元素． =這個題的特殊情形是=可作為公式記下來．例5．計算n階“三對角”行列式D=解 方法1 遞推法．DD—D－D即有遞推關(guān)系式 D=D－D (n3)故 ＝遞推得到 ＝＝＝＝而，＝＝，代入得 （）由遞推公式得＝＝αD ＋＝＝＋＋＋＝方法2 把D按第1列拆成2個n階行列式D=＋上式右端第一個行列式等于αD，而第二個行列式=β于是得遞推公式，已與（）式相同．方法3 在方法1中得遞推公式D=D－D又因為當時 D=====D= =2= =于是猜想，下面用數(shù)學歸納法證明．當n=1時，等式成立，假設(shè)當nk 時成立．當n=k+1是，由遞推公式得D=D－D =—=所以對于nN，等式都成立例6． 計算階行列式： 其中．解 這道題有多種解法．方法1 化為上三角行列式其中，于是．方法2 升階（或加邊）法方法3 遞推法．將改寫為+由于 因此=為遞推公式，而，于是======
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