空間幾何體的表面積和體積講解及經(jīng)典例題(參考版)
2025-03-28 06:42本頁(yè)面
【正文】 5. 兩點(diǎn)的球面距離：球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離兩點(diǎn)的球面距離公式：（其中R為球半徑，為A,B所對(duì)應(yīng)的球心角的弧度數(shù)）。③球的截面用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面.(1)過(guò)球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過(guò)球心的截面截得的圓叫做球的小圓；(2)球心與截面圓圓心的連線垂直于截面；(3)球心和截面距離d,球半徑R，截面半徑r有關(guān)系：r=.4．經(jīng)度、緯度：經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個(gè)大圓；緯線：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓；經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的半平面與經(jīng)線及軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。 ⑧外切球半徑 R=；⑨內(nèi)切球半徑 r=3．圓錐軸截面兩腰的夾角叫圓錐的頂角.①如圖，圓錐的頂角為β，母線與下底面所成角為α，母線為l，高為h，底面半徑為r，則 sinα=cos = ，α+=90176。則：①不含直角的底面ABC是銳角三角形；②直角頂點(diǎn)O在底面上的射影H是△ABC的垂心；③體積 V=abc；④底面△ABC=；⑤S2△ABC=S△BHC2．直角四面體的性質(zhì) 體有下列性質(zhì)：如圖，在直角四面體AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90176?！窘馕觥浚?） BD是圓的直徑 又 , 。（2008廣東文18）（本小題滿分14分）如圖5所示，四棱錐PABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑。解：（1）如圖，是北緯上一點(diǎn)，是它的半徑，∴，設(shè)是北緯的緯線長(zhǎng)，∵，∴答：北緯緯線長(zhǎng)約等于．（2）解：設(shè)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的截面為⊙，設(shè)球心為，連結(jié)，則平面，∵，∴，所以，球心到截面距離為．例16．在北緯圈上有兩點(diǎn)，設(shè)該緯度圈上兩點(diǎn)的劣弧長(zhǎng)為（為地球半徑），求兩點(diǎn)間的球面距離。解：（1）設(shè)球半徑為，正四棱柱底面邊長(zhǎng)為，則作軸截面如圖，又∵，∴，∴，∴，∴（2）如圖，設(shè)球O半徑為R，球O1的半徑為r，E為CD中點(diǎn)，球O與平面ACD、BCD切于點(diǎn)F、G，球O1與平面ACD切于點(diǎn)H 由題設(shè)∵ △AOF∽△AEG ∴ ，得∵ △AO1H∽△AOF ∴ ，得∴ 點(diǎn)評(píng)：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)是面的中心，球心到各面的距離相等。題型9：球的面積、體積綜合問(wèn)題例15．（1）表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個(gè)正四棱柱的表面積。點(diǎn)評(píng)：本題也可用補(bǔ)形法求解。又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共線，球的半徑R=。在三棱錐P—ABC中，∵PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a,∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC內(nèi)的射影即是△ABC的中心O′。例14．如圖所示，球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個(gè)球的表面積。解：設(shè)截面圓心為，連結(jié)，設(shè)球半徑為，則，在中，∴，∴，∴。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識(shí)以及計(jì)算能力和分析、解決問(wèn)題的能力。故。r。例10．（1）（2008四川理，8）設(shè)是球心的半徑上的兩點(diǎn)，且，分別過(guò)作垂線于的面截球得三個(gè)圓，
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